10

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема. (Кэли). Каждая последовательность

B1; B2; : : : ; Bn 2; где Bi = 1::n, является кодом Прюфера в точности одного дерева с вершинами f1; : : : ; ng. Доказательство. Если c является кодом Прюфера некоторого дерева G с вершинами f1 : : : ng; то дерево состоит из ребер fAi ; Bi g, i = 1::n 1; где

1.A1 наименьшее число, отличное от B1; B2; : : : ; Bn 2;

2.Ai , i = 2::n 2; наименьшее число, отличное от

A1; : : : Ai 1; Bi ; : : : ; Bn 2;

3.An 1 наименьшее число, отличное от A1; : : : An 2;

4.Bn 1 наименьшее число, отличное от A1; : : : An 1.