10

Деревья

Висячие вершины в дереве

Следствие. В каждом дереве с n 2 вершинами существуют по крайней мере две вершины степени 1.

Доказательство. Пусть A1; A2; : : : ; An вершины дерева. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An:

Так как граф связен, имеем deg Ai 1 для всех i.

Деревья

Висячие вершины в дереве

Следствие. В каждом дереве с n 2 вершинами существуют по крайней мере две вершины степени 1.

Доказательство. Пусть A1; A2; : : : ; An вершины дерева. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An:

Так как граф связен, имеем deg Ai 1 для всех i. Предположим, что для n 1 вершин выполняется deg Ai 2.

Деревья

Висячие вершины в дереве

Следствие. В каждом дереве с n 2 вершинами существуют по крайней мере две вершины степени 1.

Доказательство. Пусть A1; A2; : : : ; An вершины дерева. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An:

Так как граф связен, имеем deg Ai 1 для всех i. Предположим, что для n 1 вершин выполняется deg Ai 2. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An 1 + 2(n 1);

что невозможно.

Деревья

Висячие вершины в дереве

Следствие. В каждом дереве с n 2 вершинами существуют по крайней мере две вершины степени 1.

Доказательство. Пусть A1; A2; : : : ; An вершины дерева. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An:

Так как граф связен, имеем deg Ai 1 для всех i. Предположим, что для n 1 вершин выполняется deg Ai 2. Тогда

2(n 1) = deg A1 + deg A2 + + deg An 1 + 2(n 1);

что невозможно. Значит вершин с deg Ai 2 не более n 2.

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Определение. Рассмотрим следующую процедуру для дерева

G= (V ; E):

1.G1 = G.

2.Пусть дано дерево Gi = (Vi ; Ei ); i = 1::n 2.

Деревья

Количество деревьев с n вершинами

Теорема (Кэли). Имеется ровно nn 2 деревьев с множеством вершин V = f1; 2; : : : ; ng:

Определение. Рассмотрим следующую процедуру для дерева

G= (V ; E):

1.G1 = G.

2.Пусть дано дерево Gi = (Vi ; Ei ); i = 1::n 2. Выберем наименьшую вершину Ai 2 Vi степени 1.