Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

перемещения х. Это обусловливает связь элек­ тромагнитных и механических явлений, т.е. вза­ имодействие электромап1итного возбудителя с колебательной системой.

Обычно члены Ri, UQ В (6.5.56) малы по

сравнению с U и максимальным значением Ф. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы. Периоди'геские режимы в первом приближении метода Пуанка­ ре определяются соотношениями

и

bp

tgVHi =

mp

Выражения для Kj^ \^2 получают из выра­ женийДо1яК\, v|/i заменой/? на 2р.

Постоянную составляющую магнитного по­ тока а находят из уравнения

a{l-qa}\-d=^Q, (6.5.58)

V-QSP

причем устойчивый режим отвечает наименьше­ му по модулю корню.

Коэффициенты I, q и величина а зависят от параметров колебательной системы с, m и Ь. От тех же параметров зависит создаваемая элек­ тромагнитом вынуждающая сила. Следовательно, электромагнитный возбудитель не является ис-

To^DiHKOM заданной вынуждающей силы - эта сила формируется в процессе его взаимодействия с колебательной системой. Вследствие взаимо­ действия колебания могут терять устойчивость при изменении параметров, что проявляется в виде стука якоря о сердечник, колебания с неко­ торыми амплитудами оказываются нереагшзуемыми; эти нелинейные эффекты следует учиты­ вать при расчете вибрационных устройств.

Вэлектрической цепи (см. рис. 6.5.33) че­ рез источники переменной и постоянной ЭДС проходят постоянная и переменная составляю­ щие тока /. Чтобы этого избежать, применяют более сложные схемы электромагнитов. Но во всех случаях необходимо учитывать эффекты, обусловленные взаимодействием.

ВoTjnrme от систем с инерционными воз­ будителями в системах с электромагнитными возбудителями частота периодического режима задана. В таких случаях удобно использовать величину, количественно характеризующую вза­ имодействие и называемую коэффициентом взаимодействия. Обычно наиболее интересна амплитуда первой гармонию! Ai. Тогда коэффи­ циент взаимодействия /Сд определяется отноше­ нием fCa~Qi/Qi* , где Qi, Q\* - амплитуда пер­ вой гармоники, создаваемой возбудителем вы­ нуждающей силы, вычисленные соответственно с учетом и без учета взаимодействия. Для элек­ тромагнитного возбудителя Q=-f^^ и

Kçy=Ki=0, т.е. найденный в предположении, что якорь жестко закреплен на расстоянии h от сер­

дечника.

В неавтономных задачах о взаимодействии возбудителя с линейной колебательной системой коэффицие1ГГ взаимодействия иcпoJшзyeтcя ана­ логично тому, как в теории вьшужденньгс коле­ баний используется коэффициент динамичности. Например, выражению для амплитуды вынуж­ денных колебаний A\=Kd ôc, где к^ - коэффици­ ент динамичности; 0^ - статическое перемещение под действием силы, равной амплитуде вынуж­ дающей силы, аналоги^шо выражение А\=КаКа ô*c , где ô*c - статическое перемещение под действием силы Gl*- Однако понятие о ко­ эффициенте взаимодействия неприменимо к режимам, которые возможны в системах, где проявляется взаимодействие, и невозможны при его отсутствии, т.е. при жестко закрепленной колебательной системе.

Глава 6.6

СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В реальных условиях на любые объекты наряду с детерминистскими силами дейса-вуют и случайные силы - силы, изменение во времени которых неизвестно. Случайные составляющие сил приводят к тому, что динамические процес­ сы, вызванные этими силами, например колеба­ ния, развиваются непредсказуемым образом. На рис. 6.6.1 показан старт ракеты с наклонной направляющей [77]. Вследствие случайных тех­ нологических и газодинамических эксцентриси­ тетов тяга Я направлена не по оси ракеты, что приводит к появлению двух случайных возму­ щений NQ = LR OCQ И MQ = L^ko) где NQ, MQ -

соответственно случайная сила и случайный мо­ мент; ŒQ - случайным угловой эксцентриситет; ео - случайный линейный эксцентриситет.

Рис.6.6.1. Старт ракеты с наклонной направляющей

Кроме технологических случайных эксцен­ триситетов, которые во времени не изменяются, возможны и газодинамические эксцентриситеты тяги а и ^, вызванные неравномерным горением зарада и неосесимметричным истечением газа. В этом случае дополнительно к iVo и MQ ПОЯВЯТСЯ N и М, зависящие от / (а и é? - случайные функции времени). Разброс температуры зарада приведет при прочих равных условиях к разбро­ су тяги по модулю, т.е. появится еще одно слу­ чайное возмущение AR(t\. В результате дей­ ствия случайных возмущений возникнут случай­ ные колебания системы ракета-направляющая, и в момент потери контакта с направляющей раке­ та будет иметь как линейные Ах, Л^^, так и угловые Лф (и их первые производные) случай­ ные отклонения от расчетных значений. Авто­ машина, которая движется по дороге со случай­ ными неровностями, подвергается случайным колебаниям и случайным инерционным нагруз­ кам. Такие примеры можно продолжить.

Сл>^айные колебания представляют собой раздел статистической механию{, который по­ священ применению вероятностных методов при исследовании задач динамики механических систем. Одной из основных является задача определения вероятностных характеристик (или законов распределения) "выхода" при известных вероятностных характеристиках "входа". Она содержит рад частных задач, к которым относят случайные стгационарные и нестационарные ко­ лебания линейных и нелинейных систем как с конечным числом степеней свободы, так и си­ стем с распределенными параметрами.

6.6.1.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ИИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ [18, 19]

Случайной функцией X(t) называют функ­ цию, реализации которой Xj{t) случайны, но

каждая реализация ес1ъ неслучайная функция времени /(рис! 6.6.2). Случайную функцию Х(/), зависящую от времени, называют случайным процессом, а зависящую как от времени, так и от координат X(ty х, у, z), называют простран- с1ъенно-временным процессом.

Математическим оокмданием (средним зна­ чением) случайной величины называют сумму про­ изведений всех возможных ее значений на веро­ ятности этих значений

(6.6.1)

/=1

где X/ - возможные значения случайной величи­ ны Х\ Pi - вероятности появления этих значений. Для непрерывной случайной величины X мате­ матическое ожидание

где Дх) - плотность распределения случайной величины X. Приняты следующие обозначения для математического ожидания: /«^, Af[Х],/XV

о

Центрированной случайной величиной X , со­ ответствующей случайной величине Д называют отклонение случайной величины Хот ее матема­ тического ожидания

Среднее квадратическое отклонение <^xif) связано с дисперсией соотношением [18]

Корреляционным моментом системы двух случайных величин X и Y называют математиче­ ское ожидание произведения центрированных случайных величин

п п

Для непрерывной случайной величины диспер­ сия равна

X{t) превращается в случайную величину. Для ряда реализаций, например, при ^/'к, получаем систему случайных величин Xj^t^^ которую на­ зывают сечением с]1учайной функции. Сечение сп^гчайной функции (случайные величины Xj^t^)) характеризуются математическим ожиданием niyfit^ (6.6.1) и дисперсией Djj^) (6.6.3). Вве­ денные неслучайные характеристики для сечения случад^ной функции Х(/), mjj^ и Djj^ справедтшвы для любого момента времени /, поэтому индекс "к" в обозначении момента времени t можно опустить. В отличие от числовых характеристшс случайных величин, представляющих собой числа, характеристики случайных функ­ ций представляют собой функции, зависящие, налршеер, от времени.

которой для каждого / равно дисперсии соответ­ ствующего сечения случайного процесса

(6.6.9) где А^УУ) - совместный закон распределения случайных величин Хи Y.

Если рассмотреть два сечения случайного процесса при tut' (см. рис. 6.6.2), то получаем две системы случайных величин Xj(t), Xj(tj.

Так как эти системы случайных величин отно­ сятся к реализациям одного и того же случайно­ го процесса, они должны быть взаимосвязаны. Для оценки этой (жязи используют числовую характеристику системы двух случайных величин - корреляционный момент (6.6.9)

Корреляционной функцией случайного процес­ са X(t) называют неслучайную функцию

К^ (t, tj ох двух архументов, которая при каж­ дой паре значений t и t' равна корреляционно­ му моменту соответствующих сечений случайно­ го процесса. Из (6.6.10) при / = /' следует:

K,{t,t) = M\x\t) ==Dx{ty (6.6.11)

Корреляционная функция симметрична относи­ тельно своих аргументов, т.е.

гПу (/), К^ (/, t'\ и К у (/, / j), характеризующих

каждый из этих процессов, можно аналогично корреляционным функциям Кх ^ Ку (которые иногда называют автокорреляционными функ­ циями) получить неслучайную функцию, устана­ вливающую степень взаимозависимости между различными сечениями этих процессов:

к^

Числовые характеристики комплексных слу­ чайных функций. Рассмотрим комплексные слу­

чайные функции X{t)^ Y{t):

X{t)^X,{t)^iX,{tYY{t)^Y,[t)^iY^{t).

(6.6.14) Математические ожидания X{t) и Y{t) соответ­ ственно

Взаимно корреляционная функция комплексных функций

к^=м\щГ{г) (6.6.16)

где I - сопряженная комплексная функция. В более подробной записи

^Ху = ^ Э Д "^^^2>'2 ^Л^^2У1 " ^ V l ) ' Взаимно корреляционная функция (6.6.16) в частном случае при t - t' и X=YGCTb дисперсия случайной комплексной функции X, которая должна быть положительной, что выполняется, если берется произведение комплексной функ­ ции и ее сопряженной функции

Ht) = м\k{t)X\t) = мx^xi (6.6.17)

Рис. б.б.З. Графики корреляционной функции

На основании свойства симметрии (6.6.12) кор­ реляционная функция стационарного случайного процесса удовлетворяет условию

Т.е. является четной функцией. На рис. 6.6.3 приведены графики изменения А^т) для двух наиболее часто используемых в прикладных за­ дачах корреляционных функций:

Нормированной корреляционной функцией называют функцию

Стационарные случайные процессы, для которых можно по одной реализации установить вероятностные характеристики, называют эргодическими стационарными случайными процес­ сами. Для таких процессов среднее значение функции по времени (на достаточно большом интервале наблюдения) приближенно равно среднему значению по множеству наблюдений, т.е. [18]

О

Дисперсия случайной стационарной функции

оо

Выражение для корреляционной функции имеет вид

О

Достаточньп^ условием эргодичности случайной стационарной функции (по отношению к мате­ матическому ожиданию) является условие

D^ = К^ (0) = 2\S^ (u))ûfo. (6.6.28)

S/oj)i

Соотношения (6.6.24) и (6.6.25) называют фор­ мулами Хинчина-Винера. Они устанавливают связь между представлением случайного процес­ са во временной области (с помощью корреля­ ционной функции А^(х)) и в частотной области (с помощью спектральной плотности Sx{^))- Функции А^(х) и -5*x;(cû) есть четные функции, поэтому

5(х)=±|е-^о (6.6.29)

Корреляционная функция (6.6.29) соответствует стационарному случайному процессу типа белого шума. Для системы двух стационарно связанных случайных функций X{t), Y{t) аналогично (6.6.24), (6.6.25) имеем

S^^^—JK^i^y'-^dt, (6.6,31)

-с»

ще Sxy((ù) - взаимная спектральная плотность. Если X{i) и Y{f) являются случайными коррели­ руемыми функциями типа белош шума, jfjfy^const, то К^^, (г) = 2nSjçyd(xy

Линейные {феобразования случайишс функ­ ций. С помощью линейных операторов L

Y(t)=L(X(t)) (6.6.32)

ус1анаш1иваегся связь между вероятностными характеристиками случайной функции X(f) и атучайной фунюхии Y{f).

Вход и выход связаны соотношением

где (p(t) - неслучайная функция.

my{t)^MijXck : |м[ЛГ]г& = Jm^dfe.

AfJ= |Л/,

Корреляционна\я функция выхода

В случае, если вход X и выход Y - случайные векторы, связанные линейным преобразованием вида _

Y = ЩЩ,

где K{t) - матрица (лхл), элементами которой являются неслучайные функции kij(t), то матемагические ожидания ИJCoppeляциoнныe функ- }щк компонент вектора Y будут

зуют, например, при исследовании свободных случайных колебаний.

Интеграл от случайной функции X(t)y

имеющей математическое ожидание ïfij^t) и корреляционную функцию К^ и, tj,

1) m - j ûEfife = a — ;

0 ^

0 0

Полагая f = Г , находим

Если случайная функция входа X\{i)=ip{f)X{f)y где ф(/) - неслучайная функция, то вероятност­ ные характеристики выхода

о

к у (/,/') - J |ф(Е)ф(8')^^(е,Е')^Ь(&'. (6.6.36) 00

Соотношения (6.6.36) играют основную роль в теории колебаний линейных систем. Эти резуль­ таты можно обобщить на случай, когда "вход" и "выход" являются л-мерными векторами, т.е.

О

где K{t,z\ - матрица (лхл), элементами кото­ рой являются неслучайные функции. В этом случае математические ожидания компонент

вектора Y и корреляционные функции имеют вид

п t

/=10

p=l v=l 0 0

xK^^^{z,z)dzdz\

(6.6.38)

Соотношения (6.6.38) используют при исследо­ вании вынужденных случайных колебаний ли­ нейных систем.

Производная от случайной функции

Корреляционная функция

Пример 2. Определить my{t) и Dy(t), если

Получим

v(0 = dt

6.6.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Свободные случайные колебания. Уравнение свободных колебаний системы с конечным чис­ лом степеней свободы

где Л, Д С - постоянные матрицы размерности (AIX/I) соответственно инерционная, диссипа-

тивная и "упругая"; Y - вектор состояния си­ стемы. Уравнение (6.6.40) можно записать в виде системы двух векторных уравнений первого по­ рядка

Сортношение (6.6.42) аналогично ранее рассмот­ ренному линейному преобразованию случайных функций (6.6.32), поэтому, воспользовавшись выражениями (6.6.33) и (6.6.34), находим

п

'"zj =Z*v(0'"z„, (У = 1,2,...,«);

/=1

р=1 v=l

Пример 3. Сосредоточенная точечная масса m находится на консольном стержне постоянно­ го сечения (рис. 6.6.5). J i a массу действует слу­ чайный импульс силы / , имеющий нормальное распределение [31] с известными вероятностны­ ми характеристиками Шу и Оу, Требуется опре-

делить изменение во времени максимального нормального напряжения в сечении стержня в начале координат.

После окончания действия импульса силы возникнут свободные колебания, которые опи­

сываются уравнением

2

у -^2гу +(ÙQy = 0 .

(cûi/w)

Принимая, чго случайное отклонение у имеет нормальное распределение, и используя правило трех сигм, получаем

т а х у -т + За =

:^^^ ^

Рис. 6.6.5. Схема действия случайного импульса / на массу m

Решение этого уравнения:

у =е (cj cescûj/ + С2sincoj/)

©1 = \/©o - 8 L

Отсчет времени берем после окончания действия импульса силы, при t=0 имеем

|7|

m

поэтому

|7|-е -zt coscûj/.

©i/w

Математическое ожидание гПу^ корреляционная функция К у (t, tj и дисперсия Ву будут:

-et

ГПу = -coSû)j/>n^;

COi/W

=coscù^thrij + Зау ).

Максимальное нормальное напряжение в задел­ ке

а = • cosu)j/(m^ +3ау) .

Можно определить момент времени t , когда а достигнет максимального значения, из условия (da/dt\ = О или tgcoj/ = ~e/cûj.

Вьшужденные случайные колебания. Урав­

нение вынужденных колебаний систем с конеч­ ным числом степеней свободы

могут быть как постоянными числами, так и

Размерность вектора / не обязательно

должна быть равна размерности вектора Y. Чис­ ло действующих на систелсу внешних возмуще­ ний может быть как меньше, так и больше числа степеней свободы системы, поэтому матрица Di в общем случае прямоугольная, af не квадратная.

Показанный на рис. 6.6.1 разновременный старт ракеты описывается системой двух уравне­ ний второго порядка (две степени свободы - угол ф для направляющей и угол О для оси раке­ ты) с переменными во времени коэффихщентами, т.е. уравнением типа (6.6.44). Элементы мат­ риц, входящих в уравнение (6.6.44), зависят от времени вследствие изменения массы ракеты и смещения ракеты по направляющей. Если слу­ чайной составляющей изменения массы за время движения ракеты по направляющей можно пре­ небречь, то оператор L и матрица Di детерми­ нистские. Если учитывать случайное изменение массы ракеты, то оператор L стохастический, так как коэффициенты, входящие в оператор X, случайны. Компоненты вектора / для данного