1.1.1.Длина волны де Бройля и импульс частицы.
Вправой части последней формулы стоит выражение для релятивистского импульса, следовательно, получена искомая связь между импульсом и волновым вектором:
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Согласно постулату Эйнштейна, все физические процессы должны происходить одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
Время в различных системах отсчёта может течь по-разному, расстояние между пространственными точками, скорости объектов тоже могут различаться. Какая величина должна сохраняться для волны в разных системах отсчёта, чтобы можно было сказать, что волновой процесс в этих системах протекает одинаково?
Такой величиной является фаза волны.
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Рассмотрим две системы координат - "нештрихованную" К и "штрихованную" K ´. В системе К волна
В системе К´ волна, описываемая в системе К предыдущим выражением, будет иметь вид
Пусть система К´ движется вместе с частицей, т.е. является для нее системой покоя. В этом случае k´ = 0, р´ = 0 и Е'= mc2.
Волна периодична, следовательно, если разность фаз между двумя пространственно-временными точками Р и Q в системе отсчета К равна 2nπ то в системе отсчета К´ разность фаз той же волны между соответствующими точками Р´ и Q' должна оставаться равной 2mπ (n,m - целые числа).
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Учитывая, что К´ - система покоя, а в ней k´ = 0, р´ = 0 и
получаем:
Чтобы выразить t´ через t, воспользуемся преобразованиями Лоренца для времени:
где β = V/c (V - скорость движения частицы в системе отсчета К) и преобразуем условие равенства фаз колебаний в волне.
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Из последней формулы видно, что
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Это означает, что волновой вектор
а циклическая частота
Энергию и импульс частицы в системе К можно выразить так:
Сравнивая полученные выражения с формулами для частоты ω и волнового вектора k, получаем
1.1.2. Соответствие гипотезы де Бройля СТО.
Таким образом, условие инвариантности (неизменности) фазы колебаний при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой выполняется в том случае, когда энергия и импульс вычисляются по формулам
Следовательно, сделанные нами предположения о характере зависимости E = E(ω) и p = p(k) не противоречат постулатам специальной теории относительности.
1.1.3. Гипотеза де Бройля. Основные результаты.
Итак, можно сформулировать гипотезу де Бройля: с движущейся частицей связана волна, характеризуемая волновым вектором k, который определяется импульсом частицы
Длина волны связана с волновым вектором формулой
Таким образом, согласно гипотезе де Бройля, с любой частицей может быть связана волна, длина которой
где h – постоянная Планка, p – модуль импульса частицы.
1.1.3. Гипотеза де Бройля. Основные результаты.
Если Е - полная релятивистская энергия частицы, то длину волны можно выразить так:
(1)
Здесь m0 – масса покоя частицы.
Если Т - кинетическая энергия частицы, то
где m0 - масса покоя частицы. Подставляя выражение для полной энергии частицы в (12), получим
При малых скоростях, т.е. когда v « с, а |
|
1, можно считать, что |
2 |
0 2 |
|
что совпадает с формулой (1) в нерелятивистском пределе.
1.1.4. Экспериментальная проверка гипотезы де Бройля.
В 1927 г К. Дэвиcсон и Л. Джермер открыли явление дифракции электронов на кристалле никеля. Независимо Дж. Томсон открыл явление дифракции электронов при прохождении через металлическую фольгу. Таким образом, идея де Бройля о волновых свойствах вещества нашла экспериментальное подтверждение. В 1937 г. Л. де Бройль, К. Дэвиссон, Л. Джермер и Дж.Томсон были удостоены Нобелевской премии по физике