Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

[4]). Однако в частных случаях левая часть (6.7.6) может распадаться на произведение нескольких определителей меньшего порядка, что соответ­ ствует разделению собственных колебаний на независимые труппы по нескольким связанным координатам. Условием подобного разделения служит обращение в ноль тех или иных недиаго­ нальных элементов с^.^ частотного определителя, что может иметь место вследствие симметрично­ сти расположения виброизоляторов, реализации дополнительных условий распределения стати­ ческой нагрузки, а также и по другим причинам. Необходимые условия разделения колебаний на одно-, двух- и трехсвязные приведены ниже:

при[^^,^/], (А:,/= 1,2,...,6),

при[^^], (А: = 1,2,...,6), с ^ = О (г ^ к);

Условия полного или частичного разделе­ ния колебаний машины на однонаправленном подвесе приведены в табл. 6.8.2.

6.8.2. Условия разделения колебаний

YOZ, ZOX XOY, ZOX

XOY, YOZ, ZOX

[^с\Ы\^с^^\[УсМ

[^с\Ы\УсМ\^с^^]

Ьс]\Ус]\^с\ЫЩЫ

Принятые обозначения: 0-с^=0\ +-Сд^.

в случае вынужденных колебаний, вызван­ ных внешним воздействием гармонического типа, дифференхшальные уравнения движения системы имеют вид

задается в виде q = Ае , где А = iA^ | (/= 1,2,...,б) - вектор комплексных амплитуд А^,А^А^,А^А^,А колебаний по координа­ там x^,}^(;,Z(;,v|/,e,9. Подстановка этого ре­ шения в (6.8.10) приводит к системе линейных уравнений:

[Cji +i(ùbii - rriiù \ А ^ 4- (Cj5 + /Cû/)j5 ^AQ +

+(С54 +/соб54)Л +('^55 +*»*55 "-^j-'û^J^ +

+(cg4 +/Ш*64)Л' +(^65 +«0*65)Л + < Сбб+«»*бб - ^ Ол=И Ф -= ^ Г

(6.8.11)

Решение системы (6.8.11) можно записать с помощью формулы Крамера

(6.8.12)

^А(/оэ)

где А(/СО) - определитель системы (6.8.11); А (/со) - определитель, полученный из А (/со) заменой у-го столбца столбцом свободных членов

В случае дорезонансных (зарезонансных) колебаний, когда частота вынуждающих сил в

раза меньше (больше) наименьшей

Пример 3. Вычислим комплексные ампли­ туды Afc и Al при двухсвязных колебаниях по координатам Çf^ и qj.

Вьшужденные колебания по координатам Çfç^ и qi будут независимыми от колебаний по остальным координатам, если независимы соот­ ветствующие собственные колебания и если, кроме того, выполняются условия bf^^ = b^^ = О

{г^к, г Ф1\ Г,/:,/= 1,2,...,б).

При этом

ч = Сц - ац(о +i(abii'кЛ\а

А,= [(^kk -"кк"^^ +iab^jai,F, -

-{c^+bb^) .

6.8.5. МЕТОДЫ ЗВУКОИЗОЛЯЦИИ МАШИН

У/////////

Рис. 6.8.4. Расчетная модель системы виброзащиты с промеясуточной массой в виброизоляторе

Обозначая через Х\ и Х2 абсолютные коор­ динаты машины и промежуточной массы, запи­ шем уравнения динамики системы в виде

Отсюда получим амплитуду R силы, передаваемой на основание:

^o=VlС - /WjCO

На частотах

имеет место резонанс {К -> оо).

2 с При со = со*, где со* = —

щ

сила КR имеет локальный минимум

При /«2=0 система имеет единственный

на рис. 6.8.5 соответственно сплошными и штриховыми линиями.

Cz

rщ—\m ttHbi m

ШЯь, m /77

i1''

i^ \ W

/77 m

Рис. 6.8.5. Зависимость силы, передаваемой на фундамент, от квадрата частоты возмущения

В табл. 6.8.3 представлены варианты двухмассных моделей виброизолированной машины и соответствующие значения комплексных ам­ плитуд сил, передаваемых на жесткое неподвиж­ ное основание, которые вычисляют по формуле

-1

6.8.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОЙ МАПШНЫ

При изучении свободных колебаний ма­ шины на виброизоляторах, выбранных на основе принципа мягкой подвески, первые собственные частоты системы мало зависят от упругих

вектор комплексных амплитуд. А, В, С - пхп- матрицы инерции, демпфирования и упругости системы. Тогда в случае малых колебаний при­ дем к уравнению динамики системы

где Qo = GFQ - л-мерный вектор обобщенных

возмущающих сил; G - постоянная /1х5'-матрица с элементами, зависящими от точек приложения этих сил и ориентировки линий их действия. Для вычисления матриц А, В, С необходимо задать схему машины и упругие, и демпфирую­ щие характеристики как машины, так и вибро­ изоляторов подвеса.

Непосредственно из (6.8.17) найдем вектор комплексных амплитуд qQ обобщенных коорди­ нат

qo = ( С - со А + /соВ Qo ; (>.8.18)

щенных динамических податливостеи системы. С помощью (6.8.18) можно найти связь

между г-мерным вектором и комплексных ам­ плитуд проекций перемещений фиксированных точек машины на некоторые заданные направле­ ния и вектором проекций возмущающих сил на другие фиксированные направления

тами, зависящими от положений упомянутых точек и направлений осей, на которые проекти­

динамических податливостеи системы между точками приложения сил и точками измерения перемещений (с учетом направлений их проек­ тирования).

Если 11 - столбец перемещений точек креп­ ления виброизоляторов к машине в проекциях на оси элементарных виброизоляторов, то мож­

Рис. 6.8.6. Расчетная модель двухмассной системы с упругодемпфированным виброизолятором

Пример 5. Вычислим динамическую подат­ ливость в точке А упругой машины с двухмассной моделью, если она установлена на жесткое основание через упругодемпфированный виброизолятор (рис. 6.8.6).

Уравнения динамики системы имеют вид

Шл.

m'уХ'у = Сг\{Ху Хл I СХу — иХ'у.

При г = FQe получаем систему уравнении для комплексных амплитуд Ai и А2 смещений масс /«1 и /W2:

(^co-wico^j^i-co>42 =FQ;

-CQA^ + I С + СО - /«2^ "^ ^^^ ]^2 ^ ^•

Решая эту систему, получим выражение для комплексной динамической податливости е^ точки приложения силовой нагрузки

А^ с -\-CQ - /W2CÛ + mb

^АА =

X с + CQ - /«2^ "•"icob'^ - CQ

Выражения динамических податливостей и ди­ намических жесткостей некоторых одномерных систем приведены в [23].

6.8.8. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ

Под эффективностью подвеса понимают спехщальным образом вводимую меру сравнения вибрационных полей виброизолированной и невиброизолированной машины. Такая мера может относиться к самым различным характе­ ристикам вибра1Щонного поля машины - вибро­ перемещениям, виброскоростям, виброускоре­ ниям, вибронапряжениям. В частности, в зада­ чах виброизоляции машин речь может идти о силовом воздействии на фундамент до и после введения виброизоляции.

Рассмотрим простейшую одномассную си­ стему виброизоляции, когда на машину массы m

действует гармоническая сила /QC частоты со. В отсутствие виброизоляции эта сила полностью передается на фундамент; при установке маши­ ны на виброизолятор с коэффициентом жест­ кости с и демпфирования b комплексная ампли­ туда воздействия на фундамент

Рис. 6.8.7. Зависимость критерия эффективности виброизоляции кц от коэффициента расстройки

В качестве меры эффективности кр^ виброизоля­ ции возьмем отношение модулей сил, переда­ ваемых на фундамент после и до виброизоляции:

V1 + 4v Z

(6.8.21)

. 2 2

+ 4v Z

-1 - коэффициент расстройки, т.е. отношение частоты возмущающей силы к соб­ ственной частоте виброизолированной машины;

V = />(2/псо) - безразмерный коэффициент демпфирования. Зависимость kji от z при раз­ личных значениях v показана на рис. 6.8.7. Условием эффективности виброизоляхщи являет­ ся kR<\.

6.8.9. РАСЧЕТ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Расчет одномерных систем виброизоляции удобно вьшолнять с помощью метода матриц переноса. При использовании этого метода од­ номерную систему делят нормальными к ее оси сечениями на п частей, которым присваивают номера от 1 до п+1. Вибрационное состояние у- го участка характеризуется абсолютными пере­ мещениями Xj и Хун-1 его граничных сечений и силами Pj и îy-f-i в этих сечениях. Положитель­ ные направления Ху, Ду+i, Pj и Pj+\ изображены на рис. 6.8.8.

Вследствие нелинейности системы величи­ ны Хр х^+ь Pj и Pj+\ связаны соотношениями

которые можно представить в матричной форме

(6.8.23)

Матрицу SÀJ) называют матрицей переноса уча­ стка y от сечения У к сечению У+1. В случае виб­ рационного процесса с частотой со Xj, Xy+i, iy, Pj+l можно считать комплексными амплитудами

изведению, выполненному в порядке, противо­ положном следованию участков:

s = sWs("-^)...s(V). (6.8.24)

У+/

^/4V+/

S будут функциями частоты о. Матрищ.! пе­ реноса участков простейшего вида приведены в табл. 6ч8.4. Легко проверить, что определители матриц переноса участков равны единице. Мат­ рица переноса S участка, образованного после­ довательным соединением п участков с матри-

цами переноса Ь , о ,..., Ь , равна их про­

Рис. 6.8.8. Расчетная модель участка одномерной системы виброзащиты

Если сложный участок составлен из элементов. представленных в табл. 6.8.4, то |S|=1. Элементы а^^ матрицы S для участка, составленного из п

параллельно соединенных участков, вычисляют по формулам

«11 = ^ 1 . ^2

Â:=l"l2

Можно показать, что каждый из коэффихщентов

^э и Ь^ эквившхентного виброизолятора зависит

«^ «^^^ ^*^^^^ параметров Сь Cj, Ьъ Ьъ а также от частоты ш.

Пример 7. Составим матрицу переноса двух

0^21 = 0; а22 = 1- Таким образом, при параллельном соединении

коэффициенты жесткости и демпфирования эквивалентного виброизолятора представляют суммы соответственно жесткостей и коэффици­ ентов демпфирования соединяемых виброизоля­ торов.

Пример 6. Составим матрицу переноса двух последовательно соединенных виброизоляторов с коэффициентами жесткости Ci и С2 и коэффици­ ентами демпфирования bi и bj. Имеем согласно (6.8.24)

Рис. 6.8.9. Расчетная модель виброизолированной упругой

Пример 8. Определим силовое воздействие на жесткий фундамент виброизолированной нежесткой машины (рис. 6.8.9).

носа машины между ее граничными сечениями 1 и 2; матрица переноса S 23 виброизолятора изве-

Таким образом, выражения для комплексных амплитуд смещения ^з сечения 3 и силы Р^ в этом сечении будут

^ 3 = 0 находим из (6.8.25) связь между Fi и 4i*

^21/^11 представляет взятую со знаком минус динамическую податливость ^\2{^) ^*^шины между сечениями 7 и 2, поэтому условие (6.8.29) можно записать в виде

Глава 6.9

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ МАШИН

6.9.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИБРОИЗОЛИРУЮЩИХ СИСТЕМ

В предыдущей главе виброизолирующие подвесы машин рассматривались как системы с линейными харакгеристиками. Однако в ряде случаев в системах виброизоляции могут проис­ ходить явления, для адекватного описания и исследования которых требуется использование нелинейных моделей.. Часто такие нелинейные эффекты проявляются в форме колебаний боль­ шой амплитуды, при которых виброизолирую­ щие свойства системы нарушаются.

Нелинейность реальных виброизолирую­ щих систем обусловливается следующими фак­ торами.