Добавил:

cc2d3p Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2023

Размер:

992.77 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

4. Приближённые методы решения уравнения Шрёдингера.

4.5.Применение вариационного метода для определения состояния квантового

осциллятора.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Запишем гамильтониан квантового одномерного гармонического осциллятора.

H		2	d	2	kx	2

					2
	2m		dx2		2

Квазиупругий коэффициент удобно выразить через циклическую частоту собственных колебаний осциллятора:

	2	k		,				k m 2 ,
	2	m		,				k m 2 ,
m – масса осциллятора.		m
m – масса осциллятора.					2	d	2	2		x	2
H						d			m	x		.
H			2m dx2									.
			2m dx2					2

Чтобы применить вариационный метод, нужно выбрать вид пробной функции. Эта функция должна быть:

1)непрерывной вместе со своими производными;

2)интегрируемой на всей области определения;

3)убывать на бесконечности;

4)волновая функция основного состояния не должна содержать узлов, то есть точек, в которых она равна нулю.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе.

Этим требованиям удовлетворяет функция	x2
0 (x; ) Ae		.
	2

Переменную будем рассматривать как вариационный параметр. Пронормируем пробную функцию.


	\| (x; ) \|2 dx 1.


	A2 e x2 dx 1.
				1
Нам известен интеграл Пуассона		e x2 dx		1	.
Нам известен интеграл Пуассона		e x2 dx	2		.
		0	2

Используем его для вычисления нормировочного множителя A

e x2 dx 2 e x2 dx,

так как пробная функция является четной.

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

			1	.
e x2 dx 2 e x2 dx 2			1
e x2 dx 2 e x2 dx 2		2
	0	2
Условие нормировки
Условие нормировки	A2 e x2 dx 1.

A2 1

Отсюда	A 4	1/ 4	.
	A 4		.

Нормированная пробная функция приобрела вид:

		1/ 4	x	2	\|		2	1/ 2	x2	.
			x				2	e	x2
		e	2	,		0	(x; ) \|	e
0	(x; )	e		,		0
0

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Следующий этап применения вариационного метода – вычисление интеграла

J ( )

(x; ) H (x; )dx.

В нашем случае

1/ 4

J ( )

2m dx

1/ 2

			x2
	e		2

2 de x2 2m dx

m 2		2
2	e x		x2dx .
2

Обозначим

1/ 2

d 2

( )

dx;

		1/ 2	m 2		x2	2
J2						x dx.
J2	( )		2	e		x dx.
			2

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Приступаем к вычислению интегралов. Вычислим сначала вторую производную по координате в выражении для интеграла J1 (α).

d	2	e	x2
			2
dx2

d		x2			x2	x2
	e	2	2	e	2 2x xe	2
dx	e	2		e	2 2x xe	2
dx

d	xe	x2
d		2


dx

			x2
	e		2

	e	x2
		2

x x

e 2 ( x2 1).

Подставим найденное выражение для производной в интеграл

1/ 2

J1( )

2 e

2 ( x2 1)dx

1/ 2

( x

1)dx

1/ 2

dx,

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Для вычисления интеграла в первом слагаемом воспользуемся интегралом

Пуассона					.

		e x2 dx 1
		0	2
	2			2			2
		2
		0 e x	dx 2m					.
m		0 e x	dx 2m			2m		.

Для вычисления интеграла во втором слагаемом формулы для J1 (α)

продифференцируем по параметру α правую и левую части интеграла
Пуассона:
						1						x2
	x2									e			x		2	dx
e	x2	x	2	dx			3/ 2	,							2
																	4	3/ 2
																		3/ 2
0					2	2				0
Подынтегральная функция четная, поэтому

					e x2 x2dx 2 e x2 x2dx									.
					e x2 x2dx 2 e x2 x2dx							3/ 2		.
									0		2

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Итого,				2				1/ 2					x2						1/ 2	2		2			x2			2
										e			x2										e		x2			2	dx
	J1		2m							e					dx					2m			e				x		dx
			2m																	2m
		2			2	2														2						1		2		4
																										1
											3																				3
	2m			2m 2							3															2 2m					3
	2m			2m 2															2m							2 2m
				2														2
																		4m .
							4m											4m .
Вычислим второй интеграл J2 (α) :
					1/ 2 m					2				x2			2						2			x2			2
																x dx												x dx

	J2 ( )							2					e								m			e
								2															0
												2						m 2
									m									4 .
									m					4 3				4 .

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

		J2 .

J (x; ) H (x; )dx J1
	2	m 2 .
J ( ) J1 J2
	4m	4

Теперь следует минимизировать это выражение по α.

J 0.

dJ	2	m 2	1	0.
d	4m	4	2

Полученное уравнение решаем относительно величины α.

			2		m 2	1	,
		4m			4	2

2	m2 2			,		m .
	2

4.5. Вариационное решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Основное состояние.

Обозначим это значение параметра 0.

0 m .

При таком значении достигается минимум среднего значения энергии системы. Примем это минимальное значение за энергию основного состояния квантового гармонического осциллятора

E0	2		m 2 1	2 m m 2
		0			4
	4m		4 0	4m		m

14 14 2 .

Это значение совпадает с точным значением, полученным путем интегрирования уравнения Шредингера. Волновая функция гармонического осциллятора в основном состоянии

	0	1/ 4	0x	2
			0x

0	(x)	e	2 ;
	(x)	e	2 ;

		m 1/ 4		m x2
		m 1/ 4	e	2 .
0	(x)		e	2 .
0

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции по квантовой механике

#
01.03.20231.59 Mб35Лекция по КМ №3 - Уравнение Шрёдингера.pptx
#
01.03.2023638.02 Кб43Лекция по КМ №4 - Яма с конечными стенками. Коэффициент прозрачности.pptx
#
01.03.2023713.36 Кб50Лекция по КМ №5 - Яма с конечными стенками. Волновая функция.pptx
#
01.03.2023817.15 Кб42Лекция по КМ №6 - Туннелирование.ppt
#
01.03.20231.03 Mб37Лекция по КМ №7 - Теория возмущений.ppt
#
01.03.2023992.77 Кб43Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt
#
01.03.20232.34 Mб58Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx