Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

ров |/ г| ICQ , Ф / ) , соответствующие различ­ ным значениям «о- Области неустойчивости

располагаются выше построенных линий. Исследование переходных процессов. Рас­

смотрим колебания, возникающие в упругой муфте при разбеге машины. Предположим, что закон движения ротора ф(/') является заданным; это соответствует предположению об идеаль­ ности характеристики двигателя. При исследова­ нии разбега обычно можно пренебречь перемен­ ными компонентами J^ iq\ и М^ iq^q\, в этом

случае уравнение движения принимает сле­ дующую форму:

/^оё + ^ + сЮ = -/^оф(0 - ^со[ф(0 + ё].

(6.10.21) Рассмотрим разбег машины при отсутствии сил

вьщеляя в нем квазйстатическую составляющую

^кст = ~ Ф А О • Подставляя (6.10.24) в (6.10.22), получаем

vj/ + 2щ + /:Qv|/ = ф (/) + 2яф(/) //:Q .

(6.10.25) При этом начальные условия (6.10.23) дают

^ \

'Ч/К'

'Со/К^

v|/(0) = Щ1к1 ; Ц0) = Щ1к1. (6.10.26)

Амплитуды колебаний, возникающих в упругой муфге при разбеге, существенно зависят от плав­ ности закона изменения углового ускорения двигателя ф(^)- Скачкообразные изменения

ускорения приводят к появлению колебаний большой амплитуды. Так, например, при разбеге с постоянным угловым ускорением ротора

Рис. 6.10.5. Графики переходных процессов в системе с упругой муфтой

Подставляя (6.10.28) и (6.10.29) в (6.10.1), определяем момент, возникающий в муфге при разбеге:

^ к = «^мО^О l+^e-'^S^V-»)

Л'-'v)

М^ = --^м0^о—e"^''^in[A:i(/-/p)-a]

Если при разбеге (p(t\ изменяется плавно и при этом ф(0) = ф1/р 1 = О, амплитуды колеба-

НИИ, возникающих в упругой муфте, умень­ шаются. Так, например, если

уравнение (6.10.25) принимает следующий вид:

Время разбега обычно существенно превосходит период св^ободных колебаний системы. При этом правая часть в уравнении (6.10.33) оказывается малой величиной по сравнению с ф(^); прене­ брегая ею, полу^^аем

6.10.3.ЭФФЕКТИВНОСТЬ УПРУГОЙ МУФТЫ

вДВУХМАССНОЙ СИСТЕМЕ

при учете статической характеристики ро­ торного двигателя в форме (6.9.26) машина, со­ держащая упругую муфту, должна рассматри­ ваться как двухмассная система (рис. 6.10.6), уравнения движения которой имеют вид

1 . 2

(6.10.37)

2

= -Ьд-сд-\-Ьф+с(р-М^ {q,q).^

Сравнивая (6.10.35) и (6.10.30), легко заметить, что при синусоидальном законе изменения ускорения максимальная амплитуда колебаний

момента с частотой к меньше в 2À:Q/ /тс раз,

чем при постоянном ускорении (рис. 6.10.5, б). Вообще при плавном разгоне в первом

приближении можно принимать, что М^ « ""^мО^СО' ^^^^^ разбег машины происхо­ дит при действии постоянного момента сил со­ противления и * в уравнении (6.10.21) McO=MQ=consi, то максимальная амплитуда колебаний, возникающих в муфте, увеличивается приблизительно на MQ /С . В первом приближе­ нии крутящий момент при плавном законе из­ менения можно определить по формуле

M,.-J^,ф{t)-M,[l-e-'^'smk,t^.

Mi)

^д

Рис. 6.10.6. Расчетная модель двухмассной системы

При исследовании установившегося движения можно искать решение этой системы уравнений в форме

где X и у - неизвестные функции времени. Ли­ неаризуя Л/ (ф) в окрестности ф = COQ, а также

исходя из предположений, сформулированных в п. 6.10.2, можно привести уравнения (6.10.37) к виду

сс

авозмущающий момент может быть представлен в форме, аналогичной (6.10.11):

Z(/ + 0 ^ ^ / © Q ) = ^Li cosf/r|/ + а Л , (6.10.41)

/=l

где a; =aj +9ст/^0 -

20. Вибрация в технике: Справочник. Т. 1. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

21. Вибрация в технике: Справочник. Т. 2. М.: Машиностроение, 1979. 351 с.

22.Вибрация в технике: Справочник. Т. 4. М.: Машиностроение, 1981. 510 с.

23.Вибрация в технике: Справочник. Т. 6. М.: Машиностроение, 1981. 454 с.

24.Вульфсон И. И., Коловский М. 3. Не­ линейные задачи динамики машин. Л.: Маши­ ностроение, 1968. 286 с.

25.Галкин М. С. Теория колебаний упру­ гих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью / / Уч. записки ЦА1 И, 1977. С. 90-96.

26.Галкин М, С. О решении задачи Коши

для одного уравнения / / ПММ . т. XX, вьш. 2. 1956. С. 271-278.

27.Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колеба­ ния твердых тел. М.: Наука, 1976. 431 с.

28.ГольдСМИТ В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

29.Голубков Ю. В., Ефремов А. К., Федо­ сов А. А. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Машиностроение, 1989. 320 с.

'30. Григорьев Н. В. Нелинейные колебания элементов машин и сооружений. М.: Машгиз, 1961. 382 с.

31.Гусев А. С , Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

32.Джонсон К. Механика контактного вза­ имодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.

33.Динамика машин и управление маши­ нами / В. И. Асташев и др. М.: Машинострое­ ние, 1968. 240 с.

34.Динамика ракет / Под ред. В. П. Ми­ шина. М.: Машиностроение, 1990. 463 с.

35.Динамика удара / Дж. А. Зукас, Т. Ни­ колас, X. Ф. Свифт и др. М.: Мир, 1985. 296 с.

36.Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однород­ ной капельной жидкостью. Собр. соч. Т. 2. М.- Л.: ГНТИ, 1931. 130 с.

37.Журавлев В. Ф., Климов Д. М. При­ кладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

38.Заславский Г. М. Стохастичность дина­ мических систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

39.Ильгамов М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Нау­ ка, 1969. 187 с.

40.Ильинский В. С. Защита аппаратов от динамических воздействий. М.: Энергия, 1970. 320 с.

41. КелЕ»зон А. С , Журавлев Ю. Н., Январев Н, В. Расчет и конструирование роторных машин. Л.: Машиностроение, 1977. 288 с.

42.Кильчевский Н. А. Динамическое кон­ тактное сжатие. Удар. Киев: Наукова Думка, 1976. 320 с.

43.Клюкин И. И. Борьба с шумом и звуко­ вой вибрацией на судах. Л.: Судостроение, 1971. 416 с.

44.Кобринский А. А., Кобринский А. £ .

Виброударные системы. М.: Наука, 1973. 519 с.

45.Колесников К. С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980. 376 с.

46.Колесников К. С , Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М.: Машиностроение, 1974. 267 с.

47.Коловский М. 3. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 316 с,

48.Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966. 318 с.

49.Коловский М. 3. Динамика машин. Л.: Машиностроение, 1989. 263 с.

50.Колебания элементов аксиальнопоршневых гидромашин / Под ред. К. В. Фро­ лова. М.: Машиностроение, 1973. 279 с.

51. Кононенко В. О. Колебательные си­ стемы с ограниченным возбуждением. М.: Нау­ ка, 1964. 254 с.

52.Коренев Б. Г., Резников Л. М. Динами­ ческие гасители колебаний. М.:Наука, 1988.303 с.

53.Луковский И. А., Троценко В. А., Усюкин в. И. Взаимодействие тонкостенных упр>тих элементов с жидкостью в подвижных полостях. Киев: Наукова Думка, 1989. 240 с.

54.Ляпунов В. Т., Никифоров А. С. Вибро­ изоляция в судовых конструкциях, л . : Судо­ строение, 1975.

55.Матвеев В. В. Демпфирование колеба­ ний деформируемых тел. Киев: Наукова Думка, 1985. 263 с.

56.Мигулин В. В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978. 392 с.

57.Микишев Г. Н. Экспериментальные ме­ тоды в динамике космических аппаратов, М.: Машиностроение, 1978. 247 с.

58.Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Дина­ мика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. 563 с.

59.Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Дина­ мика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.

60.Нагаев Р. Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. М.: Наука, 1985. 200 с.

61. Найденко О. К., Петров П. П. Аморти­ зация судовых двигателей и механизмов. Л.: Судпромгиз, 1962. 288 с.

62. Нариманов Г. С , Докучаев Л. В., Лу­ ковский И. А. Нелинейная динамика летательно­ го аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977. 208 с.

63.Неимарк Ю. И. Метод точечных отоб­ ражений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

64.Неимарк Ю. И., Лацца П. С. Стохасти­ ческие и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

65.Пановко Я. Г. Введение в теорию меха­ нического удара.М.:Машиностроение,1977. 220с.

66.Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. 247 с.

67.Пановко Я. Г. Основы прикладной тео­ рии колебаний и удара. М.: Машиностроение, 1976. 320 с.

68.Позняк Э. Л., Гладышева Т. Н. Маят­ никовые и ротационные колебания жесткого неуравновешенного тяжелого ротора в подшип­ никах с зазорами // Вибротехника, 1990. N° 3 (63). С. 50-59.

69.Позняк Э. Л., Чесноков С. А. Экспери­ ментальные и расчетные исследования шарового ряда в электромагнитном подвесе // Труды ВНИИЭМ. Т. 68. М., 1981. С. 71-82.

70.Поляков В. С, Барбаш И. Д., Ряховский о. А. Справочник по муфтам. Л.: Машино­ строение, 1974. 348 с.

71.Попов Е. П. Динамика систем автома­ тического регулирования. М.: Гостехиздат, 1954. 798 с.

72.Прочность. Устойчивость. Колебания: справочник. Т. 3. / Под ред. И. А. Биргера и

Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 567с.

73.Пугачев В. С. Введение в теорию веро­ ятностей. М.:.Наука, 1968. 368 с.

74.Розенвассер Е. М. Периодические не­ стационарные системы управления. М.: Наука, 1973. 512 с.

75.Сагомонян А. Я. Проникание. М.: Издво МГУ, 1974. 300 с.

76.Светлицкий В. А. Механика трубопро­ водов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 277 с.

77.Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1975. 215 с.

78.Светлицкий В. А Динамика старта лета­ тельных аппаратов. М.: Наука, 1986. 280 с.

79.Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 132 с.

80.Справочник по судовой акустике. Л.: Судостроение, 1978. 504 с.

81.Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических системах. М.: ИЛ, 1952. 254 с.

82.Стрелков С. П. Введение в теорию ко­ лебаний. М.: Наука, 1964. 437 с.

83.Тимошенко С. П. Колебания в инже­ нерном деле: Пер. с англ. М.: Наука, 1967. 444 с.

84.Тоццл А Динамика роторов турбоагре­ гатов. Л.: Энергия, 1971. 387 с.

85.Т0Ц21Л А Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979. 429 с.

86.Феодосьев В. И. Сопротивление мате­ риалов. М.: ГИФМЛ, 1962. 536 с.

87.Халфман Р. Динамика: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 568 с.

88.Харкевич А. А. Автоколебания. М.: Го­ стехиздат, 1953. 170 с.

89.Харрис С. М., Крид Ч. И. Справочник по ударным нагрузкам. Л.: Судостроение, 1980. 358 с.

90.Хаяси Т. Нелинейные колебания в фи­ зических системах. М.: Мир, 1966. 432 с.

91.Широкополосные виброударные генера­ торы механических колебаний / А. М. Веприк и др. Л.: Машиностроение, 1979. 78 с.

92.Якубович В. А., Старжинский В. М.

Параметрический резонанс в линейных систе­ мах. М.: Наука, 1987. 328 с.

93.Grybos R., Teoria udeizenia w dyskretnych ukladach mechanicznych.Warszawa, 1969.450 с

(равновесие), устойчивость которого исследуется. Нельзя говорить об "устойчивости системы" вообще, можно говорить лишь об устойчивости определенного движения (равновесия) этой сис­ темы. Во-вторых, определение устойчивости должно содержать указание на то, по отноше­ нию к каким параметрам движения исследуется устойчивость. Движение может быть устойчивым по отношению к одной ipynne параметров и неустой^швым по отношению к другой. Третьим элементом определения является указание на ютасс возмущающих воздействий, вызывающих отклонения от невозмущенного движения. Чет­ вертый элемент - указание на интервал времени, в течение которого требуется близость невозму­ щенного и возмущенного движений.

Перечисленные требования относятся к понятию устойчивости по Ляпунову и его раз­ личным обобщениям (устойчивость при посто­ янно действующих возмущениях, устойчивость по отношению к части переменных, равномер­ ная устойчивость и т.п. [30, 46]). Различают так­ же устойчивость по Лагранжу как свойство сис­ темы оставаться в ограниченной области фазово­ го пространства, устоюшвость по Пуассону как свойство системы возвращаться сколь угодно близко к начальному состоянию и др. Особо следует вьщелить введенное А. А. Андроновым понятие структурной устойчивости ("грубости" или "робастности"). Под структурной устойчи­ востью понимают способность системы сохра­ нять качественный характер поведения при ма­ лых изменениях параметров системы. Очевидно, что требование структурной устойчивости также имеет большое значение дня машиностроения: грамотно запроект-ированные машины, безуслов­ но, должны обладать структурной устойчивос­ тью. В последние годы категории устойчивости и родственные им понятия получили широкое распространение в теоретической и вьгшслительной математике. В частности, говорят об устойчивых разностных схемах, устойчивых ал­ горитмах и т.п. Так называемые "теория катаст­ роф" и "теория странных аттракторов" также находятся в тесной связи с теорией устойчивости

вшироком смысле.

Вдальнейшем изложении мы, как правило, следуем определению устойчивости по Ляпунову

иродственным определениям.

7.1.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для определенности будем рассматривать системы, поведение которых во времени t опи­ сывается обьпшовенными дифференциальными уравнениями. Представим уравнение движения системы в матрично-векторной форме

ù - F ( / , u , P ) . (7.1.1)

Здесь А^-мерная вектор-функция и(/) ха­ рактеризует состояние системы в каждый момент времени на некотором отрезке I~{tQ,t^, где /Q -

начальный момент времени, например, t^—O. Обычно полагают /j -> оо. В противном случае говорят об устойчивости на конечном отрезке времени. Обласгъ возможных значений и(/) есть

фазовое пространство Z) с 9ÎN . Будем называть \ï(J) фазовым вектором. В правой части уравне­ ния (7.1.1) стоит А^-мерная вектор-функция вре­ мени /, фазового вектора и(/') и числового векто­ ра Р, включающего те параметры системы и (или) внешних воздействий, которые по услови­ ям задачи могут изменяться. Пусть размерность вектора Р равна г, так что функция F осуществ-

дифференцируемости по всем аргументам. Эти ограничения могут быть частично ослаблены, например, заменены условиями существования при jno6oM / G / И единственности решения зада­ чи Коши.

Для механической системы с п степенями свободы уравнения движения относительно

где л-мерная вектор-функция q(/) составлена из обобщенных координат; А - матрица инерцион­ ных коэффициентов размерностью пхп, так ^ггo левая часть уравнения содержит взятые с противоположньв! знаком обобщенные даламберовы силы инерции. Обобщенные силы, образующие л-мерный вектор Q, зависят от явного времени /, обобщенных координат Çj и обобщенных ско­ ростей Çf, а также от вектора параметров р.

Я] = «у» Я] = ^n+j^ J = 1>---^^» придем к урав­ нениям (7.1.1) с размерностью фазового про­ странства N—2.n. EcjQi рассматриваемый объект включает систему автоматического управления или правые части зависят от старших производ­ ных (например, от ^ • ), то размерность фазово­ го пространства будет иной, в частности, может

оказаться нечетной.

Промер 1. Возьмем уравнение линейной автономной механической системы с п степеня­ ми свободы

где А, В, С - матрицы размерностью пхп с по­ стоянными действительными коэффициентами.

Вводя фазовый вектор и = q , q L приведем

Пусть поставлена задача об устойчивости движения системы, которому отвечает решение

щенньш. Ему соответствует некоторая траектория и(0 в расширенном фазовом пространстве Dxl (пространстве событий). В частном случае рав­ новесия невозмущенному состоянию соответ­ ствует точка VLQELD. Движение, описываемое уравнением (7.1.1) при малых изменениях на­ чальных условий и (или) правых частей, назовем

возмущенным двиэ*сением. Будем обозначать воз­ мущенное решение n{t). Близость решений ïï(/) и и(/) будем оценивать по какой-либо норме в пространстве Д например, по норме, порожда­ емой евклидовой метрикой:

Другими словами, невозмущенное движе­ ние и(/) устойчиво, если оно неограниченно продолжаемо вправо и возмущенные движения iï(/), достаточно близкие к нему в начальный

момент времени /Q» не выходят из 8-трубки, ок­ ружающей движение (рис. 7.1.1, а).

малых отклонений по всем фазовьв* перемен­ ным. Так, если поставлено условие траекторной устойчивости (безотносительно к изменению скоростей и, следовательно, временному поло­ жению системы по данной траектории), то бли­ зость движений оценивается в пространстве

конфигураций, т.е. по норме ||q(/) - q(0| • Здесь

q(0 и q(^) - соответственно возмущенное и невозмущенное решения уравнений (7.1.2).

7.1.3. УСТОЙЧИВОСТЬ по ЛЯПУНОВУ и РОДСТВЕННЫЕ понятия

Рассмотрим поведение системы, описьгоаемой уравнением (7.1.1), на пол>^бесконечном

отрезке времени / ~ [/Q,OO).

Невозмущенное движение и(/) называют

устойчивым по Ляпунову , если для любых s>0 и /о существует 5=0(8,/Q) такое, что для всех воз­ мущенных движений iï(^), удовлетворяющих в начальный моме^гг времени условию

t

а)

^)