10

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Определение. Рассмотрим следующую процедуру для дерева

G= (V ; E):

1.G1 = G.

2.Пусть дано дерево Gi = (Vi ; Ei ); i = 1::n 2. Выберем наименьшую вершину Ai 2 Vi степени 1. Пусть a 2 Ei единственное ребро, соединяющее Ai с некоторой вершиной Bi .

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Определение. Рассмотрим следующую процедуру для дерева

G= (V ; E):

1.G1 = G.

2.Пусть дано дерево Gi = (Vi ; Ei ); i = 1::n 2. Выберем наименьшую вершину Ai 2 Vi степени 1. Пусть a 2 Ei единственное ребро, соединяющее Ai с некоторой вершиной Bi . Определяем дерево

Gi+1 = (Vi+1; Ei+1); Vi+1 = Vi n fAi g; Ei+1 = Ei n fai g:

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Определение. Рассмотрим следующую процедуру для дерева

G= (V ; E):

1.G1 = G.

2.Пусть дано дерево Gi = (Vi ; Ei ); i = 1::n 2. Выберем наименьшую вершину Ai 2 Vi степени 1. Пусть a 2 Ei единственное ребро, соединяющее Ai с некоторой вершиной Bi . Определяем дерево

Gi+1 = (Vi+1; Ei+1); Vi+1 = Vi n fAi g; Ei+1 = Ei n fai g:

Последовательность

B1; B2; : : : Bn 2

называется кодом Прюфера дерева G.

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема. (Кэли). Каждая последовательность

B1; B2; : : : ; Bn 2; где Bi = 1::n, является кодом Прюфера в точности одного дерева с вершинами f1; : : : ; ng.

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема. (Кэли). Каждая последовательность

B1; B2; : : : ; Bn 2; где Bi = 1::n, является кодом Прюфера в точности одного дерева с вершинами f1; : : : ; ng. Доказательство. Если c является кодом Прюфера некоторого дерева G с вершинами f1 : : : ng; то дерево состоит из ребер fAi ; Bi g, i = 1::n 1; где

1. A1 наименьшее число, отличное от B1; B2; : : : ; Bn 2;

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема. (Кэли). Каждая последовательность

B1; B2; : : : ; Bn 2; где Bi = 1::n, является кодом Прюфера в точности одного дерева с вершинами f1; : : : ; ng. Доказательство. Если c является кодом Прюфера некоторого дерева G с вершинами f1 : : : ng; то дерево состоит из ребер fAi ; Bi g, i = 1::n 1; где

1.A1 наименьшее число, отличное от B1; B2; : : : ; Bn 2;

2.Ai , i = 2::n 2; наименьшее число, отличное от

A1; : : : Ai 1; Bi ; : : : ; Bn 2;

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема. (Кэли). Каждая последовательность

B1; B2; : : : ; Bn 2; где Bi = 1::n, является кодом Прюфера в точности одного дерева с вершинами f1; : : : ; ng. Доказательство. Если c является кодом Прюфера некоторого дерева G с вершинами f1 : : : ng; то дерево состоит из ребер fAi ; Bi g, i = 1::n 1; где

1.A1 наименьшее число, отличное от B1; B2; : : : ; Bn 2;

2.Ai , i = 2::n 2; наименьшее число, отличное от

A1; : : : Ai 1; Bi ; : : : ; Bn 2;

3.An 1 наименьшее число, отличное от A1; : : : An 2;