A_G_2014

§3. Гиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация 301

1)Определитель матрицы B не нуль, и aˆ0 = det(B)/ det(A) < 0. Тогда уравнение (3.3) можно записать в виде

3) Определитель матрицы B равен нулю. Уравнение (3.3) можно записать в виде

Коэффициенты αi, i = 1, 2, . . . , n, в уравнениях (3.5)–(3.7) очевидным образом выражаются через собственные числа матрицы A и определитель матрицы B.

Гиперповерхность, описываемая уравнением (3.5) при k = n (уравнением (3.6) при k = 0), называется эллипсоидом.

Гиперповерхность, описываемая уравнением (3.5) при k = 0 (уравнением (3.6) при k = n) называется мнимым эллипсоидом. Нет ни одной точки пространства Rn, удовлетворяющей этому уравнению.

Уравнения (3.5), (3.6) при 1 < k < n описывают гиперповерхности, называемые гиперболоидами.

Гиперповерхности, описываемые уравнением (3.7) при 1 < k < n, называются конусами. При k = 0 и k = n уравнение (3.7) вырождается. Ему удовлетворяет единственная точка x = 0 пространства Rn.

2.2. Пусть r = n−1. В этом случае det(A) = 0. Ранг матрицы B, очевидно, может принимать при этом следующие значения: n − 1, n, n + 1.

Если rank(B) = n − 1, то приведенная форма уравнения гиперповерхности принимает вид (3.3) c aˆ0 равным нулю и ее можно представить так

Если rank(B) = n, то aˆ0 ≠ 0 и в зависимости от знака aˆ0 приходим либо к уравнению вида

302 Глава 16. Поверхности второго порядка

Если rank(B) = n + 1, то реализуется приведенная форма (3.4), которую можно представить в виде

2.3. Пусть, наконец, 0 < r < n − 1. Ранг матрицы B может при этом принимать значения: r , r + 1, r + 2. Аналогично предыдущему случаю приходим к уравнениям вида

Уравнения (3.8)–(3.10), (3.12)–(3.15) описывают гиперповерхности, называемые цилиндрами, уравнение (3.11) описывает параболоид.

Уравнения (3.5)–(3.15) исчерпывают все так называемые канонические формы уравнения гиперпроверхности второго порядка. Геометрическая интерпретация этих уравнений может быть выполнена аналогично тому, как это делалось для поверхностей в трехмерном пространстве.

Глава 17

Итерационные методы

§ 1. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

1. В этом параграфе изучаются простейшие итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений вида

Матрица A = {aij}ni,j=1 предполагается невырожденной и, вообще го-

воря, комплексной. Под скалярным произведением векторов x, y Cn

∑n

Читателю из курса математического анализа хорошо известно понятие предела последовательности векторов из пространства Rn. Это определение, фактически, без изменений переносится на последовательности векторов из пространства Cn, а именно, будем говорить,

вытекает, что последовательность векторов {xk} сходится к вектору x тогда и только тогда, когда для любого j = 1, 2, . . . , n

lim |xj − xkj | = 0,

k→∞

т. е. xkj → xj при k → ∞ для всех j = 1, 2, . . . , n.

Отметим, что если lim xk = x, то lim Axk = Ax для любой мат-

2. Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы характеризуются тем, что если пренебречь ошибками округления, то решение системы может быть получено за конечное число

арифметических операций (зависящее лишь от порядка системы). Таков, например, метод Гаусса (см. § 8, с. 99).

При реализации прямых методов важно, чтобы все данные располагались в оперативной (быстрой) памяти компьютера. Если порядок системы настолько велик, что ее матрица может быть сохранена только с использованием внешней (медленной) памяти, например, жесткого диска, то время, затрачиваемое на решение системы, существенно увеличивается.

Для больших систем предпочтительнее оказываются итерационные методы. Основная идея этих методов состоит в построении последовательности векторов xk, k = 1, 2, . . . , сходящейся к решению x системы (1.1). За приближенное решение принимается вектор xk при достаточно большом k. Всюду в дальнейшем через zk будем обозначать вектор xk − x, т. е. погрешность приближения с номером k.

При реализации итерационных методов обычно достаточно уметь вычислять вектор Ax при любом заданном векторе x.

3. Метод Якоби1). Будем считать, что все диагональные элементы матрицы A отличны от нуля. Перепишем систему (1.1), разрешая каждое уравнение относительно переменной, стоящей на диагонали:

Выберем некоторое начальное приближение x0 = (x01, x02, . . . , x0n) и построим последовательность векторов x1, x2, . . . , определяя вектор xk+1 по уже найденному вектору xk при помощи соотношений:

Формулы (1.3) определяют итерационный метод решения системы (1.1), называемый методом Якоби.

Укажем легко проверяемое достаточное условие сходимости этого метода. Будем говорить, что для матрицы A выполнено условие диагонального преобладания, если

1)Карл Густав Якоб Як´оби (Carl Gustav Jacob Jacobi; 1804 — 1851) — немецкий математик

Метод Зейделя позволяет более экономно расходовать память компьютера, поскольку в данном случае вновь получаемые компоненты вектора xk+1 можно размещать на месте соответствующих компонент вектора xk, в то время как при реализации метода Якоби все компоненты векторов xk, xk+1 должны одновременно находиться в памяти компьютера.

Достаточное условие сходимости и оценку скорости сходимости метода Зейделя дает

4.1. Теорема. Пусть матрица A — матрица с диагональным преобладанием. Тогда метод Зейделя сходится при любом начальном приближении x0; справедлива оценка скорости сходимости:

Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующими рассуждениями из доказательства предыдущей теоремы.

5. Метод релаксации. Зачастую существенного ускорения сходимости можно добиться за счет введения в расчетные формулы числового параметра. В качестве примера приведем итерационный процесс

i = 1, 2, . . . , n, k = 0, 1, . . . Этот метод называется методом релаксации, число ω — релаксационным параметром. При ω = 1 метод переходит в метод Зейделя.

Ясно, что по затратам памяти и объему вычислений на каждом шаге итераций метод релаксации не отличается от метода Зейделя.

§ 2. Элементы общей теории итерационных методов

1. Придадим итерационным методам, рассмотренным в предыдущих пунктах, матричные формулировки. Начнем с метода Якоби. Нетрудно видеть, что равенства (1.3) можно записать в матричном виде

где D = diag(a11, a22, . . . , ann). Для того, чтобы придать матричную форму записи методам Зейделя и релаксации, обозначим через L нижнюю строго треугольную матрицу, поддиагональные элементы которой совпадают с соответствующими элементами матрицы A, а все диагональные элементы равны нулю. Через R обозначим верхнюю строго треугольную матрицу, такую что A = L + D + R. Равенства (1.9) могут быть переписаны тогда в следующем виде:

Будем рассматривать общий класс итерационных методов, определяемых соотношениями

Здесь B — невырожденная матрица, τ > 0 — число, называемое итерационным параметром. Для того, чтобы найти вектор xk+1 по уже известному вектору xk, нужно решить систему линейных уравнений

где fk = Bxk − τ(Axk − b).

Очевидно, при построении итерационного метода (2.3) матрица B должна выбираться так, чтобы решение системы уравнений вида (2.4) выполнялось намного быстрее, чем решение исходной системы уравнений (1.1).

Итерационные методы Якоби, Зейделя и релаксации являются частными случаями метода (2.3). Например, в случае метода Якоби B = D, τ = 1.

Наша ближайшая цель — получить условия на матрицу B и параметр τ, обеспечивающие сходимость метода (2.3).

Если x — решение системы (1.1), то, очевидно,

Понятно, что сходимость итерационного метода (2.3) определяется свойствами матрицы S.

2. Теорема. Для того, чтобы итерационный метод (2.3) сходился при любом начальном приближении x0, необходимо и достаточно, чтобы спектральный радиус ρ(S) матрицы S был меньше единицы.

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть λ — собственное число матрицы S такое, что |λ| > 1, e — соответствующий этому собственному числу нормированный собственный вектор матрицы S. Выберем в качестве начального приближения в итерационном методе (2.3) вектор x0 = x + e, где x — решение уравнения (1.1). Тогда в

соответствии с (2.8) имеем zk = λke, следовательно, |zk| = |λ|k. Очевидно, либо |zk| → ∞ при k → ∞, либо |zk| = 1 для всех k = 1, 2, . . . ,

т.е. метод (2.3) не сходится.

До с т а т о ч н о с т ь. Из теоремы 3, с. 213, вытекает, что, если спектральный радиус матрицы S меньше единицы, то она — сходя-

щаяся матрица, т. е. Sk → 0 при k → ∞, и тогда из (2.8) вытекает, что zk → 0 при k → ∞.

Опираясь на теорему 2, получим часто используемое условие сходимости итерационного процесса (2.3).

3. Теорема Самарского1). Пусть матрица A положительно определена и пусть для любого не равного нулю вектора x из Cn выполнено неравенство

1)Александр Андреевич Самарский (1919 — 2008) — советский, российский математик.

где B1 = (1/2)(B + B ). Тогда матрица B невырождена, и итерационный процесс (2.3) сходится при любом начальном приближении x0. Обратно, если матрица A положительно определена и итерационный процесс (2.3) сходится при любом начальном приближении x0, то выполнено условие (2.9).

Доказательство. Невырожденность матрицы B сразу же следует из условия (2.9) и положительной определенности матрицы A (см. упражнение 2 на с. 224). Покажем, что если выполнено условие (2.9), то ρ(S) < 1, где S — матрица, определенная равенством (2.7). Вследствие теоремы 2 отсюда будет вытекать сходимость итерационного метода (2.3). Пусть λ, x — собственная пара матрицы S. Тогда Bx − τAx = λBx, поэтому

где a = τ(Ax, x)/(B1x, x), b = (B2x, x)/(B1x, x). Из условия (2.9) получаем, что 0 < a < 2, поэтому |1 −a| < 1, откуда, очевидно, вытека-

ет, что |λ| < 1. Для доказательства второй части теоремы достаточно заметить, что если итерационный процесс (2.3) сходится при любом начальном приближении, то по теореме 2 все собственные числа матрицы S по модулю строго меньше единицы, и тогда из представления (2.11) получаем, что 0 < a < 2, следовательно, условие (2.9) выполнено.

4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для погрешностей итерационного процесса (2.3) при любом k > 0 выполнено неравенство

если zk ≠ 0.

Доказательство. Используя тривиальное тождество zk = (1/2)(zk+1 + zk) − (1/2)(zk+1 − zk),

перепишем уравнение (2.6) в виде

τ1(B − (τ/2)A)(zk+1 − zk) + (1/2)A(zk+1 + zk) = 0.

Умножая теперь скалярно обе части последнего равенства на вектор 2(zk+1−zk) и используя представление (2.10), после элементарных преобразований получим

τ2((B1 − (τ/2)A)(zk+1 − zk), zk+1 − zk)+

+iτ2(B2(zk+1 − zk), zk+1 − zk)+

+(Azk+1, zk+1) − (Azk, zk) + i Im(Azk, zk+1) = 0,

поэтому

τ2((B1 − (τ/2)A)(zk+1 − zk), zk+1 − zk)+

+ (Azk+1, zk+1) − (Azk, zk) = 0. (2.13)

Если zk ≠ 0, то вследствие невырожденности оператора B из (2.6)

вытекает, что zk+1 − zk ≠ 0. Тогда на основании условия (2.9) из равенства (2.13) получаем, что (Azk+1, zk+1) − (Azk, zk) < 0.

5.Если матрица A положительно определена, то уравнение (1.1),

с.303, эквивалентно задаче минимизации функции (функционала)

Действительно, пусть xˆ — решение уравнения (1.1), с. 303. Тогда

F (x) = (Ax, x) − 2 Re(x, Axˆ) =

1)Функционал F часто называют энергетическим. Это связано с задачами физики, в которых возникают уравнения с положительно определенными матрицами.