Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

В данном случае возможно равномерное скольжение груза со скоростью ведущего звена VQ. При этом пружина растянута постоянной силой Р, равной силе трения /?2- Однако этот режим неустойчив и около него неизбежно воз­ никают автоколебания. Если скорость VQ мала, то какое-либо случайное препятствие может оказаться достаточным для остановки груза. Тог­ да ведущее звено, продолжая движение вправо, будет растягивать пружину до тех пор, пока сила растяжения не достигнет предельного значения Ri. После этого произойдет срыв фуза, причем сила трения мгновенно уменьшится до значения i?2- Если начать отсчет времени с этого момента, то последующее движение будет описываться дифференциальным уравнением

2 2

X-^CDQX = û)QVQ/-f (i?j ~ R2) / m,

где X - перемещение; CÛQ = С / m; с - коэффи­ циент жесткости пружины; m - масса груза. Ре­ шение этого уравнения, удовлетворяющее нуле­ вым начальным условиям, имеет вид

при этом скорость груза меняется по закону

X =1 V Q ( 1 - C O S ^ Q / ) + — ^ ( / ^ î -Л2)sin*66)0/

с

и в некоторый момент времени ti вновь обраща­ ется в нуль» Значение /i определяется из выра­

Модули полученных выражений всегда меньше единицы, так что /j вещественно и остановка груза неизбежна. Далее можно найти путь, пройденный грузом до момента остановки:

Длительность остановки груза /2 найдется из условия, ^ггo сила растяжения np>OKHHbi должна вновь достигнуть значения R\.

Период автоколебаний определяется выра­

жением T\—î\+Î2-

При релаксационных автоколебаниях, ког­ да закон движения системы значительно отлича­ ется от синусоидального, MOI>T наблюдаться разрывы, которые, например, обнаруживаются в системах со значительной силой трения.

Пример 6. Найти размах и период релакса­ ционных автоколебаний системы, изображенной на рис. 6.5.18, а, в случае, когда характеристика трения задана в виде (6.5.28).

Весь автоколебательный цикл состоит из двух этапов: движения груза с постоянной ско­ ростью VQ вправо совместно с лентой и движе­ ния груза с убывающей скоростью влево. Мак­ симальное отклонение груза вправо от положе­ ния равновесия ^„^^х ~ Щ / ^ ^ ^ минимальное отклонение влево (^^j^ - ^2 I ^ ' Размах автоко­ лебаний (рис. 6.5.23, а) определяется разностью

9 ; \

Ятах''^^г/с

Рис. 6.5.23. Графики перемеп|ения {а) и скороеги (б)

груза при его релаксационных автоколебаниях

Длительность первого этапа движения h ~ (^1 ~ ^2) / (^^о) ~ закон равномерного

движения.

Длительность второго этапа движения оп­ ределяется из равенства

dR . dt

= cq— (так как cq=R{y)), dq dq

откуда

Рис. 6.5.24. График нелинейной силы трения

Нижний предел интефирования соответствует изображающей точке 1 (рис. 6.5.24), щш которой q^ = VQ - V p а верхний предел - точке 2, дяя которой ^2 = ^0 ~ ^* • Суммарная длительность одного цикла автоколебаний 7-/1+/2- Графики движения q—q{t) и скорости q = q{t) представ­ лены на рис. 6.5.23, а, б.

нормальной силы fn{t), возникающей в зоне контакта соударяющихся тел за время т их взаи­ модействия, удар предполагается мгновенным (т->0), а потери энергии при ударе оценивают с помощью коэффициента восстановления R от­ носительной нормальной скорости соударяю­ щихся тел. Так, например, при центральном ударе двух тел, поступательно движущихся со

6.5.9. ВИБРОУДА1*НЫЕ СИСТЕМЫ

Виброударной называют механическую си­ стему, колебания которой сопровождаются сис­ тематическими соударениями ее элементов [5, 6, 44]. Динамические процессы, сопровождающие функционирование виброударной системы, на­ зывают виброударными. Виброударные процессы харакггеризуются резкими изменениями упругих и диссипативных сил, происходящими при кон­ тактах сдударяющихся элементов. Поэтому виб­ роударные системы относят к классу сильно нелинейных систем.

Виброударные процессы лежат в основе многих технологий - этипроцессы используются в машинах для погружения свай, трамбования ipyHta, дробления материалов, угшотнения бе­ тонных и литейных смесей, в разнообразных конструкциях отбойных и клепальных молотков, ручного механизированного инструмента и дру­ гих машин. Вместе с тем, возникая как паразит­ ные, виброударные процессы сопровождают работу практически любой машины, искажают законы движения, способствуют преждевремен­ ному износу и разрушению элементов конструк­ ций.

При исследовании виброударных систем (ВУС) задают модели подсистем, несущих соуда­ ряющиеся элементы, и выбирают гипотезу о характере ударного взаимодействия [6].

Модели подсистем строят обычными для теории колебаний способами, например, задани­ ем дифференциальньгх уравнений движения или соответствующих динамических податливостей подсистем [5, 6, 27].

Гипотезы удара. Выбор гипотезы удара оп­ ределяется физическим содержанием задачи и зависит, в частности, от соотношения продолжи­ тельности соударения и времени между соударе­ ниями элементов. Наиболее распространены две фуппы шпотез.

Стерео механическая теория удара [6, 60] полностью исключает рассмотрение процесса формирования силы удара ввиду его малой про­ должительности и дает оценку результирующих кинематических характеристик соударяющихся тел с помощью общих теорем механики. В рам­ ках стереомеханической теории удар характери­ зуется импульсом

т

= J/«(0^^

скоростями JCj и ^2» мгновенное изменение их относительной скорости х = Х2 - х^ описывает­ ся отношением

где /j, - MOMcirr соударения.

Изменение относительной скорости проис­ ходит в результате действия импульса силы удара

/ = т(1+Л)|л;(Г^-0)|,

где П1'=т\т2/(щ~^п12) - приведенная масса соударяющихся тел; /Wj, /rz2 - массы тел. При этом предполагают, ^rгo координаты тел за время удара не изменяются.

При описании нецентрального удара обьгчно считают, что касательный импульс

-v/signx. п ри \у_ \>У1 / т;

где у_- скорость относительного скольжения в

точке контакта в начале соударения; v - коэффициещударного трения, который часто при­ нимают равным коэффициенту трения при ста­ тическом нагружении. Неравенство в приведен­ ном соотношении следует из того, что скорость скольжения в процессе удара изменяется, но не меняет своего направления.

При использовании стереомеханической теории условия удара вводят в динамическую модель виброударной системы в виде самостояTejttHbDc конечных соотношений типа, приве­ денных выше, либо включают в уравнение дви­ жения в виде соответствующих силовых характе­ ристик, записываемьЕХ при помощи сингулярных обобщен}1ых функций. В последнем случае сила удара

где b{t) - функция Дирака [5, 6].

Другая ipynna гипотез основана на введе­ нии нелинейных динамичесютх характеристик ударной пары, дающих зависимости сш1Ы удара от координат и скоростей соударяющихся эле­ ментов. Эти характеристики учитывают дефор­ мацию элементов и позволяют описать процесс соударения [5, 6, 33].

Как правило, динамическая характеристика может быть предстакдена в виде

Осцилляторы с одно- и двусторонними ог­ раничителями установлены с зазором А относи­ тельно равновесного положения ударной массы m (рис. 6.5.26, а, б). (Отрицательная величина А отвечает системе с предварительным натягом.)

Модель ВУС, в которой предварительный натяг между ударником /Wj и ограничителем создается статической силой G, приложенной к массе mj, приведена на рис. 6.5.26, в. При колебаниях вся система может смещаться вдоль оси. На рис.

постоянных: X]^~XJ^{C\^...^C2M-> О» (^ = 1?^^1-

Это 2N - параметрическое семейство функций подчиняется условиям, регламентирующим со­ стояние системы при достижении какой-либо из координат уровня ограничителя, и условиям периодичности. После репюния системы 2N нелинейных алгебраических уравнений получаем

значения CJ=CQJ Ij = 1,2Л^1, отвечающие иско­ мому режиму, который должен еще анализиро­ ваться на выполнение геометрических условий (типа Xf<A) и устойчивость. Эффективная про­ верка выполнимости геометрических условий осуществима, как правило, численно. Анализ устойчивости проводится методом конечных разностей. Найденным значениям величин CQJ

дают приращения SCQJ И, ИСХОДЯ из структуры

системы, получают информацию о накоплении возмущений от удара к удару. Для /-го соударе-

ния получают величины SCQ:. Если для всех j

при /-^00 C^CQ-^O, периодическое движение

асимптотически устойчиво.

Временные методы позволяют получать точные решения сильно нелинейньгх задач. Они базируются на классическом в теории колебаний методе точечных отображений [2, 63]. При их посредстве были заложены основы теории виброударньЕХ систем. Однако временные мегоды имеют существенные недостатки, в частности, в практическом плане они слабо приспособлены для анализа виброударных систем с большим числом степеней свободы^ при учете в уравнении "безударного" двюкения "обычных" нелинейных факторов, при принятии более реалистических, нежели стереомеханическая, теорий удара.

Ч а с т о т н ы е м е т о д ы [6, 33] ос­ нованы на использовании процедур, связанных с эквивале}ггной линеаризацией уравнений движе­ ния ВУС. В зависимости от спегщфики задач применяют методики гармонического баланса, гармонической линеаризации, линеаризации по функциям распределения, статистической линеа­

О

2л

к{А,а) = {жа)-^ ^Ф[х{1),х{т)\

О

После подстановки (6.5.35) в уравнение (6.5.32) получим равенства, связывающие посто­ янные составляющие, амплитуды и фазы иско­ мого виброударного процесса:

А=А^-Щ)/{Л,а);

няют энер1^тическое условие, в соответствии с которым для устойчивого процесса необходимо выполнение неравенства

Приведем значения коэффициентов линеа­ ризации для неко1Х)рых динамических характе­ ристик ударных пар.

Для симметричных (У4==0) упругодиссипативных охраничителей (рис. 6.5.27, а) с характе­ ристикой вида (6.5.30)

/-0;

Рис. 6.S.27. Динамичесюш харжтервстнкж ударной шфы с упругоднсснпятнвнымн ограннчшгелями

Для одностороннего упругодиссипативного 01ранич1ггеля (рис. 6.5.27, 6)

f(A,a) ="5— V l - a - a a r c c o s a ;

np

где a ^ (Л - A) / a.

Из первых двух равенств (6.5.38) с по­ мощью прибли:<сенной процедуры можно ис~ ключигь величину А и аппроксимировать коэф­ фициент линеариза1щи выражением

теории удара (CQ-^OO) выражения для коэффици­ ентов линеаризации имеют вид

Для системы с предварительным зазором (натягом) из (6.5.39) и первого уравнения (6.5.36) при Л*=0 имеем

В качестве примера приведем выражение для амплитудно-частотной харакгеристики ВУС (см. рис. 6.5.26, д), полученной из второго урав­ нения (6.5.36) после подстановки коэффициента (6.5.40) и динамической податливост (6.5.33)

процесса определяется из условий а>Д при А>0 и а>0 прц А1ф. Условие устойчивости (6.5.37)

^-{р/^о)

Методы частотного анатшза позволили су­ щественно продвинуть теорию ВУС. На их осно­ ве удалось отказаться от эталонных моделей, которыми приходится оперировать, используя временные методы, и перейти к более полным и реалистичным моделям ВУС. Таким образом, удалось, в частности, разработатг» теорию авторе­ зонансных машин виброударного действия [33]. Однако, хотя для ряда принципиальных задач (например, настройка ВУС на резонансный ре­ жим) знание основного тона достаточно, тем не менее частотные метюды не дают полной ин­ формации о значениях динамических нагрузок в ударных парах, о сгруктуре сложных шпов виб­ роударных процессов и ряда других динамичеCKiïx эффектов, получить которые можно только,

движения периодических виброударных процес­ сов через так называемые периодические функ­ ции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравне­ ние движения (6.5.32) и эквивале1ггное ему (для установившихся режимов) интегральное уравне­ ние (6.5.33). Воспользовавшись стереомехани­ ческой теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соот­ ветствии с (6.5.29)

t^-qT). (6.5.43)

q=-cok=l

где периодическая функция Грина (ПФГ)

ОООО

q=-ao

-1

р = 2пТ~

(6.5.45)

Представление (6.5.44) определяется только оператором взаимодействующих подсистем и может быть построено, исходя из натурных из­ мерений [91]. Для определения неизвестных импульсов Л и моментов удара /у имеем сле­ дующую из условий удара систему агп^браических уравнений:

V

A = x*(tj)-'^I^x(tj-tk)> k=l

У = l,2,...,v; v = l,2,...;

^*(tj)-thx(tj-t,-0) \(1+R)m,

k=l

(6.5.46) В практически важнейшем случае синусои­ дальной внешней силы и одного соударения за период движения, совместив удар с началом

отсчета времени, вместо (6.5.44) получим [6] x(t) = а * cos(pt + ф) - Ix(t); (6.5.47)

-АХ(0) ±^а*^х(0)-Я^(А^-а*^)

(6.5.48) ра * skiip = -/i,2^; а * со8ф = А + /i,2X((^)>

д = х(0) + [{1^Я)т]~\

(6.5.49)

Для исследования устойчивости может быть применен метод составления уравнений вариаций в обобщенных функциях [74]. В прак­ тических расчетах используют энергетическое условие неустойчивости, позволяющее сразу выявить заведомо неустойчивые режимы. Если стационарный режим с одним соударением за период имеет параметры IQ И фо, то для не­ устойчивого движения

- работы сил возбуждения и диссипации на этом движении. В частности, для режима (6.5.47) - (6.5.49) заведомо неустойчивому движению отве­ чает знак минус перед радикапом, входящим в формулу (6.5.48).

Аналогичная методика строится для систем с симметричными двусторонними ограничите­ лями. Здесь режимы движения определяются симметричными ПФГ

ОО

X * (О = 2Т-^ 2 X [ / ( 2 Â : +1)/>]ехр[/(2А: +1)/)4

к=^

(6.5.50) Соотношения (6.5.44), (6.5.46) - (6.5.49)

дают точные решения. Однако в отличие от вре­ менных методов существенно расширяется до­ пускаемый класс моделей подсистем ВУС. С ростом размерности системы число агггебраических уравнений, определяющих параметры виб­ роударного процесса, не возрастает. Вычисли­ тельные преимущества частотно-временных ме­ тодов основаны на том, что ПФГ (6.5.45) и

(6.5.50) находят без обращения к общим реше­ ниям соответствующ^к линейных задач, но пол­ ностью определяются частотными характеристи­ ками. Сведения о ПФГ приведены в [5, 74, 91]. Разработаны методики, позволяющие записывать ПФГ не в виде бесконечных рядов (6.5.45), (6.5.50), а в конечной форме на интервалах пе­ риодичности.

Расчетные схемы частотно-временных ме­ тодов позволяют также получать приближенные представления резонансных виброударных про­ цессов, анагшзировать переходные процессы, задачи с малыми дополнительными нелинейностями, случайные колебания, переходить к моде­ лям с немгновенными соударениями. При этом получающиеся приближенные решения содержат полные наборы гармонических составляющих процессов и более информативны, чем решения, получаемые при посредстве частотных методов. Однако при усложнении моделей получить легко интерпретируемые аналитические соотношения можно только при посредстве частотных мето­ дов.

Частотно-временные методы позволили разработать теорию параметрических ВУС; ре­ шить задачи о нахождении динамических нагру­ зок в ударных парах, содержащихся в системах сложной структуры; описать механизм прохож­ дения виброударных процессов через вибропроводящие конструкции различных типов с оди­ ночными и множественными разрывами. С их помощью загюжены основы теории виброудар­ ных систем с распределенными ударными эле­ ментами (см. рис. 6.5.26, л).

одхювременными соударениями в большом чис­ ле ударных пар. Подобные же режимы движения происходят и при соударениях, например, гиб­ ких нитей с прямыми жесткими охраничителями. В этом cjiyiae в удар вовлекаются одновре­ менно целые участки нитей (режимы типа "хлопка"). В ВУС с большим чисхюм сосредото­ ченных ударных пар возможно появление режи­ мов движения пульсонного (солитонного) типа, когда ъсе тела, входящие в систему, практически покоятся, а лишь одно совершает интенсивные периодические колебания с соударениями. При реализации данных "организованных" режимов виброударная система ведет себя во многом по­ добно системе с одной степенью свободы.

Нелинейные эффекты. Виброударные вза­ имодействия приводя^г к появлению специфиче­ ских нелинейных явлений: неизохронности, затягиванию по частоте и амплитуде, жесткому запуску. Эти эффекты можно пояснить на при­ мере простых моделей с одной степенью сво­ боды [2, 3, 6, 10, 44].

где (ÛQ ~ ^с / m - собственная частота линей­ ной системы. Из условий ^^0 при А>0 и а>0 при А<0 след>ет, что колебания с соударениями возможны в частотных диапазонах ®O<Û)<2Û)O

при А>0; (й=2щ при А=0; (Ù>2(ÙQ при А<0.

Графики зависимости (6.5.51) показаны на рис.

6.5,29 тонкими линиями 1 (скелетные кривые). Система с предварительным зазором (рис.

6.5.29, а) жесх'ко анизохронна, система с натягом (рис. 6.5.29, б) мягко анизохронна, а система с нулевым зазором (рис. 6.5.29, в) изохронна. Зависимос1Ъ (6.5.51) получена с помощью метода припасовывания (временной метод). Аналогич­ ную зависимость можно получить из решения (6.5.41), полученного приближенным

(частотным) методом, при Qy=0.

Система с симметричными ограничителями имеет жесткий анизохронизм, причем частоты свободных колебаний со>соо, а амплитуды а=А (рис. 6.5.30).

Рис. 6.5.29. Амплитудно-частоткые ха{1жктеристики для ВУС с односторонним огряничятелем

Неизохронность свободных колебаний про­ является в том, что частота свободных колебаний ВУС зависит от полной энергии системы и, сле­ довательно, от амплитуды колебаний ударника. В системе с односторонним ограничителем (см. рис. 6.5.26, д) амплитуда (полуразмах) а свобод­ ных колебаний связана с частотой © свободных колебаний зависимостью

а = —лП - sec^Tccû / COQ)], (6.5.51)

Двузна^шосаъ амшштудно-частотных харак­ теристик ВУС обусловлена их анизохронизмом. Двузначность возможна только в областях суще­ ствования скелетных кривых, разделяющих ветви амплитудно-частотных характеристик. В системе с односторонним ограничителем двузначность может проявиться при вынуждающей силе

ôj < 2|А|С (СМ. рис. 6.5.29, а, б). Из сравнения

(6.5.41) и (6.5.42) следует, что нижние ветви, показанные штриховыми линиями, соотве1хггвуют неустойчивым режимам и не реализуются. В системе с симметричными ограничителями обе ветви сливаются со скелетной кривой а=А, а соответствующие им режимы отличаются фазой и скоростью соударения. В ВУС без диссипации (Ь=0, R=l) ветви резонансных кривых неогра­ ниченно продолжаются вдоль скелетных.

Затягивание по частоте заключается в том,

что выход на интенсивные виброударные режи­ мы в областях двузначности выполняется увели­ чением частоты возбуждения для сисггем с жест­ ким анизохронизмом (см. рис. 6.5.29, а; 6.5.30) и уменьшением частоты для систем с мягким анизохронизмом (см. рис. 6.5.29, б).

û)p=Cûo> но не ограничивает натяг А->-оо при û)p-->oo. Ударная диссипац;ия, наоборот, не огра­ ничивает зазор Л-^оо при сОр->соо, но ограничи­ вает натяг А=-д/2В=-(1-1^6/11(1+Я), при ко­

тором СОр—>00.

Описанные динамические эффекты прояв­ ляются и в ВУС с более сложной структурой, имеющих большое »шсло степеней свободы и

Рис. 6.5.31. Схемы колебательных систем

1. Инерционные (дебалансные) и криво- шипно-шатунные возбудители с упругим шату­ ном (рис. 6.5.31). Возбудитель состоит из двига­ теля и неуравновешенного ротора (рис. 6.5.31, а) или кривошипа с пружиной (упругим шатуном) (рис. 6.5.31, 6), колеба1'е;и>ная система представ­ ляет собой поступательно движущееся твердое тело на упруговязкой опоре. При вращении двигателя изме>ыется во времени проекция центробежной силы или силы упругости шатуна на ось X, что вызывает колебания тела. Вместе с телом колеблется неуравновешенный ротор,

* Для задания вынуждающей силы, не зависящей от колебаний возбуждаемой системы, в схему управле­ ния вибровозбудигелем включают различные системы с обратной связью, поддерживающие требуемое значение силы.