lekcia_25opt
.pdf
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля
Дифракция света – совокупность явлений, связанных с отклонением от законов геометрической оптики. В узком смысле – явление огибания светом препятствий и его проникновение в область геометрической тени.
Принцип Гюйгенса – Френеля. Состоит из 2-х частей:
а) Каждая точка пространства, до которой доходит световая волна, служит источником вторичных волн, огибающая которых дает положение фронта волны в последующий момент времени (по Гюйгенсу).
б) Вторичные волны когерентны и интерферируют между собой (по Френелю).
На рис. направление ВВ’ – область геометрической тени, случай геометрической оптики.
Геометрический принцип Гюйгенса – качественный способ нахождения дифрагированной волны:
1
Лекция 25. дифракция света
Рассмотрим принцип Г.-Ф. ваналитическом виде:
Возьмем произвольную поверхность S, покрывающую отверстие в непрозрачном экране.
Найдем амплитуду волны в точке наблюдения Р.
Согласно принципуГ.-Ф. элементарная площадка отверстия dS является источником вторичных сферических волн:
|
dE |
|
2 |
|
dEp |
0 |
exp i t kR , |
k |
|
R |
|
|||
Амплитуда волны в точке наблюдения зависит от угла между волновым вектором исходной волны от источника и направлением на точку Р:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Из теории Гюйгенса: |
|
||||||||
dEp EdSn |
k EdSn; |
|
max |
|
|
|
|
||||||||||||
k |
min |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||
|
|
exp ikR |
|
|
|
|
|
|
4 i |
1 cos |
|
||||||||
|
k E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда: dEp |
dSn; Интегрируя по площади отверстия получим |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
Ep |
k E |
exp ikR |
dSn |
||||||||||
математическую формулировку принципа Г.-Ф.: |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
2
Лекция 25. дифракция света
Зоны Френеля
Разобьем сферический волновой фронт на кольцевые участки так, чтобы разность фаз между волнами от соседних участков в точке наблюдения была π.
Такие кольцевые участки – зоны Френеля.
Волны от соседних зон действуют в точке наблюдения в противофазе.
Найдем площади зон:
Sm Sm Sm 1
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
rm2 |
a2 a hm |
2 |
b hm |
2 |
|||||
|
b m |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r2 |
2ah h2 |
bm m2 |
|
2 |
|
2bh h2 |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
m |
m m |
|
|
|
4 |
|
m m |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 т.к. второго порядка малости
3
Лекция 25. дифракция света
2hm a b bm ; |
Отсюда высота сферического сегмента: h |
|
|
bm |
|
||||||||||||||||||
|
a b |
||||||||||||||||||||||
Площадь сферического сегмента: |
|
Sсегм 2 Rh |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда площадь зоны Ф.: Sm |
|
|
m; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a b |
|
ab |
|
|
|
|
не зависит от номера зоны |
||||||||||||||||
Изменение площади зон Ф: Sm |
Sm Sm 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
для малых m. |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Радиус зон Ф.: r2 2ah |
h2 |
|
|
2ab |
|
|
|
2ab |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m ; |
r |
|
|
|
|
m |
|||||||||||||||
|
2 a b |
|
|
|
2 a b |
||||||||||||||||||
m |
m |
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 10 7 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Оценим радиус 1-й зоны Ф. для a=b=1м, λ=500нм: |
r |
|
|
|
|
|
м 5 10 4 м 0.5 мм |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
m 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С ростом m увеличиваются радиус зоны r и угол α, следовательно уменьшается коэфф. k(α). Поэтому действие зон уменьшается от центра к периферии волнового фронта: по модулю А1>A2>A3>… Учитывая, что δ=π, то:
A A A A A |
A1 |
|
|
A1 |
A |
A3 |
|
|
|
A3 |
A |
A5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 2 3 4 |
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
||
2 |
|||
|
|
|
|
Am |
|
|
|
Am 1 Am 1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Используем: |
|
|
|
|
|
Тогда для 1-й зоны: I1 A12 |
2A0 2 4I0 |
|||
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интенсивность от 1-й зоны в 4 раза > интенсивности от всего волнового фронта.
4
Лекция 25. дифракция света
Дифракция Френеля на круглом отверстии
Амплитуда волны на экране:
A A1 A2 A3 Am
+ когда m – нечетное, - когда m - четное
A |
|
A |
A2 |
|
A |
|
|
A |
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
m |
нечет |
|
||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A1 |
|
|
A3 |
|
|
Am 1 |
|
|
|
A1 |
A2 |
|
|
Am |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чет. |
||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Am 1 |
A |
Am |
; |
A |
A1 |
|
Am |
; |
||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
m |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
В случае малого числа |
|
|
|
|
|
|
|||||
открытых зон Ф.: |
|
m четно |
|
|
|||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|||||
Am A1 A |
, |
m нечетно |
|||||||||
|
|
|
A1 |
||||||||
нечет; |
чет |
В случае большого числа открытых зон Ф.:
A 0, |
A |
A1 |
и I I |
0 |
|
||||
m |
2 |
|
||
|
|
|
||
m - мало |
m - велико |
5
Лекция 25. дифракция света
Дифракция Френеля на круглом диске
Пусть размеры диска |
r |
ab |
m ; |
|
совпадают с радиусом одной |
||||
|
||||
из зон Френеля: |
g |
a b |
||
Найдем амплитуду волны в точке наблюдения:
A A |
A |
A |
|
Am 1 |
|
|
Am 1 |
A |
|
Am 3 |
|
|
Am 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
m 1 |
m 2 |
m 3 |
2 |
|
|
2 |
m 2 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Результирующая амплитуда: A |
Am 1 |
|
|
|
|
|
2 |
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
1. Когда m – мало, Am+1=A1 |
A |
1 |
; |
I I |
0 |
|
2 |
||||||
Получаем в центре геометрической тени дифракционный максимум – светлое пятно (пятно Араго-Пуассона).
2. Когда m – велико, Am+1→0
Получаем на периферии область тени – приближение геометрической оптики.
6
Лекция 25. дифракция света
Зонная пластинка
Амплитудная З.П. – экран, состоящий из прозрачных и непрозрачных кольцеобразных участков, который пропускает волны из четных или нечетных зон Френеля.
A A1 A2 A3 A4 A1 A3 A5
r |
|
ab |
m ; |
|
r2 |
|
ab |
|
1 1 m 1 |
f |
|
r2 |
||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
m |
||||
a b |
m |
a b |
|
|
|
|
m |
|||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
a b r2 |
|
f |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
Когда a , |
f b; |
a f получаем мнимые фокусы |
|
|
|
|||||||||||||||
ЗП ведет себя подобно собирающей линзе, но: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.изображение искажено сильной хроматической аберрацией – фокусное расстояние обратно пропорционально λ;
2.у ЗП бесконечное множество фокусов, быстро убывающих по амплитуде.
Для получения главного фокуса нужно удалить ЗП от точки наблюдения так, чтобы угловые размеры зон совпадали с размерами колец ЗП. При этом проходит энергия каждой второй зоны.
Если приблизить ЗП к наблюдателю так, чтобы на кольце ЗП укладываются 3 зоны Ф., получим 1-й фокус. При этом проходит энергия каждой 6-й зоны.
7
Лекция 25. дифракция света
Положение точки наблюдения для наблюдения 1-го фокуса:b : |
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
; |
|||||||||||||
|
a |
b |
f |
f |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
Для (2n+1) зон, укладывающихся на одном кольце ЗП: b : |
1 |
|
1 |
|
|
2n 1 |
|
|
1 |
|
; |
|||||||||||||
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
a |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f |
n |
|
||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Фокусное расстояние ЗП: f |
n |
|
; |
|
n 0,1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Фазовая З.П. в отличие от амплитудной не теряет энергии. В Ф.З.П. происходит не задержание волн от четных зон, а изменение их фазы на π.
A A1 A2 A3 A4
Ф.З.П. из кремния для рентгеновского диапазона
8
Лекция 25. дифракция света
Метод векторных диаграмм – спираль Френеля
По методу В.Д. гармоническое колебание представляется вектором, длиной в амплитуду колебания, вращающегося вокруг оси с частотой ω. Тогда колеблющаяся величина – это проекция вектора на горизонтальную ось.
Возьмем 1-ю зону Френеля и разобьем ее на множество одинаковых кольцевых участков (на манер мишени для стрельбы). В пределах 1-й зоны фаза волны меняется от 0 до π. Нарисуем по методу векторных диаграмм вектора каждого кольцевого участка с учетом изменения его фазы, т.е. угла между горизонтальной осью:
π
1-я зона
π/2
0 
Результат – вектор, проведенный от начала 1-го вектора к концу последнего.
9
Лекция 25. дифракция света
Аналогично построим диаграмму для 2-й, 3-й и т.д. зон Френеля. Получим спираль, скручивающуюся к центру. Скручивание обусловлено убыванием действия зон с большими номерами. Вектор от 0 до ∞ – вектор действия всего волнового фронта А0.
Т.к. мы будем работать с малым количеством зон, то начальные витки спирали будем отображать в виде окружности.
При использовании метода векторных диаграмм возможны два варианта перекрытия непрозрачным экраном зон Френеля: «по амплитуде» и
«по фазе».
Пример разных случаев амплитудного перекрытия 1-й зоны Френеля:
Важно: результирующий вектор остается ↑↑ с вектором полностью открытой зоны.
10
Лекция 25. дифракция света