Добавил:

cc2d3p Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2023

Размер:

992.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Из полученного результата можно сделать очень важный вывод. Наименьшее значение энергии квантового осциллятора не равно нулю. Согласно классической механике наименьшее значение энергии осциллятора

– ноль. Если в качестве осцилляторов рассматривать атомы твердого тела, совершающие тепловые колебания, то окажется, что при Т = 0 К (абсолютном нуле температуры) колебания атомов не прекращаются. Просто их энергия достигает минимального значения

E0 12 .

4. Приближённые методы решения уравнения Шрёдингера.

4.6.Применение вариационного метода для определения состояния квантового

осциллятора.

Первое возбуждённое состояние.

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

Определим энергию и волновую функцию квантового гармонического осциллятора в первом возбуждённом квантовом состоянии, то есть в состоянии с главным квантовым числом, равным двум. Для этого сначала запишем пробную функцию для этого квантового состояния. Напомним, что волновые функции двух различных квантовых состояний должны быть ортогональны друг другу и нормированы. Это означает, что должны выполняться следующие соотношения

1		1			1	x 0 x dV 0.
	x		x	dV 1,
	x		x	dV 1,

Волновая функция основного состояния

		m 1/ 4		m x2
		m 1/ 4	e	2 .
0	(x)		e	2 .
0

Выберем функцию 1 x в виде

1(x) Bxe 2 .

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

Проверим выполнение условия ортогональности волновых функций основного и первого возбуждённого состояний. Рассмотрим функцию, которая является произведением двух рассматриваемых функций

			x2	x2		x2
f x 1(x) 0 (x) Bxe			2 Ae		Cxe		Cxe x2 .
f x 1(x) 0 (x) Bxe			2 Ae	2	Cxe	2	Cxe x2 .
Эта функция	является	нечётной,
примерный вид её графика показан на
рисунке. Очевидно, что в пределах от
«минус бесконечности»		до	«плюс
бесконечности»	интеграл	от	такой

функции будет равен нулю независимо от величины коэффициентов A и B.

Таким образом, функция	x2
1(x) Bxe	2

ортогональна волновой функции осциллятора в основном состоянии.

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

Пронормируем волновую функцию первого возбуждённого состояния

1 x 1 x dV 1.

	x2		x2
Bxe	2	Bxe	2

dV 1.

	x2		x2
Bxe		Bxe		dV B2 x2e x2 dV 1.
Bxe	2	Bxe	2	dV B2 x2e x2 dV 1.

Интеграл, аналогичный интегралу в последней формуле мы уже вычисляли. Тогда мы продифференцировали по параметру интеграл Пуассона.


e x2 x2dx		.
	3/ 2
0	4

Подъинтегральная функция четная, поэтому


x2e x2 dx 2 x2e x2 dx			.
x2e x2 dx 2 x2e x2 dx		3/ 2	.
	0	2

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

	2			2

B2 x2e x		dV 1.	x2e x		dx		.
						2 3/ 2

B2		1.	B	2 3/ 4		.
	2 3/ 2				1/ 4

Теперь запишем выражение для энергии осциллятора в первом возбуждённом

состоянии


	J ( ) 1 (x; ) H 1	(x; )dx.

					x	2

J ( ) Bxe
J ( ) Bxe					2

	2	B	2		x2		d	2
		B		xe	2		d
	2m			xe	2		dx2

	2		2		2			2		x2
		d				m	x
									Bxe	2 dx
2m dx				2
					2

	x2		2		2		2
			m	B			2
xe	2	dx	m	B		x4e x		dx.
xe	2	dx	2			x4e x		dx.
			2

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

Обозначим

2 B2

d 2

m 2 B2

x4e x

dx.

dx2

	2 B2		x2	d 2			x2
J1		xe	2			xe	2	dx.
J1	2m	xe	2	dx	2	xe	2	dx.
	2m			dx

		m 2 B2
J2			x4e x2 dx.

	2

Чтобы вычислить второй интеграл, продифференцируем еще раз по параметру β интеграл Пуассона. После первого дифференцирования по параметру было


x2e x2 dx		.
	3/ 2
0	2

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

				d			2	d

					x2e x dx														,
				d	x2e x dx								2		3/ 2				,
				d	0			d					2
											3
						x4e x2 dx					3					.
						x4e x2 dx				4			5/ 2			.
						0				4
Функция под интегралом чётная, поэтому
																				3
				x4e x2 dx 2 x4e x2 dx																3			.
				x4e x2 dx 2 x4e x2 dx																2		5/ 2	.
							0													2
J2	m 2 B2				2		m 2 B2		3									3 m 2 2 3/ 2						3m 2
			x4e x			dx						5/ 2													.
		2	x4e x			dx	2					5/ 2					4				5/ 2		2	4	.
		2					2	2									4						2	4
B2		2 3/ 2					J2 3m							2
B2		.					J2 3m							.
											4

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

Чтобы вычислить интеграл J1

сначала

найдём

вторую

производную от

1 x

функции

x2e

2 xe

2 x3e

3 xe

2 x3e

2 .

Подставим полученное выражение для производной

	2 B2		x2	d2			x2
	2 B2			d2
J1		xe	2			xe	2	dx
J1	2m	xe	2	dx	2	xe	2	dx
	2m			dx

2 B2		x2	3 xe	x2	2 x3e	x2
2m	xe	2	3 xe	2	2 x3e	2
2m

4.6. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Первое возбуждённое состояние.

	2 B2		x2	x2		x2

J1			2	3 xe 2	2 x3e 2
	2m	xe

3 2 B2
3 2 B2	x2e x2 dx 2 2 B2			x4e x2 dx.
2m			2m
Воспользуемся полученными ранее формулами для интегралов

x2e x2 dx 2 x2e x2 dx						,
x2e x2 dx 2 x2e x2 dx					3/ 2	,
		0			2
					3
x4e x2 dx 2 x4e x2 dx					3		,
x4e x2 dx 2 x4e x2 dx					5/ 2		,
		0			2
и также полученным ранее значением нормировочного коэффициента B
	B2		2 3/ 2
	B2		.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции по квантовой механике

#
01.03.20231.59 Mб20Лекция по КМ №3 - Уравнение Шрёдингера.pptx
#
01.03.2023638.02 Кб20Лекция по КМ №4 - Яма с конечными стенками. Коэффициент прозрачности.pptx
#
01.03.2023713.36 Кб23Лекция по КМ №5 - Яма с конечными стенками. Волновая функция.pptx
#
01.03.2023817.15 Кб19Лекция по КМ №6 - Туннелирование.ppt
#
01.03.20231.03 Mб17Лекция по КМ №7 - Теория возмущений.ppt
#
01.03.2023992.77 Кб19Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt
#
01.03.20232.34 Mб25Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx