- •3.3. Одномерные задачи.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
- •3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
После очевидных упрощений получаем:
A B sin( )
A kB cos( )
1
B sin(kL ) C exp 3LkB cos(kL ) 3C exp 3L
1
2
3
4
Из этой системы уравнений определим допустимые значения параметров k, γ1 и γ3. Далее по ним
определим собственные значения энергии частицы.
Разделим уравнение (1) на уравнение (2), а уравнение (3) на уравнение (4):
|
|
1 |
|
1 |
tg( ) |
|
|
tg( ) |
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
1 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
tg(kL ) |
3 |
tg(kL ) |
|
|||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
Далее воспользуемся формулой для суммы
тангенсов: tg( ) tg tg .
1 tg tg
tg(kL ) |
tg kL tg |
|
k |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 tg kL tg |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Учтём, что: |
|
|
|
|
tg( ) |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tg kL |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k |
. |
tg kL |
k |
|
k |
tg kL k |
k |
. |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 tg kL |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
3 |
1 3 |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
tg kL |
k |
|
|
|
k |
tg kL |
k |
|
|
k |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
tg kL 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg kL |
|
|
|
3 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 3k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
kL |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
k2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
Величины k, γ1 и γ3 зависят от энергии частицы, поэтому полученное уравнение является трансцендентным и для его решения применим графический метод.
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg |
kL |
|
|
|
1 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вспомним, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m W E , |
k |
2m E W . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1,3 |
|
2 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Не нарушая общности, можно считать W2 = 0. |
b W1 , |
|||||||||||||||||||||||||
Введём безразмерные переменные: |
|
z |
E |
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
|
W3 |
|||||
и преобразуем сначала правую часть уравнения. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
zW1 |
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
W1 E |
|
W1 zW1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 z |
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
|
k |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
zW1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
bz |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
3 |
W3 |
E |
W1 |
|
|
zW1 |
1 |
z |
1 bz |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь уравнение принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
tg kL |
|
|
|
1 z |
|
|
1 bz |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
1 bz |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
2m W z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
bz |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
|
|
1 z |
1 bz |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
bz |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
1 bz |
|
|
2m W E , |
|||
1,3 |
|
|
2 |
1,3 |
|
|
|
|
|
||
|
k |
2m E. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
z |
E |
, |
|
|
b W1 , |
|
|
|
|||
|
W1 |
|
|
W3 |
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
В левой части уравнения удобно ввести следующие |
||
обозначения: L , |
W w , |
|
|
1 |
1 |
где |
10 9 , 1,6 10 19 , |
|
l - длина ямы в нанометрах, w1 - энергия в электрон- вольтах (эВ).
Перепишем левую часть уравнения:
tg L
2m
2
|
|
|
W1z |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
tg |
|
|
|
|
, |
|
2m |
|
|
W1z |
|
wz |
где |
. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта величина зависит от исходных параметров задачи и задаёт масштаб. Можно вычислить её значение для электрона, когда размер ямы l измеряется в нанометрах, масса электрона m – в килограммах, энергия w – в электрон-
вольтах. |
2m W1 |
|
2 9,1 10 31 1,6 10 19 |
|
kL |
w |
10 9 5,1393 w. |
||
|
2 |
1 |
1,052 10 68 |
|
|
|
|
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
|
|
|
z |
|
|
|
|
bz |
|
|||
tg wz |
|
1 z |
1 bz |
. |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
z |
|
|
bz |
|
|||||
|
1 |
z |
|
1 bz |
При этом переменная z изменяется в переделах 0 z 1.
Это трансцендентное уравнение можно решать графически. Для получения более точных значений корней уравнения можно применить какой-либо численный метод решения уравнений, например, метод дихотомии.
Значение параметра b определяет высоту второго потенциального барьера. Если b < 1, то параметр z не может превышать b.
Рассмотрим решение уравнения для случая b = 1, то есть для симметричной ямы (W1 = W3).
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
|
|
|
z |
|
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg wz |
|
1 z |
1 bz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
z |
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
z |
|
1 bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для случая b = 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z 1 z |
|||||||||
tg wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 z |
1 2z |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
tg2 wz |
4z 1 z |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2z |
|
|
|
|
|
Решение выполним графически для длины ямы l = 1 нм и глубин ямы w = 1 эВ и 5 эВ.
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
На рисунке красным показан график функции правой части уравнения, синим – левой части. Абсциссы точек пересечения соответствуют корням уравнения. Точка z = 0 корнем не является.
En znW1.
z1 0,18, |
z2 0,70. |
z1 |
0,06, |
z2 |
0,12, |
|
|
|
z3 |
0, 22, |
z4 |
0, 48, |
|
|
|
z5 |
0,51, |
z6 |
0,81. |
3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.
Итак, решения уравнения Шрёдингера областях 1, 2 и 3:
1n x Aexp 1x ,
2n x B sin(kx ),
3n x C exp 3 x .
1,3 |
2m2 W1,3 En , |
k |
2m E |
W . |
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
Чтобы найти явный вид волновой функции, нужно определить коэффициенты A, B и C, а также фазу δ.
Для этого снова рассмотрим систему уравнений, возникающую из условий непрерывности волновой функции и её производной.