4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.
|
3 2 B2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 B2 |
|
|
|
|
|
||
J1 |
x2e x2 dx |
x4e x2 dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 2 3/ 2 |
|
|
|
|
2 |
2 2 3/ 2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
2m |
|
|
2 3/ 2 |
|
2m |
2 5/ 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 2 |
|
|
3 2 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2m |
|
|
4m |
|
|
4m . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
J1 3 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4m |
|
|
|
|
|
||
Теперь энергия первого возбуждённого состояния |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3m |
2 |
E J ( ) (x; ) H (x; )dx J ( ) J ( ) 3 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
4m |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.
J ( ) 3 2 3m 2 . 4m 4
Минимизируем это выражение по параметру β.
dJ ( ) |
|
3 2 |
|
3m |
2 |
d |
4m |
4 2 |
0. |
||
|
|
|
0 m .
Находим значение энергии при этом значении параметра.
E1 |
J ( ) 3 2 |
3m 2 |
|
3 2 m |
|
3m 2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
. |
4 |
4m |
4 |
|
4 |
4 |
2 |
||||||||
|
4m |
|
|
m |
|
|
|
|||||||
E1 32 .
4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.
Итак, с помощью вариационного метода мы определили энергии и волновые функции квантового гармонического осциллятора в основном и первом возбуждённом состояниях. Приведём ещё раз эти результаты
E0 12 .
E1 32 .
(x) m 1/ 4 0
m x2
e 2 .
|
|
|
2 |
m 3/ 4 |
|
|
m x2 |
|
||
1 |
(x) |
|
xe |
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1/ 4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||