A_G_2014

Вследствие (5.19), (5.26) справедливо равенство Ir+2(BU) = Ir+2(B). Точно так же проверяется, что умножение матрицы вида BU слева на матрицу UT не меняет инварианта Ir+2(BU). Отсюда, очевидно, вытекает равенство (5.24). Второе утверждение леммы с использованием соотношений (5.25)–(5.27) доказывается аналогично. При этом надо учесть, что определитель (5.23) не меняется при переходе от

e

матрицы B к матрице B.

3.4. Теорема. Пусть ранг матрицы A квадратичной функции F равен r, ранг матрицы B не превосходит r + 1. Пусть при помощи замены переменных x = x0 + T y с ортогональной матрицей T квадратичная функция F приведена к виду

Тогда: 1) m = r, αi = λi, где λi, i = 1, 2, . . . , r, — все ненулевые собственные числа матрицы A; 2) справедливо равенство

Доказательство. Используем формулы (4.4)–(4.8), связывающие исходную и приведенную формы квадратичной функции. В рас-

T ˆ

сматриваемом случае T AT = A = diag(α1, α2, . . . , αm). Поскольку

ˆ

матрица T ортогональна, то матрицы A, A подобны, откуда вытекает справедливость утверждения 1). Используем теперь тот факт, что, в рассматриваемом случае aˆ = 0. Поэтому по лемме 3.2 полу-

3.5. Теорема. Пусть ранг матрицы A квадратичной функции F равен r, r 6 n − 1, ранг матрицы B равен r + 2. Пусть при помощи замены переменных x = x0 + T y с ортогональной матрицей T квадратичная функция F приведена к виду

Тогда: 1) m = r, αi = λi, где λi, i = 1, 2, . . . , r, — все ненулевые собственные числа матрицы A; 2) выполнено равенство

Доказательство. Справедливость утверждения 1) обосновывается точно так же, как и при доказательстве теоремы 3.4. В рассматриваемом случае лишь одна компонента вектора aˆ отлична от

же лемму 3.3.

правая, т. е. поворот от оси x1 к оси x2 — поворот против часовой стрелки (см. п. 2, с. 253), и последующий перенос начала системы координат в точку x0.

Выполним сначала поворот координатных осей, т. е. замену переменных

где aˆ = T T a.

Построим ортогональное преобразование T так, чтобы матрица T T AT приняла диагональный вид (см. упражнение 2 на с. 255). С этой целью решим характеристическое уравнение

|A − λI| = 0.

Корни его легко выписываются в явном виде:

(здесь aˆ1 = a1, aˆ2 = a2).

Будем считать, что φ1, φ2 (−π/2, π/2). Причем, поскольку собственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным собственным числам ортогональны (см. теорему 8, с. 227), то обязательно

φ1 − φ2 = ±π/2.

В соответствии со знаком a12 занумеруем собственные числа (и соответствующие им углы) так, чтобы tg φ1 6 tg φ2, т. е.

φ2 = φ1 + π/2.

Используя общие построения (см. упражнение 2 на с. 255), мат-

иуравнение (1.7) вновь принимает вид (1.9).

3.Дальнейшие упрощения уравнения (1.3) используют перенос начала системы координат. Будем различать два случая: det(A) ≠ 0

иdet(A) = 0.

3.1.Предположим сначала, что det(A) ≠ 0. Это условие эквива-

лентно тому, что λ1, λ2 ≠ 0. При выполнении этого условия, выделяя полные квадраты, т. е. полагая y = xˆ0 + z, где xˆ01 = aˆ1/λ1, xˆ02 = aˆ2/λ2,

уравнение (1.9) можно записать в виде

Здесь aˆ0 = a0 − aˆ21/λ1 − aˆ22/λ2.

3.2. Пусть теперь det(A) = 0. Напомним, что мы считаем, что A ≠ 0. Понятно, что в этом случае либо λ1 = 0, либо λ2 = 0. Одновременно λ1 и λ2 не могут равняться нулю (почему?). Предположим для определенности, что λ1 ≠ 0. Тогда уравнение (1.9) можно представить в виде

Здесь опять надо различать два случая.

1) Если aˆ2 = 0, положим y = xˆ0 + z, где xˆ01 = aˆ1/λ1, xˆ02 = 0. Такая замена переменных приведет уравнение (1.15) к виду

и положим y = xˆ0 +z, xˆ01 = aˆ1/λ1, xˆ02 = aˆ0/2ˆa2. Тогда уравнение (1.15) примет вид

4. Таким образом, полагая, что z в (1.6) равно −xˆ0 + y, где в зависимости от свойств собственных чисел матрицы A вектор xˆ0 выбирается по одной из выше приведенных формул, а T — матрица вида (1.5) такова, что выполнено (1.13), получим, что общее уравнение (1.1) кривой второго порядка при помощи замены переменных x = x0 + T y, где x0 = −T xˆ0, можно преобразовать к одной из следующих форм:

Важно подчеркнуть, что угол φ и вектор x0 определяются по коэффициентам уравнения (1.1) при помощи простых явных формул. В соответствии с общей теорией квадратичных функций каждое уравнение (1.1) при помощи преобразования вида (1.4) может быть однозначно приведено лишь к одной из форм (1.20)–(1.24).

5. Из общих результатов, полученных при изучении квадратичных функций, следует, что коэффициенты уравнений (1.20)–(1.24) однозначно определяются при помощи простых формул по коэфффициентам уравнения (1.1), так что построение преобразования (1.4), фактически, требуется лишь для того, чтобы установить, как располагается исследуемая кривая по отношению к исходной декартовой системе координат.

Наряду с матрицей A, определяемой соотношением (1.2), введем в рассмотрение матрицу

соответствующую квадратичной функции, определяемой левой частью уравнения (1.1), и выпишем выражения для коэффициентов

уравнений (1.20)–(1.24) (см. теоремы 3.4, 3.5, с. 271):

√

aˆ0 = I3(B)/I2(A), aˆ1 = aˆ2 = −I3(B)/I1(A), aˆ01 = I2(B)/I1(A).

По сравнению с (7.5), с. 192, в выражении I2(B) на одно слагаемое меньше, поскольку в рассматриваемом случае det A = 0.

§ 2. Геометрические свойства кривых второго порядка

Опираясь на уравнения (1.20) – (1.24), исследуем геометрические свойства кривых второго порядка.

Для упрощения записей в дальнейшем изменим очевидным образом обозначения декартовых координат и коэффициентов уравнений. В результате получим, что нам предстоит исследовать три различных типа уравнений

278 Глава 15. Кривые второго порядка

1. Начнем с уравнения (2.3). Возможны три случая: d = 0, кри-

удовлетворяющих уравнению (2.3), пусто, говорят, что в этом случае кривая распадается на две мнимые параллельные прямые.

2. Исследуем уравнение (2.1). Здесь нужно различать такие случаи:

1)знаки собственных чисел λ1, λ2 матрицы A совпадают, при этом, не ограничивая общности, можно считать, что λ1, λ2 > 0;

2)знаки собственных чисел λ1, λ2 различны.

Кривые, соответствующие первому случаю, называют эллипсами. Здесь опять нужно различать три случая: d = 0, кривая вырождается в точку, совпадающую с началом координат; d > 0, уравнение определят так называемый мнимый эллипс; d < 0, в этом случае уравнение (2.1) запишем в виде

Кривую, описываемую уравнением (2.4), называют эллипсом. Кривые, соответствующие случаю, когда λ1, λ2 имеют различные

знаки, называют гиперболами. Будем для определенности считать, что λ1 > 0, λ2 < 0 и рассмотрим три случая. Если d = 0, то уравнение (2.1) можно записать в виде

√√

λ1x = ± −λ2y,

т. е. в данном случае кривая распадается на две прямые, пересекающиеся в начале координат. Случаи d < 0, d > 0, фактически, можно не различать, так как они сводятся один к другому за счет переименования осей координат.

Будем для определенности считать, что d < 0. Тогда уравнение (2.1) можно записать в виде

Кривую, описываемую уравнением (2.5), называют гиперболой.

3. Опишем геометрические свойства эллипса (см. рис. 1). Непосредственно из уравнения (2.4) вытекает, что для всех точек эллипса справедливы неравенства: |x| 6 a, |y| 6 b, т. е. эллипс — ограниченная кривая, расположенная в соответствующем прямоугольнике.

Рис. 1. К описанию геометрических свойств эллипса

Точками пересечения этой кривой с осями координат являются точки (±a, 0), (0, ±b). Они называются вершинами эллипса. Оси координат — оси симметрии эллипса, так как если точка (x, y) принадлежит эллипсу, то точки (−x, y), (x, −y) также лежат на эллипсе. Начало координат — центр симметрии эллипса, так как, если точка (x, y) принадлежит эллипсу, то и точка (−x, −y) лежит на эллипсе.

Числа a, b называют длинами полуосей эллипса. Будем для опре-

деленности считать, что a > b. Понятно, что при a = b эллипс пре-

√

вращается в окружность (радиуса a). Положим c = a2 − b2. Величи-

√

на e = c/a = 1 − b2/a2 [0, 1) характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой полуоси и называется эксцентриситетом эллипса.

Точки (−c, 0), (c, 0) называются фокусами эллипса. Пусть (x, y) — произвольная точка эллипса. Тогда, как ниже будет показано,

Равенство (2.6) означает, что сумма расстояний от точки эллипса до фокусов одна и та же для всех точек эллипса (см. рис. 2). Это свойство эллипса можно принять за его определение, так как, исходя из (2.6), очевидно, можно получить уравнение эллипса.

Докажем справедливость равенства (2.6) для точек, принадлежащих эллипсу. Используя равенства c2 = a2 − b2, y2 = b2 − b2x2/a2, можем написать

(x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + a2 − b2 + b2 − b2x2/a2 =

Рис. 2. К определению эллипса и гиперболы

=x2(1 − b2/a2) + 2cx + a2 = x2c2/a2 + 2cx + a2 =

=(xc/a + a)2. (2.7)

Точно так же

(x − c)2 + y2 = (−xc/a + a)2.

Заметим, что c < a. Учтем также, что |x| 6 a для любой точки эллипса. Поэтому справедливы неравенства

откуда непосредственно вытекает (2.6).

4. Опишем геометрические свойства гиперболы (см. рис. 3). Из уравнения (2.5) непосредственно вытекает, что если точка (x, y) лежит на гиперболе, то x2 > a2, y2 6 b2x2/x2, т. е. кривая, описываемая уравнением (2.5), лежит вне полосы |x| < a и внутри соответствующих (вертикальных) углов, образованных прямыми y = ±(b/a)x.

Как и в случае эллипса, проверяется, что кривая симметрична относительно осей координат. Начало координат — центр симметрии кривой. Точки (−a, 0), (a, 0) пересечения с осью x называются вершинами гиперболы.

Прямые y = ±(b/a)x — асимптоты соответствующих ветвей гиперболы (рис. 3). Покажем это применительно к ветви, определяемой

и прямой y = (b/a)x. Для остальных ветвей выкладки полностью аналогичны. В соответствии с определением асимптоты (см. курс математического анализа) достаточно проверить справедливость следующих равенств: