Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

где (pj(t) - полиномы от t степени г-1 с Т- периодическими коэффициентами. В результате приходим к следующим условиям устойчивости.

Положение равновесия x(t\ = 0 периоди­ ческой системы (7.2.20) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда все мультипликаторы Pj лежат в единичном круге | р | < 1 , причем мультипликаторы, лежащие на граничной ок­ ружности | р | = 1 , имеют простые -элементарные делители, если их рассматривать как собствен­ ные значения матрицы монодромии R.

Положение равновесия х(/) = О периоди­ ческой системы асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все мультипликаторы pj

лежат внутри единичного круга | р | <1. Типи^шые случаи расположения мульти­

пликаторов на комплексной плоскости представ­ лены на рис. 7.2.8.

/ Reç

Рис. 7.2.8. Типичные случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости:

а - устойчивость по Ляпунову; б - асимптотическая устойчивость; в - неустойчивость

Применительно к конкретным физическим и техническим объектам неустойчивость невоз­ мущенных движений обычно может быть истол­ кована как параметрическое возбуждение коле­ баний (и наоборот). Причиной параметрических колебаний обьгшо являются периодически из­ меняющиеся параметры жесткости и инерхщонности. Например, при установившемся враще­ нии вала, жесткость опор которого зависит от направления реакций, эффективная жесткость системы - периодическая функция времени; в кривошипно-шатунном механизме периодически изменяется приведенная масса, т.е. инерционная характеристика. Исследование устойчивости

периодических движений в нелинейных систе­ мах, как правило, также приводит к линейным дифференциальным уравнениям с периодичес­ кими коэффициентами [3].

Уравнения параметрических колебаний ли­ нейных систем с конечным числом степеней свободы в общем случае могут быть представле­ ны в виде

где q(/) - вектор обобщенных координат; А(0, В(/), С(0 - квадратные матрицы, элементы ко­ торых - действительные функции времени. Мат­ рица А(0 при всех / является положительно оп­ ределенной. На матрицы В(/) и С(/) это ограни­ чение не накладывают.

Вводя вектор фазовых переменных х, за­ пишем уравнение (7.2.32) в форме (7.2.20). При этом G(/) - матрица размерностью 2пх2п:

Пусть коэффициенты уравнений (7.2.32) - непрерывные периодические функции времени с одинаковым периодом Т. Тогда

А(/ + Т)= A{t); В(/ +Т) = B{t); С(/ +Т)= С(/).

Соответствующую этому периоду частот>' Gi=27i/T называют частотой параметрического возбуждения, или частотой возбуждения.

В случае одночастотного параметрического возбуждения внешнее воздействие может быть задано с точностью до двух параметров: частоты возбуждения со и коэффициента возбуждения ц, который характеризует интенсивность парамет­ рического возбуждения (глубину модуляции параметров). Например, в уравнении (7.2.32)

А = Ао +^Ai(/); В = Во +[iB^{t);

где AO,BQ,CO - симметричные положительно

определенные матрицы с постоянными элемен­ тами; АД/),Bj(/) и C^(t) - гармонические с

периодом T^2n/(ù матрихщ достаточно произ­ вольной структуры. Диссипахщю будем считать достаточно малой. Для этого класса параметри­ ческих систем область неустойчивости на плос­ кости ц, со имеет ряд клиньев, заостряющихся в сторону малых ц. Клинья примыкают к оси час­ тот вблизи значений со, находящихся в некото­ рых соотношениях с собственньп^и частотами соответствующей консервативной системы, т.е. положительными корнями coj, С02»-,^А1 уравне-

ния det I^Co-'coX)^ Именно эти частотные соотношения соответствуют параметрическим резонансам [3].

Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

i? = l,2,...

называют простыми. В механических системах, для которых уравнение (7.2.32) распадается на независимые уравнения, описывающие измене­ ние каждой обобщенной координаты в отдель­ ности, возможны только простые резонансы.

Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

называют комбинационными. Эти резонансы, обусловленные попарным взаимодействием форм колебаний, возможны только в системах, совершающих связанные колебания. В зависи­ мости от знака в правой части формулы (7.2.35) различают комбинахщонные резонансы суммар­ ного типа (суммарные резонансы) и комбинаци­ онные резонансы разностного типа (разностные резонансы).

Взависимости от значения целых чисел р в соотношениях (7.2.34) и (7.2.35) различают глав­ ные (при р=1) и побочные (при р=^) резонансы. Число р называют порядком резонанса.

Вслучае полигармонического параметри­ ческого возбуждения периодические коэффици­ енты в уравнении (7.2.32) представим в виде рядов:

к=-М

Со - симметричные положительно определенные матрицы с постоянньБли элементами; ^-к~~^к- Положительные числа 0i<02<...<0jVf называют парциальными частотами параметрического воз­ действия. Пусть эти частоты находятся в простом кратном отношении 0 y ^ r ^ i / % где Гу^ и 5;^ - положительные целые несократимые числа. Ко­

При полигармони'^еском параметрическом возбуждении возможно существование двух ти­ пов резонансов. Во-первых, это резонансы, от­ вечающие парциальному воздействию отдельных составляющих в разложении (7.2.36). Соответ­ ствующие частотные соо1Т{ошения имеют вид

(7.2.37) Эти резонансы называют парциальными. Ос­ тальные резонансы, для которых pjç в соотноше­ ниях (7.2.37) не кратно ни одному из целых чисел, называют коллективными. При pk>s соот­ ветствующие точки принадлежат тому же отрезку частотной оси, что и парциальные резонансы. Поэтому наибольший интерес вызывают коллек­ тивные резонансы, для которых Pk<S' Если вы­ разить соответствующие частотные отношения через основную частоту 0i, то получим для этих резонансов

1 Rep

1 Reç

Рис. 7.2.9. Положения мультипликаторов при пересечении границы области устойчивости

Уравнение (7.2.20) можно представить в

Здесь Н(/) - симметричная матрица-функция; J- матрица вида

^ о

j = - Е . О

Глава 7.3

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

7.3.1. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

с положительно определенной матрицей А. Предположим, что в некоторой окрестности начала координат потенциальная энергия систе­ мы положительно определенная. Тогда полная

энергия £'(q, q) = — q Aq + n(q) будет положи­

ШШ

Рис. 7.3.1. Иллюстрация к теореме Лагранжа об устойчивости консервативных систем

На рис. 7.3.1 приведена простейшая иллю­ страция к теореме Лагранжа - тяжелый цилиндр на гладкой цилиндрической поверхности. Сис­ тема по предположению имеет одну степень свободы. В случае а равновесие устойчиво, в случае в - неустойчиво. Случай б отвечает нейт­ ральному равновесию - переходному от устойчи­ вого к неустойчивому. Нейтральное равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчи­ вым. Так, если поверхность - плоскость, то это состояние неустойчиво: при сообщении цилинд­ ру сколь угодно малой начальной скорости он удагштся сколь угодно далеко от начального по­ ложения. Если поверхность - вогнутая, но вогну­ тость порождается членами четвертого или более высокого порядка относительно q, то нейтраль­ ное равновесие - устойчивое. Поясним это на менее элементарном примере.

Пример 1. Рассмотрим равновесие абсо­ лютно твердого стержня длиной /, сжатого "мертвой" силой Р. Стержень удерживается в окрестности вертикального положения спираль­ ной пружиной с коэффихщентом жесткости с (рис. 7.3.2).

Потенциальную энергию при отклонениях стержня от вертикального положения 0=0 с точностью до постоянного множителя предста­ вим в форме

П ( 0 ) = - 0 ^ - p ( l - c o s 0 ) ,

где р=Р//с - безразмерный параметр. Эта функ­ ция одной переменной будет иметь изолирован­ ный минимум в точке 0=0, если

— i i = (l-pcos0)|^^^=l-P>O.

об Таким образом, вертикальное положение равно­

весия стержня будет устойчиво, если Р<Р*=1. Если р=1, то вторая и третья производные в точке 0=0 обращаются в нуль. Это отвечает ней-

Рис. 7.3.2. Модель |{|еханической системы с одной степенью свободы

Обычно для суждения об устойчивости равновесия достаточно удержать в разложении функции n(q) квадратичные члены:

п п

nw4Èî-''" •qjqk^'- (7.3.5)

Коэффициенты квадратичной формы образуют матрицу размерности Пхп (матрицу Гессе);

Равновесие будет устойчивым, если матрица (7.3.6) - положительно определенная. Выполне­ ние этого условия нетрудно проверить, приме­ няя критерий Коши - Сильвестра. Для систем с одной степенью свободы условие устойчивости имеет вид

d'n >0. (7.3.7) dq'

прерывном изменении параметров Pi,...,p,. Кроме устойчивых форм, возможны различные типы неустойчивых форм. Примеры для системы

изолированный максимум, при П = ^^ - ^2 '

седло. Можно указать и другие типы стационар-

И = q^ - желоб, при И = q^^qj - скрещенные желоба. При непрерывном изменении парамет­ ров системы тип равновесия может измениться; например, изолированный минимум потенци­ альной энергии сменяется седдовой точкой и далее изолированным максимумом. В точках смены формы равновесия появляются новые формы. Это явление* называют ветвлением (бифуркацией) форм равновесия. Теория бифур­ каций играет важную роль в анализе послекритического поведения механических систем.

тема скачком переходит в новое состояние ус­ тойчивого равновесия. При дальнейшем увели­ чении р система проходит ряд устойчивых со­ стояний, двигаясь по новой ветви. При обрат­ ном изменении параметра система проходит по верхней устойчивой ветви до точки Р=р**, q=q**y где происходит скачок на другую устой­ чивую ветвь. Таким образом, имеет место явле­ ние гистерезиса по отношению к изменению параметра р.

«1

Рис. 7.3.4. Смена состояний равновесия системы с одной степенью свободы

Два других случая показаны на рис. 7.3.5, где точки бифуркаций одновременно являются предельньгми. В случае а при Р>Р* осуществля­ ется одна из устойчивых форм равновесия, в случае б в окрестности точки ветвления вообще нет устойчивых форм.

Рис. 7.3.3. Примеры стационарных точек функции потенциальной энергаи консервативной системы с двумя степенями свободы: а - минимум; б - максимум;

в - седло; г -"обезьянье седло"; д - желоб; е - скрещенные желоба

Типичные диаграммы ветвления для случая п=п=1 представлены на рис. 7.3.4. В случае а имеем точку ветвления при Р=Р*, q = q^- Если

при Р=0 равновесие системы было устойчивьп^, то оно останется таковьшЕ до точки ветвления. Затем начальная ветвь равновесия становится неустойчивой (она обозначена далее штриховой линией). При дальнейшем росте параметра Р осуществляются устойчивые формы равновесия.

Рис. 7.3.5. Комбинация точек бифуркации с предельными точками

Пример 2. Рассмотрим так называемую ферму Мизеса - систему из двух стержней, на­ груженную силой F (рис. 7.3.6). Пусть началь­ ный угол наклона стержней GQ, начальная длина /. Упругая податливость стержней при сжатии

характеризуется коэффициентом жесткости с, так что сжимающие усилия в стержнях связаны с их укорочением зависимостью N=cAl. Под дей­ ствием силы F угол наклона стержней принима­ ет значение 6. Примем 6 за обобщенную коор­ динату, Р - за параметр системы.

жении состоянии предельных точек с координа­ тами (7.3.10) происходит "прощелкивание" фер­ мы. В зависимости от направления изменения нагрузки возможны "прощелкивания" как в прямом, так и обратном направлениях.

J3I \

Рис. 7.3.9. Зависимость прогиба/ от параметра нагрузки р и начального отклонения е (а)

иинтерпретация ветвления форм равновесия

в"теории катастроф" (б)

Для прикладной теории устойчивости механи­ ческих систем эти теории не добавляют суще­ ственно нового (кроме терминологии) к извест­ ным фактам. В этом можно убедиться, напри­ мер, по приложениям этой теории к строитель­ ной механике из книги [17]. На рис. 7.3.9, а приведена известная зависимость характерного прогиба/упругого стержня или его модели (рис. 7.3.2) от параметра нагрузки Р и начального возмущения г=/с). На рис. 7.3.9, б показана диаг­ рамма "катастрофы типа сборки", которая по существу представляет собой трехмерную интер­ претацию зависимости между/ Р и 8 для поло­ жений равновесия.

7.3.3.ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ

ИГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Как и в п.7.3.1, будем рассматривать поло­ жения равновесия механической системы с голономными стационарными связями при дей­ ствии только консервативных позиционных сил. Возникает вопрос, как может измениться харак­ тер положения равновесия при добавлении обобщенных сил, пропорциональных обобщен­

ным скоростям. Приведенные ниже утверждения связаны с именами Кельвина и Тета [59]. В до­ полнение к уравнениям (7.3.4) рассмотрим урав­ нения возмущенного движения вида

где 8i, 82 - параметры; Bi - симметричная мат­ рица диссипативных сил; В2 - антисимметрич­ ная матрица гироскопических сил. Если матрица Bj - положительно определенная, то мощность диссипативных сил при любых движениях q(/) будет положительной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. В противном случае говорят о неполной диссипации. Мощность гироскопических сил на. любых дей­ ствительных движениях равна нулю.

Положение равновесия q=0 уравнения (7.3,11), устойчивое при одних консервативных позиционных силах, становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией (8i>0, 82=0) или дисси­ пативных сил с полной диссипацией и гироско­ пических сил (8i>0, 82>0).

Положение равновесия q=0 системы, ус­ тойчивое при одних консервативных позицион­ ных силах, остается устойчивьп^ при добавлении диссипативных сил (не обязательно обладающих полной диссипацией) и (или) гироскопических

сил (8i>0, 82>0 или 8 1 = 0 , 82>0).

Положение равновесия q=0 системы, неус­ тойчивое при одних консервативных позицион­ ных силах, может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил (8i=0, S2>0) только в том случае, если стационарной точке функции потенциальной энергии n(q) отвечает четное число отрицательных собственных значе­ ний матрицы (7.3.6).

Положение равновесия q=0 системы, неус­ тойчивое при одних консервативных позицион­ ных силах, не может быть стабилизировано до­ бавлением гироскопических и диссипативных сил (81>0, 82>0), если последние обладают пол­ ной диссипацией.

7.3.4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

К этому классу принадлежат все упругие системы с распределенными параметрами (стержни, пластины, оболочки, комбинирован­ ные конструкции-и т.п.), нагруженные потенци­ альными силами при условии, что все связи стационарны и голономны (последнее условие в механике конструкций обычно выполняется). Обобщение теоремы Лагранжа об устойчивости на распределенные системы было дано Брайа­ ном, С. П. Тимошенко и другими авторами.

Исследование устойчивости форм равнове­ сия распределенных консервативных систем сводится к анализу функционала потенциальной

энергии П, равной сумме потенциальной энер­ гии упругой деформации системы и потенциаль­ ной энергии внешних нагрузок. В состояниях равновесия должно быть выполнено условие

для всех кинематически допустимых вариаций поля перемещений. Условие (7.3.12) эквивалент­ но уравнениям равновесия упругой системы и совокупности естественных граничных условий. Состояние равновесия устойчиво, если для всех допустимых вариаций

02П>0. (7.3.13)

Если хотя бы для некоторых вариаций о2П<0, то равновесие неустойчиво. Критические значения параметров нагрузки сле/^ует искать среди тех, которые одновременно удовлетворяют условиям ОП=0, 02П=0.

Пример 3. Тонкий прямолинейный упругий стержень длиной / нагружается продольной си­ лой Р. Невозмущенная форма равновесия стер­ жня - прямолинейная. В качестве кинематически допустимых вариаций поля перемещений возьмем малые поперечные прогибы стержня, заданные функцией w(x),x е [О,/]. Потенциаль­ ная энергия стержня в возмущенном состоянии может быть представлена в виде

где первый член в правой части включает энер­ гию деформации для невозмущенного состоя­ ния, в частности энергию сжатия стержня. По­ скольку два других члена образуют квадратичные функционалы относительно функции возмуще­ ний w(x), то их сумма дает вторую вариацию от потенциальной энергии

//

00

Вучебной и технической литературе члены

вправой части из (7.3.14) часто интерпретируют как "потенциальную энергию деформации" и ^работу внешних сил". Формула

дает для критического параметра / ; оценку сверху, если сравниваются кинематически допус­ тимые состояния. Эта формула отвечает так на­ зываемому методу С П . Тимошенко.

Пусть стержень имеет постоянное сечение по длине стержня, так что jE7=const, а концы стержня шарнирно оперты. Граничные условия w=w Д2с~0 при х=0 и х=1 будут удовлетворены, если положить

к=1 I

Подстановка ряда (7.3.16) в формулу (7.3.14)

Подставляя ряд (7.3.16) в правую ч^сть формулы (7.3.15), получим

р = Z—2—^^ IZ^ ^ ^^

а=1 J

Очевидно, что отличный от нуля минимум пра­ вой части достигается при ^1=?Ю, qk~^^ к=2, ..., что приводит к той же формуле (7.3.17).

Метод анализа устойчивости, основанный на рассмотрении функционала потенциальной энергии, назьшают энергетическим. Наряду с этим в теории устойчивости упругих (вообще - деформируемых) систем широко применяют так называемый статический метод. Идея этого метода восходит к работам Эйлера, который определял критическую силу как "силу, требую­ щуюся для самого малого наклонения колонны" [6]. Критическая сила (или, в более общем слу­ чае, параметр группы сил) определяется как наименьшее значение силы, при котором наряду с невозмущенной формой равновесия появляют­ ся смежные, весьма 6;шзкие к ней формы рав­ новесия.

Пример 4. Возвращаясь к данным примера 3, составим дифференциальное уравнение изгиба стержня при малых отклонениях w{x) от поло­ жения равновесия:

Вместе с однородными граничными условиями уравнение (7.3.18) отвечает некоторой задаче о собственных значениях. Минимальное среди собственных значений Р\^ Р2, ... является иско­ мой критической силой, а соответствующая соб­ ственная функция описывает форму потери ус­ тойчивости в окрестности этого критического значения. Для стержня постоянного по длине сечения при шарнирном опирании концов ре­ шение задачи дает

k'^'K'EJ Vi^{x) = sin кжх {к = 1,2,...).

При к=\ приходим к критическому значению продольной силы (7.3.17).