Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

решения являются MaroiiMn) и могут в первом приближении, определяться в форме

где ÛQjû И ф - постоянные, определяемые из уравнений [48]

2п

X (а) - û)

где функция Х1а\ выражает зависимость свобод­ ных колебаний массы m на упругом элементе с характеристикой F{x) от амплитуды а:

1 ^"^

X (ci) = — f/fûfQ^û)+ûfcosv|/]cos\j/t/v|/. (6.9.7)

О

Определив зависимость С1^{а\ и подставив ее в (6.9.7), можно построить график зависимости а(Х), который называют скелетной кривой си­ стемы (рис. 6.9.4). Ординаты точек пересечения этой линии с графиком зависимости

а

линейной системы является возможность суще­ ствования при фиксированной частоте (© = со^ на рис. 6.9.4) и амплитуде возмущения несколь­ ких точек пересечения кривых (6.9.7) и (6.9.8), которым соответствуют несколько возможных решений уравнения (6.9.3). Наименьшему зна­ чению амплитуды \Д\\ соответствует решение, при котором обеспечивается выполнение усло­ вий виброизоляции, другие решения (^?2>^з) соответствуют резонансным колебаниям боль­ шой амплитуды, при которых условия виброизо­ ляции нарушаются. Возникновение в системе того или иного периодического режима зависит от начальных условий, которые в реальной си­ стеме носят случайный характер. В результате случайного толчка или удара система может пе­ рейти от одного периодического режима к дру­ гому. Для эффективной виброизоляции машины должна быть исключена возможность возникно­ вения колебан1*й большой амплитуды (резонансных режимов) при всех возможных значениях со.

Определив периодическое решение уравне­ ния (6.9.2), можно найти коэффициент вибро­ изоляции Л:^, равный отношению амплитуды силы, приложенной к машине, к амплитуде си­ лы, действующей на основание (в случае защиты основания от динамических воздействий), или отношению амплитуды абсолютного ускорения машины к амплитуде ускорения основания (в случае защиты машины от кинематического воз­ действия):

Виброизоляция эффективна, если к^ <1, что

вьшолняется при

(6.9.10)

Рис. 6.9.4. Зависимость а(Х)

определяют значения амплитуд основных вы­ нужденных колебаний, возможных в рассматри­ ваемой системе. Характерной особенностью не­

-<Гя(а)

OJ^UJi Wj COé^

Рис. 6.9.5. Резонансные 1фивые для нелинейного виброизолятора

Результаты расчета свидетельствуют о том, что для получения приемлемых габаритов виброза­ щитной системы величина |л//и должна быть достаточно малой, т.е. точность статической ба­ лансировки ротора должна быть высокой. Так, например, при d < 0,05 м получаем

|i//w < 0,001м. Безопасное расстояние до огра­ ничительных упоров может во много раз превос­ ходить максимальную амплитуду колебаний в линейной системе. В рассмотренном примере резонансная амплитуда (со = А:) составит

«ре 3 = ^0 (*)/(2л*) = 5Ц//Я = 0,009 M,

что В 5,5 раза меньше, чем допустимое значение d. Из этого, в частности, следует, что при разбе­ ге машины от состояния покоя до максимальной угловой скорости система виброизоляции может пройти через зону резонанса без ударов об огра­ ничительные упоры при расстоянии ûf=0,01 м; однако при этом (рис. 6.9.7) на любой частоте возмущения, превышающей со*, могут возник­ нуть колебания, сопровождающиеся ударами об упоры.

линейной системы, является недопустимым; поэтому субгармонические колебания в вибро­ защитной системе должны подавляться.

Для получения условий подавления суб­ гармонических резонансов при действии возму­ щения частоты со необходимо найти коэффици­ енты Фурье и^ периодического решения урав­ нения (6.9.14), имеющего частоту X = со/л*.

COS mXt.

т=0

В системе с симметрично расположенными упо­ рами

4А ( - ' - ' > COS /wvTtgx - /WV sin /wvT)

Решения этого уравнения для некоторых значе­ ний V и ав могут быть получены из графиков (рис. 6.9.8).

Рис. 6.9.7. К определению безопасного расстояния до упругих упоров

Субгармонические резонансы в системе с не­ линейным упругим элементом. Субгармонические колебания порядка s, возникающие в системе (6.9.2), как правило, носят резонансный характер и оказываются близкими к свободным колеба­ ниям консервативной системы

имеющим период Т = 2TISI(Ù . Возникновение резонансных колебаний при частотах возмуще­ ния, в s раз превьпыающих собственную частоту

свободные колебания с ударами об один из упо­

упора. Соответствующие области существования показаны на рис. 6.9.9, где Ô = А^/Л. При ударе только о первый упор

««=И -m—л^^-- ^^-^'^^

тс /и V - 1 I V

|Г77

Ш

Û 1 ^

(6.9.19) Условие подавления субгармонических колеба­ ний порядка s при вязком трении записывается в виде

где п - коэффициент диссипации.

Нелинейные колебания упругой машины. Рас­ смотрим колебания упругой машины на виброизоляторе с нелинейным упругим элементом и вязким демпфером при гармонической вынуж­ дающей силе. Пусть ^(/со) - комплексная дина­ мическая податливость упругой машины в точке крепления виброизолятора. Уравнение движения может быть записано в виде

где ^(р\- оператор динамической податливости

[47].

Приближенное решение этого уравнения, имеющее период Т = 27с/со, можно искать в форме (6.9.3). При этом Ло и д связаны между собой условием (6.9.4). Для амплитуды колеба­ ний получается следующее выражение:

определяет в неявной форме модифихщрованную

определяет на плоскости (л, со) линию предель­ ных амплитуд. Определив точки пересечения линий со=Х(а) и (6.9.24), можно судить о воз­ можности возникновения резонансных колеба­ ний. Такие колебания возможны для тех значе­ ниях со, при которых модифицированная ске­ летная кривая лежит выше предельных ампли­ туд. Для виброизолятора с линейным упругим элементом безопасное расстояние до ограничи­ тельных упоров определяется формулой

кинематического возмущения, если в них поло­ жить Go(co) = ^ o L (co)+v (со)! , где ÇQ - амплитуда гармонических колебаний основания.

6.9.3. ЭФФЕКТ ЗОММЕРФЕЛЬДА ПРИ РАЗБЕГЕ ВИБРОИЗОЛИРОВАННОЙ МАШИНЫ

В роторных машинах основным источни­ ком вибрационных возмущений являются обьино инерционные силы, вызванные статической неуравновешенностью роторов. В рабочих режи­ мах угловые скорости роторов существенно пре-

восходят собственные частоты виброизолирую­ щего подвеса, что и предопределяет его эффек­ тивность. Однако при разбеге и выбеге машины система проходит через область резонанса. При этом возникают интенсивные колебания корпуса машины, сопровождающиеся диссипацией энергии в виброизоляторах. Единственным ис­ точником энергии в системе йвляется двигатель; поэтому диссипа1щя энергии приводит к увели­ чению нагрузки на привод. В результате мощ­ ность двигателя может оказаться недостаточной для преодоления при разбеге области резонанс­ ных колебаний; машина "застревает" на резо­ нансных оборотах и не может выйти в нормаль­ ный установившийся режим. Это явление при­ нято называть эффектом Зоммерфельда [51].

Рис. 6.9.10. Схема машины с неуравновешенным ротором на упругом основании

Для исследования этого эффекта рассмот­ рим виброизолированную однороторную маши­ ну массы m (рис. 6.9.10); предполагается, что ротор имеет массу /w , его центр масс смещен

относительно оси вращения на е\ угол поворота ротора обозначим через ф. Свойства двигателя определяются его рабочей харакгеристикой, вы­ ражающей зависимость движущего момента от

Введя переносные и относительные силы инер1ЩИ и составляя уравнения кинетостати л для системы с двумя обобщенными координа гами и и ф, получаем

тхх + Ьх + сх = m^el-(p ces ф + ф sin ф ];

(6.9.27)

•^рФ - ^ д (Ф) + ^ с (Ф) = -^р^ COSф,

(6.9.28) где / р - момент инерции ротора относительно

оси вращения; М^(ф\ - момент сил сопротив­ ления, действующих на ротор.

Рис. 6.9.11. К условиям возникновения эффекта Зоммерфельда

Систему уравнений (6.9.27) и (6.9.28) мож­ но решать методом последовательных прибли­

брежем воздействием момента переносной силы инерции ротора mJke cos ф на закон его враще­

Подставив (6.9.29) в правую часть уравнения (6.9.27), получим

• ^ р ф - - ^ д ( Ф ) + ^ с ( Ф ) =

ния статического равновесия характеристика может быть линеаризована. Коэффициент ли­ неаризации с = dMy {^ç. т)/ûB называют жест­ костью муфты. С увеличением статической де­ формации 0СТ жесткость муфты обычно воз­ растает.

колебательного процесса; при этом коэффициент сопрогавления b оказывается обратно пропор­ ционален частоте со.

6.10.2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ УПРУГОЙ МУФТЫ в МАШИНЕ С ИДЕАЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

Идеальным называют роторный двигатель, закон движения которого ф(/) не зависит qj

приложенной к нему нагрузки Мд и определяет­ ся только законом изменения входного парамет­ ра (например, электрического напряжения). Предположение об идеальности двигателя яв­ ляется корректньп11 в тех случаях^ когда двигатель имеет большую мощность, незначительная часть которой используется рассматриваемым меха­ низмом, или когда крутизна рабочей характери­ стики двигателя s = dM Idîç очень велика.

Рис. 6.10.2. Петля гистерезиса для упругой муфты

Диссипативный момент Лfд при малых ко­ лебаниях может считаться пропорциональным

скорости деформации 0 ; при этом полный кру­ тящий момент Мк, возникающий при деформа- u>tH муфты, имеет вид

M^=dd-¥bë. (6.10.1)

Коэффициент сопротивления b не является по­ стоянным для данной муфты; обычно его вели­ чина зависит как от амплитуды, так и от частоты колебательного процесса 0(/). Она определяется

в большинстве случаев экспериментальным пу­ тем. Для этого при изменении деформации по гармоническому закону 0 = 0^,^ + 0Q sincû/ из­ меряют площадь S петли гистерезиса (рис. 6.10.2), описывающей зависимость М^{&) при нагрузке (0 >0) и разгрузке (0 <0) упругого эле­ мента. Коэффи1диент b определяют по формуле

Диссипативные свойства муфты часто характери­ зуются коэффициентом рассеяния Ô, равным отношению площади петли гистерезиса к мак­ симальному значению потенциальной энергии

2

деформации П^^^^^ = O,5C0Q . Связь ô с парамет­ рами Ь, с, со определяется формулой

В ряде случаев величина ô может быть принята, при малых колебаниях, не зависящей от частоты

Рис. 6.10.3. Расчетная модель системы с идеальным двигателем: 1 - упругая муфта;

2 - передато»1ный механизм;

3 - исполнительный механизм

Если в машине с идеальным двигателем все звенья исполнительного и передаточного меха­ низмов могут считаться абсолютно твердьв1и телами, а упругая муфта является безынерцион­ ным звеном, соединяющим идеальный двигатель с передаточным механизмом, система может быть описана динамической моделью, показан­ ной на рис. 6.10.3. Здесь угол поворота входного вала передаточного механизма обозначен через д; i - передаточное отношение. Очевидно, что ^ = ф + 0, где 0 - угловая деформация упругого элемента муфты. Момент Мк, возникающий в муфте, определяется выражением (6.10.1). Через / ^ (^) обозначен момент инерции исполнитель­ ного механизма, приведенный к выходному валу муфты; в цикловой машине J^ (^) - периодиче­ ская функция с периодом 2ni. Приведенный момент сил сопротивления М^(д,д\ также яв­ ляется периодической функцией от ^ с тем же

= (Z> + v)/(/j^0^o)- Если v=0, то V = V* и вы­ ражение (6.10.15) совпадает с (6.8.21). Поскольку v* > V, условие эффективности

безусловно, вьшо;шяется при z > v 2, т.е. упру- 1^ая муфта защищает передаточный механизм от всех гармоник возмущающего момента L{t),

частоты которых превьппают ^2C/JJ^Q .

Пусть COQJ^^ - минимальная угловая ско­ рость установившегося движения машины (в диапазоне ее рабочих скоростей). Условие виб­ роизоляции (6.10.16) будет вьшолнено для всех гармоник возмущения, если

^<'^M0^0min/(2'^ (6.10.17)

При Z > эффективность виброизоля­ ции увеличивается (к^ уменьшается) с ростом

частоты вибрационного воздействия; она воз­ растает также при уменьшении коэффициента сопротивления b и увеличении крутизны харак­ теристики среднего момента сил сопротивления.

Следуя условию (6.10.17), нужно умень­ шать жесткостъ упругой муфты; однако при этом растет ее статическая деформация 0^^. Поэтому условие эффективности вьшолнимо лишь в том случае, если во всем диапазоне возможных зна­ чений угловой скорости двигателя со Q j ^ ^ <со0^со Q ^^ удовлетворяется неравенство

'co(^0>'y(-^M0^5J<QcT.Aon' (^-lO-lS)

где ^ст доп ' допустимая величина статической

деформации муфты. Нелинейность упругой ха­ рактеристики и наличие ограничительных упо­ ров приводят к опасности возникновения нелинейньпс эффектов, рассмотренных в гл. 6.9. Ме­ тоды их устранения те же, что и в виброизолято­ рах, установленных в опорах машины.

При совпадении частоты одной из гармо­ ник возмущения с kç^ могут возникать резонанс­

опасным является обьино основной резонанс, через который машина проходит в процессе разбега и выбега. Для уменьшения амплитуд колебаний машины при проходе через резонанс необходимо увеличивать диссипативные силы, возникающие в упругой муфте; помогает также увеличение мощности двигателя, что приводит к уменьшению времени прохода резонансной зо­ ны при разбеге.

Параметрический резонанс в системе с иде­ альным двигателем. Более полное исследование уравнения (6.10.7) показывает, что в системе при

определенных условиях могут возникать пара­ метрические колебания, опасные для машины (см. гл. 6.4). Для получения условий подавления возможных в системе параметрических колеба­ ний необходимо определить амплитуды гармо­ ник периодической функции

(6.10.13). Разложим функцию Ф(^), имеющую период Т = 27t/r|, s ряд Фурье:

Ф(/) = У^ф^ cos(/r|/ ч-еЛ.

/=1

Тогда условия устойчивости рассматриваемого установившегося движения, гарантирующие от­ сутствие параметрического резонанса, запишутся в виде [49]

Рис. 6.10.4. Области параметрического резонанса

Опасность нарушения условий (6.10.20)

Диапазон значений г|, при которых нарушается /-е условие (6.10.20), образуют /-ю область неус­ тойчивости. На рис. 6.10.4 построены границы облас1^й неустойчивости на плоскости парамет-