Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Рис. 7.8л. Стреловидное крыло большого удлинения: / - эффективное корневое сечение; 2 - действительное корневое сечение; 3 - ось фокусов; 4 -ось жесткости

QÏ- -inpUbl — + т"К-\-Xi

при анализе динамической устойчивости используют аппроксимации распределений прогибов yv(y,t) и углов закручивания О (у, О в виде произведений функций пространственной координаты (форм колебаний) и функций вре­ мени:

w(y,t) = w(y)e ^

(7.8.21)

Hy,t) = Ну)е^';

где X=v+/(û - характеристический показатель; v и со - действительная и мнимая части характери­ стического показателя. В зависимости от знака v меняется характер колебаний: при v=0 - коле­ бания периодические с частотой со; при v<0 - затухающие и при v>0 - неограниченно возрас­ тающие. Подставляя выражения (7.8.21) в урав­ нения колебаний крыла, получают некоторую задачу на собственные значения. Задача о флат­ тере состоит в анализе поведения показателей X в здвисимости от скорости обтекания крыла U.

1тsi\

f

U>Uf

{ \UJ^ù)f^

Если все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости комплексного переменного (рис.7.8.3), то относительное равновесие 1фыла устойчиво. Наименьшее значение скорости, при котором реализуется переход хотя бы одного из харакгеристических показателей в правую полу­ плоскость, является критической скоростью. Если переход в правую полуплоскость происхо­ дит не через начало координат (^.тЮ), то крити­ ческую скорость называют скоростью флатгера, U=Uf, а возникающую колебательную неустой­ чивость - флаттером. Если переход характерис­ тического показателя X в правую полуплоскость происходит через начало координат (Х=0), то реализуется статическая форма потери устойчи­ вости - дивергенция. Критическую скорость называют скоростью дивергенции U=U^

7.8.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРУБОПРОВОДОВ

Уравнение малых поперечных колебаний упругого прямолинейного трубопровода ддины / с протекающей в нем жидкостью имеет вид [47]

дх

где EJ - жесткость трубы на изгиб; w(x,t) - по­ перечный прогиб; ЕФ/, С - коэффициенты внут­ реннего и внешнего демпфирования; т, mi - масса трубы и жидкости на единицу длины; U - скорость потока. Первое слагаемое в (7.8.22) означает упругую реакцию трубы при попереч­ ном изгибе, второе - предварительное сжагие, третье и четвертое - внутреннее и внешнее дем­ пфирование, пятое - инерцию трубы с жидко­ стью, шестое и седьмое - кориолисову и центро­ бежную силы, действующие на жидкосгь. При различных значениях параметров уравнения (7.8.22) и соответствующих граничных условий гидроупругая неустойчивосгь может проявляться либо в форме дивергенции, либо в форме флат­ тера. Для шарнирно опертой по краям трубы, не испытывающей предварительного продольного сжатия (JV=0), дивергенция возможна при miïfi>K^EJ/P. Для консольно защемленной трубы дивергенция оказывается невозможной при любой величине ntilA. В этом случае торцо­ вая реакция вытекающей жидкости представляет собой следящую силу и не может удержать трубу в статическом изогнутом состоянии. Поэтому для консольной трубы потеря устойчивости реа­

лизуется в форме флатгера. Детали расчета ди­ намической неустойчивости трубопровода по методу Галеркина с использованием двучленного разложения содержатся в работах [47, 51].

7.8.5.УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОХО ОБТЕКАЕМЫХ ТЕЛ

ВПОТОКЕ

Для илохообтекаемых тел и сопряжений с острыми кромками при определенных режимах обтекания происходит срыв потока и образова­ ние вихрей, обусловливающие аэро- и гидроуп­ ругую неустойчивость. Такие явления динами­ ческой неустойчивости, как флаттер, резонанс­ ное возбуждение колебаний при периодическом срыве вихрей, гапопирование, наблюдаются для определенных диапазонов чисел Рейнольдса R^=JU/v и Струхаля Sh=(ù 1/U, где / - характер­ ный размер тела; v - кинематическая вязкость; со - частота колебаний. Многие процессы, обуслов­ ливающие процесс обтекания, являются род­ ственными и поэтому,строго не разграничены.

Характерным для высоких строительных сооружений является возбуждение аэроупругих колебаний при малых числах Струхаля Sh<0,05, называемых галопированием. Причина этого вида неустойчивости обусловлена отрицательны­ ми величинами коэффициента подъемной или поперечной силы соответствующего поперечного сечения сооружения. Колебания при галопиро­ вании характеризуются в основном лишь одной степенью свободы и возможностью применения квазистационарной аэродинамической теории [55], что существенно упрощает расчеты. Пусть w - скорость перемещения тела нормально по­ току; а = arctg(w / U) - угол, под которым происходит набегание потока на профиль; С^ - относительная скорость (рис. 7.8.4).

Рис. 7.8.4. Плохообтекаемое тело

Тогда

1 2

7.8.7. ФЛАТТЕР КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ

Малые поперечные колебания в сверхзву­ ковом потоке газа предварительно напряженных пологих хщлиндрических панелей (рис. 7.8.6) описываются уравнениями [4, 64]

1фивизны; JPфункция усилий. Для прямоуголь­ ной в плане панели со сторонами а (по потоку) и b (поперек потока), обтекаемой газом, в на­ правлении оси (см. рис. 7.8.6), решение задачи о флаттере проводится с ' использованием безраз­

у =Eha^ / 1)Я\а^р v'^a / D{M^ -1^

(штрихи в дальнейшем опущены). Определение критической величины динамического давления а основывается на рассмотрении частных реше­ ний вида

w{x,y,f) = Wç^ sinw7Dircos/wcj^exp(/cûO;

F(x,y,t} = FQ smm70Ccosn%yexp(mt),

Рис. 7.8.6. Схема обтекАння циливдрической панели

Критическая безразмерная величина динамичес­ кого давления для нологой цилиндрической оболочки может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: соответствующей величины для плоской панели и поправки, обусловленной кривизной панели.

Для конкретных параметров панелей по­ правочный член может быть в несколько раз больше значения критического параметра для плоской панели.

7.8.8. ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ АЭРОУПРУГИХ СИСТЕМ

Анализ закритического поведения аэроуп­ ругих систем важен, так как во многих случаях превьшгение критической скорости флатгера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Ха­ рактеристики этих колебаний (амплитуды, и час­ тоты) используют для оценки времени функцио­ нирования конструкции до разрушения. Необхо­ димо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геомет­ рическими нелинейностями для расчета крити­ ческих параметров потери устойчивости и пове­ дения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нели­ нейных факторов позволяет, в частности, обна­ ружить статические и динамические формы по­ тери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших зна­ чениях сжимающих нагрузок и скоростей пото­ ка, чем те, которые получаются на основе ли­ нейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматри­ вая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом осно­ вании и обтекаемую газом, приходим к уравне­ нию

;j2

-\-kw +Po^-О w

дх dt"

. dw adpfdw ^^

dt dt

где продольные усилия в пластине

dw Л2

dx.

2ХX о dxj

Представив частные решения уравнения (7.8.24) в виде

С^

w(x,y,t) - А^тvSпу sin Ot %х

получим следующее выражение для амплитуды установившихся колебаний [4]:

iS* 2 X ^ / I Q Q

В приведенных выше соотношениях к - жест­ кость основания; С - некоторый коэффициент

жесткости ф<с<ЕИ/(\-\х. )), характеризу-

ющий сопротивление уменьшению длины плас­ тинки; QQ - частота собственных колебаний; Х^,Х - длины полуволн; Ï7* - критическая

величина скорости. Если коэффициент жесткос­ ти с принимает максимальное значение, то амп­ литуда имеет порядок h даже при дву1фатном превышении критической скорости. Анализ закритического поведения криволинейных панелей с учетом аэродинамической нелинейности при­ веден также в работе [4].

7.8.9. ЭФФЕКТЫ ДЕСТАБИЛИЗАЦИИ АЭРО- И ГИДРОУПРУГИХ СИСТЕМ

Динамическая устойчивость упругих сис­ тем, находящихся в потоке жидкости или газа, существенно зависит от взаимного расположения парциальных собственных частот. Сближение парциальных частот может послужить причиной снижения критической скорости флатгера, т.е. дестабшшзахщи невозмущенного состояния сис­ темы. Напротив, '^разводя" некоторые парци­ альные частоты, можно добиться стабилизации. Явление стабилизахщи (дестабилизации) упругих панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке газа, с подвешенными массами изложено в рабо­ те [12]. Если к упругой панели при помощи вязкоупругой подвески присоединена относи­ тельно малая дополнрггельная масса, то следует ожидать, что при этом* изменится и критическая скорость флатгера. Ответ на вопрос о характере изменения условий устойчивости не может быть дан в общей форме вследствие сложности зада­ чи.

Рис. 7.8.7. Упругая панель с присоединенной массой

всверхзвуковом потоке

Вкачестве упрощенной модели рассмотрим плоскую упругую панель, обтекаемую с одной стороны сверхзвуковым потоком с невозмущен­ ной скоростью и (рис. 7.8.7). С другой стороны

кпанели X=XQ при помощи вязкоупругой связи

с жесткостью CQ И коэффициентом демпфирова­ ния Ьо прикреплена масса mç). Пусть размах па­ нели велик по сравнению с ее размером а в на­ правлении потока, а все параметры присоеди­ ненного элемента отнесены к единице длины в направлении оси Оу. Панель трактуется как классическая пластина с цилиндрической жест­ костью Д плотностью ро и коэффициентом "внешнего" трения sp^h . Возмущенное давле­ ние со стороны потока вводим согласно формуле (7.8.16). После отделения времени в классе экс­ поненциальных решений с показателем Л, полу­ чаем относительно функции прогиба, пластины Ж(С) краевую задачу

(7.8.27)

Здесь использованы безразмерные переменные:

а также характерная частота

Граничные условия (7.8.26) вьшисаны для случая панели, опертой по концам. Задача сво­ дится к построению области в пространстве па­ раметров Р, Y, cûQ и уо, где все характеристичес­ кие показатели а имеют отрицательные действи­ тельные части.

Результаты вычислений при некоторых числовых значениях параметров показали, что при отсутствии присоединенного элемента кри­ тическое значение параметра скорости потока р*=5,66. Изменение парциальной частоты под­ вески cûQ приводит к существенному (Р=0,03) и притом немонотоннолсу изменению условий устойчивости. Отрезки стабилизации сменяются отрезками дестабилизации. Дестабилизация име­ ет место, когда присоединение элемента приво­ дит к сближению собственных частот соответ­ ствующей консервативной системы. При прочих равных условиях эффект дестабилизации будет тем сильнее, чем больше величина присоединя­ емой массы и чем меньше демпфирование в подвеске.

слишком большими, чтобы в уравнениях доста­ точно было удержать члены не выше третьего порядка и чтобы можно было аппроксимировать искомую форму изгиба при помощи собствен­ ной функции линейной задачи. Как обычно, стержень будем считать вполне упругим, а деформахщю сжатия пренебрежимо малой.

Начальная и полная кривизна аво и ав, из­ гибающий момент M и изгибная жесткость EJ связаны между собой соотношением EJ{^- -^о)=М, Начальный прогиб обозначим щ{х), прогиб при заданной сжимающей силе Р обо­ значим w{x,P). Заметим, что M=-Pw. Выраже­ ния для кривизны оси стержня в начальном и загруженном состоянии имеют вид

Р/(/|Р)=Ро[^(Л^)] àH{f,F) . (7.9.9)

Po(fo) = 7=^~Н ^ 2 г ^^'^'^^^

где ао^ - дисперсия начального прогиба. Если сила Р не слишком близка снизу к эйлеровому значению, то можно положить

/«/о[1-(Р/Р.)Г^

»о=4[i - ю^] »»=^Y - {^'f\ •

Мы пользуемся здесь лагранжевыми координа­ тами; штрихами обозначаем дифференцирование по длине s дуги, измеренной вдоль искривлен­ ной оси стержня. После отбрасывания членов выше третьего порядка получим уравнение

w'[l + l / 2 ( w f ] + {Pw/E/) = wj[l +l/2(wô)^]

Приближенное решение этого уравнения най­ дем, полагая

Wo(s)=foSm(ns/l); w(s)=fein(ns/l)

и применяя метод Бубнова - Галеркина. В ре­ зультате придем к соотношению

1 - К = ^ ^ + / о , (7.9.7)

81'

связывающему начальный прогиб Уо с полным прогибом/ Здесь Р* - эйлерова сила.

Зависимость прогиба / от начального прогиба Уо и параметра нагрузки F была пред­ ставлена на рис. 7.3.9, а. Если Р<Р* , то имеем сгущение 1фивых около тривиального иевозмущенного решения /=0, что указывает на его устойчивость. При F>P* сгущение 1фивых имеет место вблизи устойчивого нетривиального не­ возмущенного решения

Р*

Решения, одно из которых на рис. 7.3.9, а намечено штриховой линией, реализуется лишь при наличии дополнительных возмущений, вы­ зывающих перемену знака прогиба. Эти возму­ щения здесь считаем отсутствующими, та?: что решения, не удовлетворяющие условию / / ) > 0 , исключаем из рассмотрения.

Плотность вероятности полного прогиба вычислим по формуле (7.9.5):

о

а)

P(fh

Ю

Рис. 7.9.1. Плотность вероятности распределения прогабов: а - Р<Р»; б - F>F*

Но тогда средние квадратические значения (квадратные корни из дисперсий) полного и начального прогибов оказываются связанными

соотношением а = адГ! - (Р/Р#)] . Очевидно,

вновь получаем центральное гауссовское распре­ деление, которое "расплывается" тем более, чем ближе сила Р к эйлеровому значению (рис.7.9.1,д).

Рассмотрим теперь случай F>Pi^ , />>/о. В правой части уравнения (7.9.7) тогда можно пренебречь первым членом. Отсюда

_[ъ(Л/,)^-\\{р/р,)-1]

Pfif\P) =

yflniПСУп

/ '[(///*)'-1]'Ил)-1]

хехр^

2ап

(7.9.11) Здесь/^ определяется согласно (7.9.8). Форму­ ла (7.9.11) справедлива при условии, что/^>0. Если f fo'^0, что будет иметь место при / | < / * , т о здесь дН/df^ и, следовательно,

Pf if\p) = О- Без дополнительных воздействий

где 8=8(Р*) есть обращение зависимости Р*=Р*(8). Некоторые затруднения возникают, если среди 8^ не существует таких параметров, которые бы однозначно зависели от Р*. В этом случае следует отдельно рассмотреть монотонные ветви функции (7.9.13) и просуммировать вклад всех ветвей в плотность вероятности/>р(Р*). Tai?[, при /и=1 формула (7.9.15) обобщается следую­ щим образом:

Здесь Н/с(Р) - ветви функции 8=^(Р*), на кото­ рых эта зависимость монотонная.

эта область значений / не достижима. Мы при­ ходим к кривым распределения, показанным на рис. 7.9.1, б.

Если зависимости между обобщенными координатами и параметрами нагрузки - немо­ нотонные даже при заданных начальных возму­ щениях, то представления типа (7.9.2) могут оказаться неоднозначными. Эта неоднозначность устраняется, если задать направление изменения параметров Pi,.--> Рг (например, считать их мо­ нотонно возрастающими). Кроме того, необхо­ димо ввести в число параметров 8i,..., 8;„ конеч­ ные возмущения, вызывающие переход системы с одной устойчивой ветви на другую [5].

7.9.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Для простоты ограничимся случаем, когда нагрузки на систему заданы с точностью до од­ ного параметра Р, а критическое значение Р* зависит от m параметров возмущения:

P*=p*(8i,...,8^). (7.9.12)

Пусть формула (7.9.12) может быть пред­ ставлена как взаимно однозначная функция од­ ного из параметров 8jt, например, 8i. Тогда

и формула преобразования случайной величины дает плотность вероятности критического пара­ метра

i*) = J...J;?3(^i>S2»-'Smi Р*)^

ajy^(s2,...,s^;p.)

Интегрирование в формуле (7.9.14) проводится по всей области значений параметров 82,.--) ^т- При /w=l формула (7.9.14) принимает вид

Рис. 7.9.2. Зшнснмость х&ршстервого прогаба от параметра нагрузки (а) и критической силы от начального прогиба (а)

Пример 2. Рассмотрим диаграмму зависи­ мости между параметром нагрузки Р, характер­ ным прогибом/и начальным значением прогиба - возмущением 8=/о (рис. 7.9.2, а). В зависимос­ ти от знака 8 реализуются два разных семейства функций/=^Р). Диаграмму можно истолковать как график функции прогиба неупругого стерж­ ня несимметричного поперечного сечения, сжа­ того силой Р. При этом Р*1 и Р*2 - критические

значения силы Р для идеального прямого стерж­ ня; Pj* и Р2* " максимальные значения силы Р, при которых еще не происходит скачкообразных переходов от одной формы равновесия к другой. График (рис. 7.9.2, б) показывает зависимость критической силы Р* от начального прогиба £=î/o- Область критических значений ограничена возмущениями 8i*<0 и S2*>0. Зависимость 8=^(Р*) имеет ветви г—Н\ф*) при 8G[8I*,0] И 8=jff2(P*) при 8G[0,82*]. Формула (7.9.16) дает

/'рСРО = {/^e[^l(POF^i(P*) / ^Р*| -f

+/^s[^2(P*)F^2(PO/^*|}^

-1

îр^(г)аг

Перенормировочный множитель в знаменателе учитывает то, что для стержней с начальными возмущениями, лежащими вне отрезка [8i*,82*], скачкообразная потеря устойчивости не возника­ ет.

7.9.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ОПАСНОГО СОСТОЯНИЯ

Задача определения вероятности наступле­ ния опасного состояния, связанного с потерей устойчивости, принхщпиально не отличается от аналогичных задач теории надежности - найти вероятность того, что параметры рассматривае­ мого технического объекта будут находиться в некоторой допустимой области [И].

Пусть состояние системы характеризуется обобщенными координатами ^1,.-> Яп ^ допус­ тимой областью Q={q:v|/(q)<0}. Тогда вероят­ ность того, что опасное состояние не наступит, определяется как

M/(q)<0

где Рд{ф - совместная плотность вероятностей обобщенных координат. Вероятность наступле­ ния опасного состояния Q равна дополнению до единицы вероятности Д т.е. Q=\-K

Формула (7.9.17) сохраняет смысл, если допустимая область Q, помимо ограничений по устойчивости, определяется другими ограниче­ ниями, например прочзюсти, жесткости и т.п. Вероятность R в сущности является показателем надежности.

В ряде приложений допустимая область за­ дается не в пространстве обобщенных коорди­ нат, а в пространстве ^ х 9^ параметров воз­ мущений 8i,...,8;;j и воздействий Pi,...,P;4 Тогда Q={8,p:vi(8,P)<0}. Вместо формулы (7.9.17)

R- J...J/J(8,P)J'"8^''P, (7.9.18)

M/i (е,Р)

где />(8,Р) - совместная плотность вероятности для составляющих векторов е и р. Например, если т=п=г=1, то формулы (7.9.17) и (7.9.18) принимают вид

x\f(q)<0 ViCeJÎ)

Примеры применения формул (7.9.17) - (7.9.19) можно найти в работе [5].

7.9.5. ПОВЕДЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ

Если возмущения, действующие на систе­ му, являются случайными функциями времени, то для анализа их поведения в окрестности не­ возмущенного движения (равновесия) требуется применение метода теории случайных функций.

Рассмотрим систему уравнений относи­ тельно вектора возмущений фазовых перемен­

ных X G 9 Î ^ :

X = f(х, О + G(x, /)Ç(/). (7.9.20)

Здесь f(x,/) - iV-мерная вектор-функция фазо­ вых переменных Xj и времени t, G(x,/) - матри­

времени. Функции f(x,/) и G(x,/) предполагаем детерминистическими по всем аргументам, глад­ кими по X и непрерывными по /. При нулевом значении х=0 система (7.9.20) отвечает невоз­ мущенному движению (равновесию). Задача состоит в том, чтобы найти распределение зна­ чений вектора отклонений х(/) от невозмущен­ ного движения.

Задача имеет известное решение, если компоненты вектор-функции ^(t) - независимые

вектора х в момент времени /, найденная при условии, что х(/о)=Хо, удовлетворяет уравнению Колмогорова:

с начальным условием p==ô(x-Xo) при t=tQ.B этом уравнении aj(x,t) - коэффициенты сноса, которые характеризуют смещение центра распре­ деления по времени; bjjc{x,t) - коэффициенты диффузии. Решение уравнения (7.9.21) должно удовлетворять требованиям положитеашности и нормировки при всех / > /Q-

J... j p{x,t\XQ,tQ)d,N x = 1.(7.9.22)

Коэффициенты сноса и диффузии выражаются через элементы вектора f(x,/) и матрицы G(x, /) по известным формулам [8]. В случае белого шума Ито (производной от винеровского про­ цесса) имеем

N ''j=fj>^Jk=Y^SjlSkr (7.9.23)

которое описывает распределение обобщенной координаты q и обобщенной скорости q в окре­ стности состояния равновесия. Нормировочный множитель /находим из условия (7.9.22). В час­ тности, стационарное распределение обобщен­ ной координаты описывается формулой

s

àq

где m - инерционный коэффициент (например, масса системы); s - коэффициент демпфирова­ ния; П(^) - потенциальная энергия системы. Через Ç(/) обозначен стационарный нормальный белый шум с интенсивностью s. Вводя фазовые переменные X\—qy Xx=q , представим уравнение

где w(t) - винеровский процесс единичной ин­ тенсивности. Для коэффициентов (7.2.23) полу­ чаем формулы

(остальные коэффициенты равны нулю). Урав­ нение Колмогорова принимает вид

2т дх2

Это уравнение имеет решение, не зависящее от времени:

Рис. 7.9.3. График потенциальной энергии (а)

иплотности вероятности распределения (éi)

Всостоянии равновесия dn./dq=0, при­

зом, устойчивые состояния отвечают максиму­ мам распределения (7.9.25), неустойчивые - ми­ нимумам (рис. 7.9.3).

7.9.<». ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Для строгого анализа устойчивости при на­ личии случайных возмущений требуется уточ­ нить определение стохастической устойчивости [56]. Это понятие неоднозначно: различают ус­ тойчивость по вероятности, по математическим ожиданиям, по совокупности моментных функ­ ций второго порядка и др. Приведем соответ­ ствующие определения, ограничившись случаем детерминированных начальных условий.

Положение равновесия х ( / ) ^ системы (7.9.20) называют устойчивым по вероятности, если для любых р>0 и е>0 существует ô(p,8)>0 такое, что для всех решений системы (7.9.20),