Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

лученный с учетом разгрузки, практически не

О

отличается от предела устойчивости р^^ при

решении задачи без учета образования зон раз­ грузки. Последний результат имеет место для стержней с различными формами сечений и закреплением концов, что позволяет сделать вывод о допустимости инженерных расчетов по выпучиванию и устойчивости сжато-изогнутых стержней исходя из модели нелинейно-упругого тела.

Ш л-пЕ^ =ст+Л2а, то прогиб стержня ищем в виде

Рис. 7.5.7. Зависимость критического параметра нагрузки от гибкости стержня

7.5.4. ВЫПУЧИВАНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

Поведение сжатых вязкоупругих систем во времени существенно различно при линейной и нелинейной ползучести. Наиболее наглядно это можно проиллюстрировать на примере сжатого постоянной во времени силой Р стержня, шарнирно опертого по концам и имеющего началь­ ное искривление вида

Рис. 7.5.8. Характерные виды зависимости от времени прогибов стержней из линейного вязкоупругого (а)

и нелинейного (^, s) материалов

При Р^ < Р < Р^ прогиб неограниченно возрастает. Если Р = Р^, то функция Д/) опре­ деляется равенством

/(0 = /о11 + « — /

из которого следует, что амплитуда прогиба стержня неограниченно растет со временем. Функция ЛО/ДО) при разных Р представлена на рис. 7.5.8,д.

Силу Р^ = Е^ Р^ JE, называемую дли­ тельной критической, вьршсляют так же, как эйлерову критическую силу, заменив в выраже­ нии последней модуль упругости Е длительным модулем Е^. При любом значении сжимающей силы, меньшем Р^, каждому фиксированному моменту времени соответствует конечное значе­ ние прогиба стержня.

При Р < Р^ прямой стержень устойчив в любой момент времени /, поскольку малое из­ менение амплитуды начального искринления fo вызывает малое изменение амплитуды Д/). Оче­ видно, что стержень устойчив по отношению к возмущению начального искривления по Ляпу-

лову.

В том случае, когда материал обладает свойством нелинейной ползучести, решение задачи выпучивания становится значительно сложнее. Для стержня, поперечное сечение ко­ торого является идеальным двутавром (площадь поперечного сечения сосредоточена в полках, а тонкая стенка воспринимает только сдвиговые деформации), а деформирование материала под­ чиняется степенной зависимости г = Ви , соот­ ношение между безразмерной амплитудой про­ гиба и временем имеет вид

высота двутаврового поперечного сечения; /(0) - амплитуда прогиба стержня в начальный момент времени. При получении соотношения (7.5.15) предполагались справедливыми выражения (7.5.13) и (7.5.14), а уравнение равновесия для стержня удовлетворялось в одной точке (при х=1/2). Если при t=0 стержень деформируется упруго, тоуСО)=/о/(1-а).

Функция J(f)/J(oy показана на рис. 7.5.8, б.

Критическое время /^ находят из уравнения (7.5.15):

Если величина ^(0) достаточно мала, мож­ но принять

Во\.1 ^л^^ 1п

/4^(0)

Втом случае, когда закон деформирования материала имеет вид

а

Ё = ^ h —,

С

значение критического времени t^ определяется равенством

когда для закона ползучести используется дроб­ но-линейная зависимость:

Уравнение, описывающее изменение во времени амплитуды прогиба стержня, записыва­ ют по-разному в зависимости от значения Ъ;.

Первое уравнение интегрируется в пределах от 4(0) до 4=1, а второе от 1=\ до 4*- Значение 4*

определяется из условия 4 -> оо. Это имеет мес­ то при а2<-2 и a2-ai>2. Тогда потеря устойчиво­ сти произойдет при 4* = 1 ~ <^i • ^ отличие от степенной зависимости или зависимости гипер­ болического синуса использование дробнолинейного соотношения приводит к качественно новому результату - потере устойчивости при малых конечных прогибах.

7.5.5. ВЫПУЧИВАНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Поведение сжатьос вязкопластических сис­ тем принципиально отличается от поведения нелинейно-вязкоупругих систем. Если деформи­ рование материала подчиняется зависимости

é = eQ(cT)c7 + v(<j),

где первое слагаемое описывает мгновенное пла­ стическое деформирование, а второе - деформа­ ции ползучести, то для стержня с поперечным сечением в виде идеального двутавра соотноше­ ние /~4 имеет вид

iî{4) = v[a(l+4)]-^c,(l-5)].

Зависимость (7.5.16) носит условный ха­ рактер, поскольку выражения Ф(С), R(^) меня­ ются в зависимости от того, нагружение или разгрузка происходят в одной из полок двутав­ рового поперечного сечения.

Дифференцированием левой и правой час­ тей равенства (7.5.16) по времени t нетрудно убедиться в том, что в случае обращения функ­ ции Ф(С) в нуль скорость изменения амплитуды прогиба стремится к бесконечности. Соответ­ ствующее значение прогиба Ç называют крити­ ческим, т.е. ф(С^) = 0. Значение критического времени t^ находят из соотношения (7.5.16) при

замене верхнего предела интегрирования на ^^.

Итак, отличие вьшучивания нелинейновязкоупругого и вязкопластического стержней заключается в том, что в первом случае крити­ ческому времени соответствует обращение про­ гиба в бесконечность (за исключением дробнолинейного закона ползучести), а во втором - достижение прогибом конечного значения, при котором обращается в бесконечность скорость его изменения (рис. 7.5.8, в).

7.5.6. УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Особенности поведения вязкоупругих сис­ тем при появлении конечных прогибов можно проанализировать на примере фермы Мизеса (рис. 7.5.9). Если материал стержней деформиру­ ется в соответствии с зависимостью

8 = à/E + Во3 у то в предположении малости начального (в ненагруженном состоянии фермы) 00 и текущего 0(/) углов наклона стержней из уравнений равновесия следует соотношение между 0 и /:

{1.5Л1)

где 0(0) - угол поворота стержней в начальный момент времени (непосредственно после прило­ жения нагрузки). Значение 0(0) найдем из ре­ шения упругой задачи, т.е. из уравнения

i'/(£4) = e(o)[eo^-e^(o)]

Скорость изменения >тла поворота 0 уве­ личивается во времени, стремясь к бесконечнос­ ти при 0.^ = [ P / ( 2 J E 4 ) ] . Критическое значение

0,^ определяется только упругими характеристи­ ками материала фермы и не зависит от характе­ ристик ползучести.

Таким образом, в тот момент времени, когда угол 0 достигает значения 0^, в ферме происходит "хлопок" (угол поворота мгновенно изменяется на конечную величину). Указанный момент времени называют 1фитическим. Значе­ ние t^ находят из соотношения (7.5.17) при

0=0^. Характерный вид изменения угла 0 во времени показан на рис. 7.5.10. Нижняя ветвь графика соответствует положению узла фермы ниже уровня опор.

Рис. 7.5.10. Зависимость угла наклона стержней фермы Мизеса от времени

Ранее предполагалось, что в процессе де­ формирования фермы прямолинейная форма ее стержней не теряет устойчивости. Если стержни являются гибкими, то по мере уменьшения угла 0 усилия в них увеличиваются и могут достиг­ нуть величины эйлеровой критической силы. Значение соответствующего угла 0^^ находят из

уравнения Р/(2в^Л =ж EJ/l . Время /^^, при

котором происходит потеря устойчивости стерж­ ня, а следовательно, и фермы, определяют из выражения (7.5.17) при подстановке в него вмес­ то 0 величины 0^^.

Глава 7.6

УСТОЙЧИВОСТЬ РОТОРОВ

7.6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

частном случае вертикальное положение оси вращения в поле сил тяжести будет устойчивым при соблюдения условия [25]

и R могут быть разложены на симметричные и кососимметричные

Ф = С + В; R = K + H, где составляющие матрицы

где со - скорость вращения; /Q - полярный мо­ мент инерции ротора; / - эквивалентный момент инерции относительно точки опоры; M - масса ротора; / - расстояние от точки опоры до центра тяжести.

2.Устойчивость равномерного вращения неуравновешенного гибкого ротора с приводом, но без регулятора [50, 29]. Равномерное враще­ ние при установившейся моментной нагрузке будет всегда устойчивым, за исключением диапа­ зона критической скорости при большой не­ уравновешенности ротора.

3.Устойчивость ротора в электромагнит­ ном или в электрическом полях [33]. В частном случае невращающийся ферромагнитньгй ротор на механических опорах в поле электромагнит­ ных: сил притяжения статора будет устойчивым, если "отрицательная" жесткость магнитного по­ ля будет меньше изгибной жесткости вала рото­ ра. Безопорный ротор в поле постоянных магни­ тов всегда неустойчив, и для его стабилизации используется автоматическая система регулиро­ вания [50].

4.Устойчивость стационарного движения ротора при действии циркуляционных сил, обус­ ловленных взаимодействием ротора с окружаю­ щей средой [4].

5. Устойчивость стационарного вращения ротора, обладающего анизотропными свойствами [4. 3].

Ниже рассмотрены две последние поста­ новки как наиболее распространенные и важные в практическом плане.

! ( ' 'ху ^ух)'

Матрицы С и К определяют соответственно чисто упругие и чисто демпфирующие силы. Силы, определяемые матрицей Н, называют гироскопическими, а матрицей В - псевдогиро­ скопическими или циркуляционнылш.

7.6.2. СИЛЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ РОТОРА СО СРЕДОЙ

На ротор при его движении действуют си­ лы и моменты, зависящие от перемещений и скоростей характерных его точек и обусловлен­ ные реакцией окружающей среды на это движе­ ние. При малых перемещениях и и скоростях Ù эти реакции будут линейными функциями пос­ ледних и в общем случае для поступательных перемещений могут быть представлены в виде

Здесь Ф и R - некоторые матрицы, имеющие вид

-*-

Рис. 7.6.1. Векторы циркуляционных сил и смещение

Циркуляционные силы связаны с вектором смещения, причем вектор циркуляционных сил перпендекулярен вектору смещения (рис. 7.6.1), вследствие чего эти силы могут проявить себя лищь в системах с числом степеней свободы больше одной. Важнейшей особенностью цирку­ ляционных сил является их неконсервативность, так как работа W этих сил на произвольном замкнутом контуре L не равна нулю:

м{1 - 2сйл - œ^ç) + ^/4 + с^ = 0;

Aff 11 + 2cû4 - со т| j + к^у\ + сг| = о,

где M - масса диска ротора; с - жесткость вала. Преобразование к неподвижным координа­

там, добавление членов, учитывающих приве­ денное к центру диска внешнее трение с коэф­ фициентом А:^, силы тяжести ротора и его не­ уравновешенности, приводит к системе

Мх + kji + к^ (х + шу) + сх =

= МЕю cos(cû/ + ф);

Му + к^у + к^ {^ - сох) л-су -

= ME(ù siii((o^ + ф) - Mg.

(7.6.6)

Из системы (7.6.6) следует, что силы внут­ реннего трения приводят одновременно к воз­ никновению сил обычного демпфирования и циркуляционных сил с коэффициентом b = к^а.

При изменении скорости вращения центр диска из-за действия циркуляционных сил будет перемещаться по кривой, представляющей собой полуокружность с радиусом Mg/(2c). Существо­ вание таких кривых, называемых, в частности, в задачах динамики роторов на подшипниках скольжения 1фивыми подвижного равновесия, является одним из харакгерных признаков дей­ ствия циркуляционных сил.

Анализ однородной части системы (7.6.6) с помощью критерия Рауса - Гурвица приводит к условию устойчивости

где со* - скорость вращения ротора на границе устойчивости; Q = (с / М\ .

Из условия (7.6.7) следует, что потеря ус­ тойчивости может произойти лишь при скорос­ ти, превьпиающей собственную частоту ротора Q, и что силы внешнего трения отодвигают гра­ ницу устойчивости в сторону высших скоростей. Из условия (7.6.7) также следует, что в линейной задаче внешние воздействия в виде сил тяжести и неуравновешенности не оказывают влияния на устойчивость.

Анализ системы (7.6.6) с помощью метода Х)-разбиения показывает, что на границе устой­ чивости частота самовозбуждающихся колебаний X равна собственной частоте ротора Q и колеба­ ния эти происходят в форме прямой прецессии, т.е. в направлении вращения ротора.

Эффективным средством повышения ус­ тойчивости является применение упругодемпферных опор. На рис. 7.6.3 показан характер

границы устойчивости для гибкого ротора на изотропных упругодемпферных опорах при фик­ сированном уровне сил внутреннего трения À:/=const. Область неустойчивости заштрихова­ на. Из рис. 7.6.3 следует, что существует некото­ рое оптимальное демпфирование, при котором ширина области устойчивости максимальна.

Рис. 7.6.3. Области устойчивости гибкого ротора на изотропных упругодемпферных опорах:

Qo - собственная частота ротора на упругих опорах; Цо - собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах

Рис. 7.6.4. Зависимость устойчивости ротора от анизотропии упругих опор

Анизотропия упругих опор также суще­ ственно повышает устойчивость. На рис. 7.6.4

показаны границы областей устойчивости для опор без внешнего трения при нескольких зна­ чениях коэффициентов анизотропии

у = (с^ - С2) / (с^ + €2) и при постоянном ко­ эффициенте относительной жесткости опор (с^ + С2) / 2с = 0,5. Вертикальной штриховой

линией показано положение границы устойчиво­ сти для ротора на изотропных опорах с той же относительной жесткостью. Физический смысл повышения устойчивости с увеличением анизо­ тропии заключается в том, чго при изменении параметра устойчивости, например скорости, потеря устойчивости наступает только тогда, когда частоты колебаний по двум направлениям выравниваются.

В несимметричных роторных конструкциях гироскопический эффект дисков повышает ус­ тойчивость. Это объясняется тем, чго гироско­ пический эффект всегда повышает критическую скорость, а потеря устойчивости может происхо­ дить лишь при скоростях, превышающих крити­ ческую.

Циркуляхщонные силы в подшипниках скольжения и в уплотнениях приводят в основ­ ном к уже описанным эффектам, но имеются и некоторые особенности, связанные, в частности, с соотношением (7.6.5). Так, из-за наличия в смазочном слое квазиупругих составляющих возможна потеря устойчивости и жесткого рото­ ра. При этом для таких роторов частота колеба­ ний на границе устойчивости оказывается всегда близкой к половине скорости вращения, т.е. для жесткого ротора величина ©/2 является как бы его собственной частотой. Уменьшение жесткос­ ти ротора всегда понижает его устойчивость и особенно резко понижается устойчивость при скоростях, близких к удвоенной собственной частоте 2Q. При этом частота колебаний на гра­ нице устойчивости, оставаясь близкой к со/2, одновременно оказывается близкой к собствен­ ной частоте ротора Q.

Эффективным средством повышения ус­ тойчивости является применение упругодемпферных опор, специальных подшипников с вы­ раженными анизотропными свойствами, напри­ мер эллиптических, а также подшипников, у которых циркуляционные силы отсутствуют (с подвижными вкладышами).

Величина хщркулящсонных сил парового потока обусловлена главным образом давлением и расходом пара, поэтому при анализе устойчи­ вости роторов ставится задача определения так называемой пороговой мощности, т.е. мощнос­ ти, превышение которой приводит к неустойчи­ вости. Как и при действии циркуляционных сил иного типа, повышению устойчивости способ­ ствует увеличение жесткости ротора, использо­ вание виброустойчивых подшипников, а также

конструктивных мер, приводящих к уменьше­ нию сил парового потока.

При действии циркуляционных сил элект­ ромагнитного происхождения устойчивость ро­ торов зависит наряду с параметрами, определя­ ющими интенсивность действующих сил, от частоты взаимного вращения ротора и магнитно­ го поля. В частности, возможна потеря устойчи­ вости вращающегося ротора при неподвижном поле и потеря устойчивости невращающегося ротора при вращающемся поле.

Для анализа устойчивости сложных ротор­ ных систем, таких, например, как валопроводы крупных турбоагрегатов, используют различные приближенные методы.

При использовании метода разложения по формам собственных колебаний составляют ха­ рактеристическое уравнение, порядок которого определяется числом учитываемых форм колеба­ ний. Далее характеристическое уравнение анали­ зируют с помощью критериев Рауса - Гурвица или Зубова (см. гл. 7.2).

При использовании методов расчета, бази­ рующихся на численных методах начальных па­ раметров или динамических жесткостей, находят границу устойчивости в зависимости от парамет­ ра устойчивости задачи А (скорость вращения, пороговая мощность и т.п.). При реализации метода отыскивают периодическое решение с неизвестной частотой X и с помощью переход­ ных матриц для ротора с распределенными па­ раметрами составляют с учетом граничных усло­ вий характеристическийГ определитель Ф(Д X). Из условия Ф(Д Х)=0 численно находят грани­ цу устойчивости и частоту колебаний на этой границе.

7.6.4. ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РОТОРА

Выход параметров системы за границы ус­ тойчивости приводит к режиму автоколебаний, амплитуда и частота которых определяется ха­ рактером и величине ' нелинейных сил в систе­ ме.

Ниже в качестве иллюстрации многообра­ зия возможных явлений приведены результаты расчетов для неуравновешенного ротора с одним диском на жестких опорах, у которого нелиней­ ны только силы внешнего и внутреннего трения, зависящие от четных степеней радиуса переме­ щений диска. Уравнения движения такой систе­ мы имеют вид [13]

Для идеально уравновешенного ротора с вертикальной осью, т.е. для системы (7.6.8) без правых частей, находят точное решение в форме

несинхронной прецессии с частотой X = ^с/М

X = AcosXt; у = AsiiiXt,

где амплитуду А определяют из уравнения

А ~4^eO'^Kl'^ "^^е2^ У

амплитудах внешнее трение больше внутреннего

{K2>Ki) (рис. 7.6.5, б)\

при малых амплитудах к^\^кц, при сред­ них kg2^k(2, при больших ^еЗ-^^/З» где к^^, kj^ - коэффициенты при шестых степенях амплитуд (рис. 7.6.5, в).

На рис. 7.6.5 штриховыми линиями пока­ заны неустойчивые ветви решений. Из рис. 7.6.5 следует, что в зависимости от характера сил воз­ можно жесткое возбуждение автоколебаний при увеличении скорости и затягивание колебаний при снижении скорости.

X- û))f k^Q + к^^А + к^2^ = 0.

Решения будут устойчивыми при выполне­ нии условия dS / дА < 0.

В зависимости от соотношения между не­ линейными составляющими сил внешнего и внутреннего трений возможны амплитудные кривые различных видов:

/t

Рис. 7.6.5. Виды амплитудных зависимостей при автоколебаниях

нелинейные составляющие сил внешнего трения при всех амплитудах больше составляю­ щих сил внхгреннего трения (рис. 7.6.5, а);

при малых амплитудах внутреннее трение больше внешнего (^/i>^ei), но при больших

^*fe/*;yr<2/»)f

Рис. 7.6.6. Амплитудно-частотные зависимости при наличии сил тяжести и неуравновешенности: / - автономная задача; 2 - при учете сил тяжести; 3 - при действии неуравновешенности

Силы тяжести и неуравновешенность сме­ щают границу устойчивости, найденную при решении соответствующей линейной задачи, и оказывают влияние на автоколебания (рис. 7.6.6).

При другом характере нелинейных сил не­ уравновешенность может как повышать, так и понижать устойчивость системы. В частности, установлено, что при "жесткой'* нелинейности упругих сил неуравновешенность повышает ус­ тойчивость, а при "мягкой" нелинейности - понижает устойчивость по сравнению со случаем нелинейной упругости.

Для многомассовых роторных систем или систем с распределенными параметрами, когда скорость вращения превышает не только первую, но и высшие критические скорости, существует возможность возникновения одночастотных ав­ токолебаний различных форм или даже многоча­ стотных автоколебаний. Соответствующая ли­ нейная задача устанавливает здесь лишь факт потери устойчивости, но не дает ответа на воп­ рос, какие формы колебаний будут при этом осуществляться, и ответ может быть получен только при рассмотрении нелинейной задачи.

В неподвижной системе координат уравне­ ния движения имеют уже периодические коэф­ фициенты:

в этом диапазоне становится мнимой и в систе­ ме возникает неустойчивость, характеризуемая апериодическим движением в подвижной систе­ ме координат и движением по раскручивающей­ ся спирали в неподвижной системе координат с частотой со. Область неустойчивости заштрихо­ вана.

•4(ùW =0.

«?/ «г

Ряс. 7.6.9. Зависимость собственных частот анизотропного ротора от скорости

Зависимость частот Qi^ от скорости со по­ казана на рис. 7.6.9, из которого следует, что в диапазоне скоростей вращения Qj < со < Qjj,

где Qj = JCj /M и QJJ = -^Cjj / M - парци­ альные частоты ротора, существует только одна собственная частота. Другая собственная частота

Рис. 7.6.10. Области неустойчивости анизотропного ротора

Анализ однородной части системы (7.6.9) с помощью критерия Рауса - Гурвица приводит к условию устойчивости

скольких фиксированных значениях параметра Ь = к / Jc^ I M . Области неустойчивости заш­

трихованы.

Неуравновешенность ротора приводит в неподвижных координатах к круговым движени­ ям с частотой со:

JC = У4 COS(CO/ 4- V|/); >^ = Л sin(co/ + vj/), (7.6.12)