19 7_1_Лемма о подъеме

&, , , , , , , , θ , σ, τ, α, β, γ , є, U, □

Лемма (о подъеме). 

Если D₁^/ – пример дизъюнкта D₁, 

D₂^/ – пример дизъюнкта D₂ и

D^/ – резольвента D₁^/ и D₂^/,

то существует резольвента D дизъюнктов D₁ и D₂ ,

такая что D^/ – пример D.

Доказательство. Если D₁ и D₂ имеют общие переменные, то заменой переменных в одном из дизъюнктов можно добиться того, что переменные дизъюнкта D₁ отличны от переменных дизъюнкта D₂. Будем поэтому считать, что D₁ и D₂ не имеют общих переменных.

Так как D₁^/ – пример D₁ и D₂^/ – пример D₂, то существуют подстановки α₁ и α₂ такие, что D₁^/=(D₁)α₁ и D₂^/=(D₂)α₂. Последовательность  α =(α₁,α₂) также будет подстановкой и поскольку  D₁ и D₂ не имеют общих переменных, то D₁^/= (D₁)α и D₂^/= (D₂)α.

Дизъюнкт D^/ является резольвентой дизъюнктов D₁^/ и D₂^/. Это означает, что существуют литералы L₁^/єD₁^/ и L₂^/єD₂^/ и подстановка τ такие, что τ - наиболее общий унификатор L₁^/ и L₂^/ и

D^/=((D₁^/)τ -(L₁^/)τ) U ((D₂^/)τ -(L₂^/)τ)                   (1)

Пусть L₁¹,…,L₁^r – литералы дизъюнкта D₁, которые подстановкой α переводятся L₁^/, а L₂¹,…,L₂^s – литералы дизъюнкта D₂, которые подстановкой α переводятся в L₂^/. Следовательно, литералы L₁¹,…,L₁^r, унифицируемы, а поэтому существует наиболее общий унификатор β₁ для этого множества. Дизъюнкт  (L₁¹)β₁ (равный  (L₁²)β₁,…, (L₁^r)β₁) обозначим через L₁. По определению наиболее общего унификатора найдется подстановка γ₁,  для которой выполняется равенство α₁= β₁ ◦ γ₁ .

По аналогичным соображениям, существуют подстановки β₂ и γ₂ такие, что β₂ – наиболее общий унификатор множества литералов L₂¹,…,L₂^s и α₂= β ₂◦ γ₂. Литерал  (L₂¹) β₂ обозначим через L₂.

Легко видеть, что L₁ и L₂ не имеют общих переменных. Поскольку дизъюнкты D₁ и D₂ также не имеют общих переменных, то можно считать, что  (β₁, β₂)= β,  (γ₁, γ₂)= γ и  α= β ◦ γ. Сказанное в этом абзаце иллюстрируется рисунками 4.1 и 4.2.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Литералы L₁′ и L₂′, как отмечено выше, унифицируемы подстановкой τ. Следовательно, литералы L₁ и L₂ также унифицируемы (подстановкой  γ◦τ). Отсюда следует, что существует наиболее общий унификатор σ множества {L₁ , L₂} (см.рис.4.3). Возьмем в качестве D дизъюнкт

D=[ ( (D₁) β) σ – (L₁)σ] U [( (D₂) β) σ – (L₂)σ]                      (2)

Ясно, что D – резольвента дизъюнктов D₁ и D₂.

Осталось показать. Что D′ –пример D.

Рис. 4.3

Так как  σ – наиболее общий унификатор L₁ и L₂, то существует подстановка δ такая, что γ◦τ =σ◦δ. В таком случае из последнего равенства, равенств (1), (2) и  α= β ◦ γ следует, что

D′=((D₁′)τ – (L₁′)τ) U ((D₂′)τ –(L₂′)τ)=

[((D₁) α) τ –((L₁¹) α) τ] U [((D₂) α) τ –((L₂¹) α) τ] =

[(D₁) α◦τ –(L₁¹) α◦τ] U [(D₂) α◦τ –(L₂¹) α◦τ]=

[(D₁) β ◦ γ ◦ τ –(L₁¹) β ◦ γ ◦τ] U [(D₂) β ◦ γ ◦τ –(L₂¹) β ◦ γ ◦τ]=

[(D₁) β ◦ σ ◦ δ – (L₁¹) β ◦ σ ◦ δ] U [(D₂) β ◦ σ ◦ δ – (L₂¹) β ◦ σ ◦ δ ]=

[(D₁) β ◦ σ – (L₁) σ] δ U [(D₂) β ◦ σ – (L₂) σ] δ =

(D) δ.

Мы доказали, что D′ – пример D.

Лемма доказана.