A_G_2014

т. е. в переменных t1, t2, t3 квадратичная форма принимает канонический вид. Очевидно, каждое из выполненных нами преобразований переменных имеет невырожденную матрицу. Результирующее преобразование переменных, как нетрудно проверить, имеет вид

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что матрица преобразования переменных (1.12) невырождена, и эта замена переменных приводит квадратичную форму (1.10) к каноническому виду (1.11).

§ 2. Закон инерции квадратичных форм

Среди коэффициентов bii канонического вида (1.3) квадратичной формы (1.1) могут быть положительные, отрицательные числа, а также — нули. Нумеруя соответствующим образом переменные, запишем (1.3) так:

Считаем при этом, что числа bii положительны при i = 1, 2, . . . , n+ и отрицательны при i = n+ + 1, . . . , n+ + n−.

Как мы уже убедились, приведение квадратичной формы к каноническому виду может быть выполнено различными способами. Поэтому естественно поставить вопрос: зависят ли числа n+, n− от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду?

При исследовании этого вопроса будут использованы следующие определения.

Симметричные матрицы A и B называют конгруэнтными, если существует невырожденная матрица C такая, что B = CT AC.

С каждой симметричной матрицей A свяжем три целых числа: n0(A) — количество нулевых характеристических чисел матрицы A, n+(A) — количество положительных характеристических чисел, n−(A) — количество отрицательных характеристических чисел (характеристические числа подсчитываются с учетом их кратности). Тройка чисел n0(A), n+(A), n−(A) называется инерцией матрицы A, или инерцией соответствующей ей квадратичной формы.

1. Теорема. Для того, чтобы матрицы A и B были конгруэнтными, необходимо и достаточно, чтобы их инерции совпадали.

Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь. Как было показано выше, для всякой симметричной матрицы A можно указать ортогональную матрицу Q такую, что

где λ1, λ2, . . . , λn — собственные числа матрицы A. Заметим, что

Эти преобразования можно трактовать как невырожденную замену

√

переменных: ti = |λi|yi, если λi ≠ 0, и ti = yi, если λi = 0.

Таким образом, установлено, что всякая симметричная матрица A конгруэнтна диагональной матрице, у которой на диагонали n+(A) единиц, n−(A) минус единиц, остальные элементы главной диагонали — нули. Если симметричная матрица B имеет инерцию, равную инерции матрицы A, то она конгруэнтна точно такой же диагональной матрице. Отношение конгруэнтности, как нетрудно убедиться, транзитивно, следовательно, матрицы A и B конгруэнтны.

Н е о б х о д и м о с т ь. Заметим, прежде всего, что у конгруэнтных матриц ранги, очевидно, совпадают. Кроме того, для любой симметричной матрицы A справедливо равенство rank(A) = n+(A) + n−(A). Действительно, всякая симметричная матрица A подобна диагональной матрице, у которой по диагонали расположены все собственные числа матрицы A. Из этих рассуждений вытекает, что если матрицы A и B конгруэнтны, то n+(A) + n−(A) = n+(B) + n−(B).

Таким образом, для завершения доказательства теоремы достаточно установить, что если матрицы A, B конгруэнтны, то

тонормированные собственные векторы матрицы A. По предположению теоремы B = CT AC, где C — невырожденная матрица, или A = DT BD, где D = C−1. Поскольку матрица D невырождена, векторы Den−n++1, . . . , Den линейно независимы, и подпространство Sn+ , натянутое на эти векторы, имеет размерность n+.

Заметим теперь, что (y, y) = (Cx, Cx) = (CT Cx, x). Матрица C невырождена, поэтому матрица CT C положительно определена (см. упражнение 1 на с. 224), следовательно,

поэтому, применяя теорему 2.3, с. 231, получим, что λn−nn+ +1(B) > 0. Это означает, что у матрицы B не меньше чем n+ положительных характеристических чисел, иначе говоря, n+(B) > n+(A). В выполненных рассуждениях матрицы A и B можно поменять местами. Таким образом, n+(A) = n+(B).

2. Следствие (закон инерции квадратичных форм). Количества положительных и отрицательных слагаемых в (2.1) не зависят от способа приведения невырожденным линейным преобразованием переменных квадратичной формы (1.1) к каноническому виду.

Доказательство. Коэффициенты bii в (2.1) — это характеристические числа диагональной матрицы B = QT AQ, конгруэнтной

матрице A, поэтому количества положительных и отрицательных слагаемых в (2.1) определяются инерцией матрицы A и не зависят от способа приведения невырожденным линейным преобразованием переменных квадратичной формы (1.1), 1, к каноническому виду.

§3. Положительно определенные квадратичные формы

1.Квадратичная форма (1.1) называется положительно определенной, если соответствующая ей матрица A положительно определена, т. е.

Как известно (см. п. 3, с. 232), для того, чтобы матрица A была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были положительны.

Полезный признак положительной определенности квадратичной формы дает

1.1. Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма (1.1), с. 258, была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были положительны.

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Фиксируем некоторое целое k, 1 6 k 6 n. Выберем в качестве вектора x в (3.1) вектор

вида x = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) = (y, 0, . . . , 0), где y можно считать произвольным вектором пространства Rk. Тогда (Ax, x) = (Aky, y),

где Ak — матрица, соответствующая главному минору порядка k матрицы A. Из условия (3.1), очевидно, вытекает, что (Aky, y) > 0 для любого ненулевого вектора y из Rk, т. е. матрица Ak положительно определена, следовательно, ее определитель (главный минор порядка k матрицы A) положителен (см. упражнение 1 на с. 232).

Д о с т а т о ч н о с т ь. Покажем, что если все главные миноры матрицы A положительны, то положительны все ее собственные числа. Тогда положительная определенность матрицы A будет установлена. На самом деле, мы докажем большее, мы покажем, что собственные числа всех главных миноров матрицы A положительны. Для минора первого порядка, т. е. для a11, это выполняется тривиальным образом. Предположим, что у матрицы Ak, соответствующей главному минору порядка k, все собственные числа λ1 6 · · · 6 λk положительны и покажем, что тогда и у матрицы Ak+1 все собственные

иλ1 > 0.

1.2.Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду.

Упражнение. Пусть (Ax, x) — произвольная квадратичная форма, (Bx, x) — положительно определенная квадратичная форма. Показать, что существует невырожденное преобразование переменных y = T x, которое одновременно приводит эти квадратичные формы к каноническому виду, а именно

Указание. Используйте результаты упражнения 3, с. 255.

§4. Квадратичная функция и ее инварианты

1.Пусть A — вещественная квадратная матица порядка n, a —

заданный фиксированный вектор пространства Rn, a0 — вещественное число. Определенная на пространстве Rn вещественная функция вида

называется квадратичной. Множитель два перед вторым слагаемым поставлен ради удобства записи формул в дальнейшем. Не ограничивая общности (см. п. 1, с. 258), можно считать, что матрица A симметрична.

Понятно, что теория квадратичных функций может строиться как некоторое обобщение теории квадратичных форм.

Свяжем с каждой квадратичной функцией F симметричную мат-

Здесь a трактуется как вектор столбец.

2. Выполним так называемое аффинное преобразование переменных, т. е. положим

где x0 — фиксированный вектор пространства Rn, T — невырожден-

ная матрица. Иногда замену переменных (4.3) удобнее записывать в виде x = T (ˆx0 + y), где xˆ0 = T −1x0.

Выполняя элементарные преобразования, нетрудно получить, что

порядка n + 1. Здесь 0 — вектор столбец длины n, I — единичная

ˆ

Из соотношений (4.5), (4.8) вытекает, что матрицы A и A, B и

ˆ

B, соответственно, конгруэнтны, поэтому их инерции совпадают (см. теорему 1, с. 262). Можно сказать, таким образом, что инерции матриц A, B являются аффинными инвариантами квадратичной функции.

3.Будем считать теперь, что матрица T ортогональна, т. е.

T T = T −1. Тогда матрица Q, очевидно, также ортогональна. Из (4.5)

ˆ

в этом случае вытекает, что матрицы A и A подобны, следовательно, их собственные числа совпадают. Из (4.8), очевидно, вытекает,

ˆ

что det(B) = det(B).

Таким образом, собственные числа матрицы A, инерция, а следовательно, и ранг матрицы B, а также определитель матрицы B могут быть названы ортогональными инвариантами квадратичной функции (4.1). Они не меняются при любом преобразовании переменных (4.3) с ортогональной матрицей T .

§5. Приведенная форма квадратичной функции

1.Покажем, что, выбирая в (4.3) соответствующим образом ортогональную матрицу T и вектор x0, любую квадратичную функцию можно преобразовать к простейшему так называемому приведенному виду.

Матрица A симметрична, поэтому существует ортонормированный базис e1, e2, . . . , en пространства Rn, составленный из собствен-

ных векторов матрицы A. Обозначим через λ1, λ2, . . . , λn соответствующие им собственные числа матрицы A.

Будем считать что первые r собственных чисел матрицы A отличны от нуля, остальные — нули.

Обозначим через T ортогональную матрицу, столбцы которой образованы векторами e1, e2, . . . , en. Отметим, что последние n − r столбцов матрицы T принадлежат ядру матрицы A.

Выполним замену переменных в функции (4.1), полагая

В соответствии с формулами (4.4)–(4.6) (см. также упражнение 2 на с. 255) получим

F (T u) = λ1u21 + λ2u22 + · · · + λru2r + 2(ˆa1u1 + aˆ2u2 + · · · + aˆrur)+

Пусть теперь b ≠ 0. Следуя построениям п. 2.1, с. 257, сконструируем симметричную ортогональную матрицу R порядка n − r (матрицу отражения) такую, что Rb = |b|(1, 0, . . . , 0). Выполним в (5.3)

e

тогональных матриц. Нетрудно убедиться также, что первые r столб-

e

цов матрицы T совпадают с соответствующими столбцами матри-

e

цы T , а последние n − r столбцов матрицы T являются линейными комбинациями последних n − r столбцов матрицы матрицы T и потому принадлежат ядру матрицы A.

2. Таким образом, доказано, что для любой квадратичной функции вида (4.1) найдутся матрица T , столбцы которой есть векторы ортонормированного базиса пространства Rn, образованного собственными векторами матрицы A, и вектор x0 такие, что либо

Здесь λ1, λ2, . . . , λr — все ненулевые собственные числа матрицы A, br+1 > 0. Представления (5.16), (5.17) называются приведенными формами квадратичной функции.

Ранг матрицы B (см. (4.2)), соответствующей квадратичной функции (5.16), очевидно, равен r, если aˆ0 = 0, и равен r + 1, если aˆ0 ≠ 0. Ранг матрицы B, соответствующей квадратичной функции (5.17), равен r + 2 (докажите!).

Собственные числа матрицы A и ранг матрицы B инвариантны по отношению к замене переменных (4.3) с любой ортогональной матрицей T и любым вектором x0. Поэтому любой квадратичной функции однозначно соответствует либо приведенная форма вида (5.16), либо приведенная форма вида (5.17).

3. В этом пункте будет показано, что коэффициенты приведенной формы квадратичной функции F однозначно определяются по элементам матрицы B (см. (4.2)). Они не зависят от выбора вектора x0 и ортогональной матрицы T в преобразовании переменных (4.3), дающем приведенную форму квадратичной функции.

Нам потребуются в дальнейшем некоторые вспомогательные результаты.

3.1. Лемма. Пусть

()

где A = diag(a11, a22, . . . , ann) — диагональная матрица порядка n, a = (a1, a2, . . . , an) — вектор столбец. Предполагается, что лишь

элементы a11, a22, . . . ,arr, r 6 n − 1, матрицы A отличны от нуля. Тогда

1)Напомним, что Ik(B), k = 1, 2, . . . , n, — инвариант матрицы B, определяемый по ее элементам при помощи формулы вида (7.5), с. 192.

270 Глава 14. Квадратичные формы и квадратичные функции

Доказательство. Нетрудно убедиться, что среди диагональных миноров порядка r + 2 матрицы B лишь миноры вида

m = r + 1, r + 2, . . . , n, отличны от нуля. Все остальные диагональные миноры порядка r + 2 содержат хотя бы одну нулевую строку (и столбец). Используя формулу (11.11), с. 111, нетрудно получить, что

∆r,m = −a11a22 · · · arra2m. Суммируя теперь все миноры вида (5.20), приходим к (5.19).

3.2. Лемма. Пусть выполнены условия леммы 3.1,

где матрица D11 определена равенством (5.21), d = (a1, a2, . . . , ar) — вектор столбец.

Доказательство. Вследствие условия (5.22) все миноры порядка r + 2 матрицы B равны нулю. Поэтому Ir+2(B) = 0, откуда вследствие (5.19) вытекает, что ar+1, ar+2, . . . , an=0. Тогда, как нетрудно убедится, все диагональные миноры порядка r + 1 матрицы B, кроме минора вида (5.23), содержат хотя бы одну нулевую строку.

3.3. Лемма. Пусть выполнены условия леммы 3.1, матрица U