Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

отрицательные действительные части. Так как компонешы вектора / есть стационарные и стационарно связанные случайные фунющи, то их можно представить в виде интеграла Фурье:

-оо

Подставив (6.6.51) и (6.6.52) в уравнение (6.6.44), полушм

Матрица W{m)^ элементами ко1Х)рой являются передаточные функции (или динамические по­ датливости),

Для того чтобы компоненты yj вектора Y были стационарными и стахщонарно связанными, необходимо выполнение условий

(6.6.57) Приравняв правые части выражений (6.6.55) и (6.6.56) и проинтегрировав по ш'

(6.6.58) получаем выражения для взаимных спектраль­ ных плo^^îocтeй

m m

^yjy^ H = ИЕ^/кН'^ЛЛ ('")• (6.6.59)

K F 1 V - 1

Спекграгаьные плотности компонент y/J=^i) m m

K=lv=l

В скалярной форме (т<п) «^ m

yj = J Е ' ^ ' л И / о х Н е * " ' ' ^ » . (6-6.54) -^к=1

ще w^^(i©) - элементы матрицы Ж(/(о), кото­ рые являются комплексными числами, т.е.

Переходя к скалярной форме записи, из (6.6.52) получаем выражения для взаимных кор­ реляционных комплексных фуншщй соотноше­ ния (6.6.16):

'^>^J'/ = S^;KH'/к^^Л^

K=l

m2

^»^ÂI

к=1

Дисперсии компонент вектора Z при S f г ^0

^m m

(6.6.65)

^^; = J Zh^l ""'У//"

-<Ï0K=1

Выражения для дисперсий (6.6.63) и (6.6.65) можно привести к виду

Таблицы интегралов {^.^.dd) приведены в ряде монографий [72, 76]. Например, для /1=2 и /1=3 имеем

ваться нельзя) бесконечные пределы интегриро­

Принимая, что компоненты вектора Y и их первые две производные имеют нормальный закон распределения, можно ориентировочно определить интервал практически возможных (максимальных) значений У]УУ] И JK ; ("прави­ ло трех сигм"), которые используют в практиче­ ских расчетах:

Пример 4. На точечную массу m стержня постоянного сечения (рис. 0.6.6) действует ста­ ционарная случайная с и л а ^ с нулевым матема-

'77!у7>

У/УУ^Л

il 77777>

Рис. 6.6.6. Схема действия случайной силы/i на массу m

Передаточная функция Ж(/(о), спектраль-

т(/со) + ' ( a j + а / и ) ( / © ) + (cj ч-а^а)/© + q a

оо

л= (s^ a(ù -^laDf х

-<x> \m(i(ù\ + (ttj + am)(/co) + (cj + aja)«û + Cja

В данном примере G{i(ù) не зависит от /©. Воспользовавшись таблицами интегралов для / 3 , находим

та^сх + Cja + a j а

Воспользовавшись правилом трех сигм, получа­ ем

max У! =3а^^ .

Изгибающий момент в сечении к

Спектральная плотность напряжений а

SM У\'

Дисперсия напряже11ия

ЪЫ^

D ДУ\

Максимально возможное нормальное на­ пряжение в сечении к

(

где и - вектор перемещений точек срединной поверхности платины или оболочки; / - вектор,

зависящий от случайных нагрузок.

Задача исследования случайных колебаний систем с распределенными параметрами состоит

вопределении вероятностных характеристик вектора И и его производных по координатам и времени.

Ограничимся изложением алгоритма реше­ ния сформулированной задачи, рассмотрев урав­ нение (6.6.68). Решение уравнения (6.6.68) ищем

ввиде ряда

п

Рис. 6.6.7. Схема действия случайных сил на стержень

Случайные колебания систем с распределен­ ными параметрами. Прямолинейный стержень постоянного сечения на1ружен случайными со­ средоточенной силой Р, моментом M и случай­ ной распределенной нагрузкой g (рис. 6.6.7). Уравнение малых изгибных колебаний стержня в плоскости чертежа в безразмерной форме записи с учетом силы вязкого сопротивления и инер1дии вращения имеет вид [76]

где Kj - функции Крылова; Xj - безразмерная

частота.

В соответствии с принципом возможных перемещений из (6.6.68) с учетом (6.6.69) полу­ чаем систему уравнений

JZ Х^уСФу W [PK(S)^ = ^ (/c=l,2,...,w),

О Ь=1 J

Мгновенный импульс S, приложенный к механической системе в момент /Q» МОЖНО вво­ дить в уравнения механики наряду с другими силами в виде

F(t) = S5(t-tç^),

где Ô - дельта-функция Дирака. Иногда ударные силы и мгновенные ударные импульсы есте­ ственно считать не сосредоточенньпк1и, а некото­ рым образом, распределенными по объему.

В некоторых областях техники удар приня­ то описывать "кинематическим" образом. Так, например, контейнер может испытывать дей­ ствие ''импульса ускорения" - кратковременное сотрясение, заданное в виде зависимости уско­ рения от времени (рис. 6.7.1, в), и нужно опре­ делить изменения состояний тел, которые за­ креплены в контейнере. Обычно так ставится задача при исследованиях ударостойкости аппа­ ратуры и оборудования, установленных на дви­ жущихся объектах, которые подвержены сотря­ сениям. В этих случаях исследуют относительное движение тел по отношению к контейнеру, вво­ дя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции, сводят анализ к задаче о действии ударных сил.

полусвязанной системе отсчета с началом в точке 0)\ останашшваемая точка обозначена буквой Л.

Решение некоторых задач с помощью мо дели абсолютно твердого тела см. п. 6.7.2.

Без привлечения дополнитетшных гипотез рассматриваемая модель не позволяет описать соударение твердых тел или удар твердого тела о твердую преграду (число уравнений механики оказьгоается меньшим числа искомых величин). Для решения таких задач часто используют до­ пущение о том, что относитетшная скорость со­ ударяющихся точек после удара пропорционатшна относигельной скорости этих точек перед ударом; при этом принимают, что коэффициент пропорциональнос1Т1 {коэффициент восстановле­ ния скорости, коэффициент восстановления) зави­ сит только от материалов соударяющихся тел.

Такое допущение {гипотеза Ньютона) позволяет замкнуть систему уравнений; в неявной форме (и не очень точно) оно отражает местные де­ формации и потери механической энергии при ударе. Об использовании гипотезы Ньютона см. п. 6.7.3.

а)

Рис. 6.7.2. Схемы закрепления тел при ударе

Модель абсолютно твердого тела. В ряде случаев эта модель в принципе неприменима, так как без дополнительных гипотез не позволя­ ет получить замкнутую систему уравнений. Этой моделью иногда можно пользоваться примени­ тельно к свободным или частично закрепленным твердым телам, если заданы ударные силы или если при заданном движении таких тел происхо­ дит внезапная остановка какой-либо точки. Для различно закрепленных твердых тел эти случаи показаны на рис. 6.7.2: а, б, в - приложение заданной ударной силы P(t) или мгновенного импульса S; г, д - внезапная остановка точки тела, движение которого перед ударом было задано векторами v (скорость произвольно вы­ бранного полюса (9) и со (угловая скорость тела в

П М1М1И1]

i)

^)

Рис. 6.7.3. Модели твердых тел с безьгаерционнммн связями

Модель абсолютно твердого тела с безьгаер-

ционными деформируемыми связями. В различ­ ных задачах связям приписывают свойства упру­ гости, пластичности, вязкости. Случай соударе­ ния твердых тел с упругими связями показан на рис. 6.7.3, а. Типы однокомпонентных и многокомпоненптых связей приведены в табл. 6.7.1.

406

Модель*

1

Упругая

линейная

Упругая

нелинейная

Вязкая

линейная

Вязкая

нелинейная

Жесткопластическая без упрочнения

Вязкоупругая (модель Кельвина-

Фохта)

Жесткопластическая с

упрочнением

Упруговязкая (модель Максвелла)

Глава 6.7. УДАР

ординаты точки приложения импульса;

Рис. 6.7.4. Схемы удара

Удар по телу с неподвижной точкой (рис. 6.7.4, а). При ударе проекции приращения угло­ вой скорости Асо относительно неподвижной точки О определяются теми же выражениями (6.7.2), где Xj^,yj^,ZM - координаты точки приложения импульса в системе осей с началом

в точке О, 1^,1,1^ - главные моменты инер­ ции для закрепленной точки. Для определения импульса реакции связи в закрепленной точке служит выражение

SQ = WAQ) X Г^ - S ,

в котором г^ - радиус-вектор центра масс с на­ чалом в закрепленной точке; S - заданный

внешний HMnyjUïC.

Удар по телу с неподвижной осью (рис. 6.7.4, б). Если ось Oz совмещена с осью враще­ ния, рсь Ох проходит через точку приложения мгновенного импульса S, то приращения угло­ вой скорости Дсо^ и пять проекций импульсов

В которых Xc, Ус - координаты центра масс тела

С.

Если линия действия внешнего импульса пересекает ось Oz, то угловая скорость тела при ударе не меняется и действие удара выражается только в появлении импульсов опорных реак-

1ЩЙ.

Ударные реакции опорных связей равны нулю, если: 1) внешний импульс перпендикуля­ ренГО10СК0СТИ,содержащей ось вращения и центр масс тела; 2) ось Oz - главная ось инерции тела в точке О, 3) точка приложения импульса

движущегося твердого тела. На рис. 6.7.4, в обо­ значено: С - центр масс тела; Л - внезапно оста­ навливаемая точка. Пусть со^_,со^^_,со-_ и

^z{'^Z^-'^Z-) = ^Ay^A-^AxyA-

6.7.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О СОУДАРЕНИЯХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ

При прямом ударе (когда импульс взаимо­ действия перпендикулярен общей касательной плоскости в точке контакта, т. е. совпадает по направлению с линией удара) для замыкания системы уравнений можно пользоваться гипоте­ зой Ньютона:

v^+-v^+ =-к{УА--^£-),

где УА-у^В-~ проекции на линию удара скоро­ стей точек контакта тел перед ударом; УА+у^В+~ проеющи на линию удара скоростей

тех же точек после удара; к - коэффициент вос­ становления скорости (коэффициент восста­ новления). Принимают (грубо приближенно), что к не зависит от скорости соударения и опре­ деляется только материалами соударяющихся тел. Значения к устанавливают эксперименталь­ но, например, при сбрасывании тел на массив­ ную горизонтальную плиту. Если /TQ - начальная высота падения, hi - высота, на которую подни­ мается тело после отскока от плиты, то

При скоростях соударения порядка 1 м/с можно принимать следующие значения коэффи­

6.7.1, б - левее штриховой вертикали), и этап разгрузки, когда dP/dt < О (на том же рисунке - правее штриховой вертикали), то к = Sj/S^,