3 семестр_1 / Семестр_3_Лекция_07

Константа в вакууме имеет вид k =

µ0

, где µ

= 4π 10−7

Гн/м (Генри/метр) – магнитная

0

2π

постоянная.

Замечание. Полезное соотношение

1

= c2 , где c ≈ 3 108 - скорость света в вакууме.

ε0µ0

µ

0

I (dl × r )

dB =

.

4π

r3

µ0 Idl

Величина вектора

dB = 4π r 2

sin α . Здесь dl

- касательный вектор к линии тока, направленный

dl

α

r

α

dB

в положительном направлении для тока, (dl – длина малого проводника), I – сила тока в про-

воднике, r - вектор, проведенный от малого проводника в точку, где ищется вектор индукции

магнитного поля, α - угол между векторами dl

и r . Векторы (dl ,r

,dB ) образуют правую

тройку векторов.

Семестр 3. Лекция 7.

1) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которому

течет постоянный ток силой I.

Найдем величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на рас-

стоянии R от провода. Применим принцип суперпозиции

B = ∑dB

,

dl

dl

µ

I

(dl × r )

где dB =

0

- вектор магнитной индукции, создаваемый элементом dl .

r 3

dl

4π

Векторы dB от всех dl

в выбранной точке направлены одинаково

(перпендикулярно плоскости, образованной векторами (dl ,r )), по-

+I

этому можно перейти от векторной суммы к сумме величин

dB

B = ∑dB

, где dB

=

µ0

Idl sin α

R

2

0

dl

dl

4π

r

dl

x

α

Ведём координату х, отсчитываемую от точки пересечения провода

r

и перпендикулярного отрезка к проводу, восстановленного из точ-

dx

dl

ки наблюдения. Тогда r =

x2 + R2 , r sin α = R , dx = dl , поэтому

+∞

µ

IRdx

µ

IR

+∞

dx

B = ∫

0

3

=

0

∫

(R

2 + x2 )

3 2 .

−∞

4π r

4π

−∞

+∞

dx

2

Но ∫

3

=

R

2 (см. лекцию № 1).

−∞ (R2 + x2 )2

Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого, длинно-

го прямого провода с постоянным током, определяется

соотношением

B =

µ0 I

2πR

B

Силовые линии магнитного поля, создаваемого током в

B

I

бесконечно длинном прямом проводнике, представля-

ют собой окружности, лежащие в плоскости, перпен-

дикулярной проводу, и с центром на оси провода. На-

правление вектора B определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если обхва-

тить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальные

пальцы покажут направление «закрученности» В.)

Семестр 3. Лекция 7.

2) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током на оси

контура.

По контуру течёт ток силой I, радиус контура

dl1

R. Найдём величину индукции магнитного поля в

α

r1

dB1

точке, находящейся на расстоянии x от плоскости

R

контура вдоль оси.

α

Любые два элемента dl1 и dl2 , расположенные

x

dB1+dB2

I

симметрично относительно центра контура, создают

r2

dB2

в точке наблюдения два симметричных относительно

dl2

оси вектора dB1

и dB2 . Сумма этих векторов лежит на

оси контура. Поэтому при нахождении суперпозиции

надо учитывать только проекцию векторов на ось

B = ∑dB

cos α .

dl

dl

Т.к. образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами

dl и r - прямой, поэтому

dB

=

µ0

Idl

.

4π r 2

dl

R2 + x2

R

Для всех элементов dl

величины r =

и cos α =

одинаковые. Следовательно,

R2 + x2

B = ∑dB cos α = ∑ µ0

Idl cos α =

µ0 I

cos α∑dl =

µ0 I

cos α2πR

dl

r

2

4π r

2

4π r

2

dl

dl 4π

dl

или

B =

µ

0

IR2

2 (R2 + x2 )3 2 .

B

С учётом определения магнитного момента контура pm = ISn и

величины площади круга S = πR2 , можно записать эту формулу в

виде

µ

0

I πR2

µ

0

p

m

B =

2π (R2 + x2 )3 2

= 2π (R2 + x2 )3 2 .

Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, по-

этому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этой

плоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор B лежит в плоскости, проходящей через

ось кольца (продольной плоскости).

rot (B ) ≠ 0 , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого контура Г не

равна нулю

∫ (B,dl ) = ∫∫(rot (B ) ,dS ) ≠ 0 .

S

дом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую ли-

I

n

нию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с цен-

тром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к про-

dl

B

воду). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной ин-

дукции на этой линии постоянна и равна B =

µ0 I

. Выберем ориента-

2πR

цию на контуре Г так, чтобы векторы dl

и B были направлены одинаково. (В этом случае

нормаль n к кругу, ограниченному контуром, и направление тока совпадают.) Тогда

µ0 I

∫ (B,dl ) = ∫ B cos (00 )dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B2πR =

2πR = µ0 I .

2πR

µ0 I

∫ (B,dl ) = ∫ B cos (1800 )dl = − ∫ Bdl = −B ∫ dl = −B2πR = −

2πR = −µ0 I .♣

2πR

∑Ik

∫ (B,dl ) = µ0

k

Семестр 3. Лекция 7.

dB =

µ

0

IR2 dN

2 (R2 + x2 )3 2

где расстояние от точки А до этого сечения равно x =

z − zA

.

Тогда BA = ∑Bk =

∫

dB =

∫

µ

0

IR2 dN

или

2

(R2

+ x2 )

3 2

k

СОЛЕНОИД

ВИТКИ

СОЛЕНОИДА

+∞

µ0

2

µ0 IR

2

n

+∞

BA = ∫

IR

ndz

=

∫

dz

2 (R2 + ( z − z

)2 )

3 2

(R2 + ( z − z

)2 )

3 2

−∞

A

2

−∞

A

+∞

dz

+∞

dy

2

Делаем замену y = z − zA

и получаем

∫

= ∫

=

.

3 2

3 2

2

−∞ (R2 + ( z − z

A

)2 )

−∞

(R2 + y2 )

R

µ

IR2 n

2

Поэтому величина магнитной индукции на оси соленоида равна BA =

0

= µ0 In . Как

2

R

2

O2

−I

I

A1

B′(I)

A3

B(I)

B(-I)

A2

A1

A2

O2

Семестр 3. Лекция 7.

2) Пусть точки A1 и A3 находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соле-

ноида обладает симметрией сдвига вдоль оси, то сдвигом можно перенести точку A1 в A3 (и на-

оборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадле-

жат одному векторному полю).

Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке на-

правлен параллельно оси соленоида. Для этого рассмотрим вектор B в произвольной точке по-

ля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида. Предположим, что при заданном

направлении тока I он направлен как B (I ) . Через рассматриваемую точку можно провести ось

симметрии О1О2 поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 1800 вокруг этой оси. При

этом какие-то точки A1 и A2, расположенные симметрично относительно этой оси перейдут

друг в друга, вектор B (I )

перейдет в симметричный вектор B′ ( I ) , а направление тока I в соле-

ноиде поменяется на противоположное –I. Но противоположно направленный ток в соленоиде

должен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор B (−I ) . По-

этому вектору B (I )

должен соответствовать вектор B (−I ) , не являющийся ему симметрич-

ным. Это противоречие можно убрать только в том случае, когда вектор B (I ) параллелен оси.

Следовательно, силовые линии магнитного поля

Г1

Г2

8

7

внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величи-

I,N

на индукции зависит только от расстояния до оси соле-

4

3

ноида.

5

6

Рассмотрим циркуляцию индукции векторного

1

2

поля по некоторому квадратному контуру Г1, который

расположен целиком внутри соленоида так, что одна его

сторона лежит на оси. Пусть длина каждой из сторон

контура равна L. Тогда

∫ (B,dl ) =

∫(B,dl ) + ∫

(B,dl ) + ∫

(B,dl )+

∫(B,dl ) = B12 L − B34 L = (B12 − B34 ) L

1

12

23

34

41

∫ (B,dl ) = µ0 NI .

2

Но ∫ (B,dl ) = ∫

(B,dl ) +

∫(B,dl ) + ∫

(B,dl )+ ∫

(B,dl ) = B56 L − B78 L = (B56 − B78 ) L

2

56

67

78

81

При этом внутри соленоида B56

= µ0 In . Получаем равенство (µ0 In − B78 ) L = µ0 NI , откуда для

величины магнитной индукции снаружи соленоида B

= µ

In − µ

N

I . Плотность намотки вит-

78

0

0

L

ков, по определению, равна n =

N

, поэтому B = 0 . Снаружи идеального соленоида магнитное

L

78

поле отсутствует.

У идеального соленоида магнитное поле сосредоточено только внутри соленоида.

Тороид – это тонкий проводник, плотно намотанный на

поверхность тора (бублика).

R2

Магнитное поле тороида обладает осевой симметрией, по-

этому силовые линии являются концентрическими окружностя-

R1

ми, с центрами на оси тороида. Пусть число витков в тороиде

равно N, сила тока I. Рассмотрим циркуляцию вектора индукции

вдоль контура Г радиуса r ( R1 < r < R2 ), совпадающего с одной из

силовых линий: ∫ (B,dl ) = µ0 NI . Вдоль Г величина В постоян-

µ0 NI

ная, поэтому ∫ (B,dl ) = ∫ Bdl = B ∫ dl = B 2πr = µ0 NI , откуда внутри тороида B =

. Пред-

2πr

положим, что диаметр сечения тороидальной части много меньше внутреннего радиуса

d = R − R << R . Если ввести плотность намотки на внутреннем радиусе n =

N

, то можно

2

1

1

2πR1

µ

0

NI

µ

0

NI

R

r + x

x

записать

B =

=

1

= µ0 nI

= µ0 nI 1 +

, где 0 < x < d . Так как x

< d << R1 < r ,

2πR1

2πr

r

r

r