Теоретические основы автоматизированного управления.-2

192

6.2.5. Статистическое оценивание параметров

В результате реализации метода наименьших квадратов определяется множество численных параметров уравнения регрессии: свободный член, угловые коэффициенты (параметры) при каждом факторе-аргументе. Следующим шагом построения регрессионной модели является этап статистического оценивания полученных параметров.

При формировании критерия, по которому оценивается существенность отдельных факторов в уравнении множественной регрессии, следует учитывать то обстоятельство, что при использовании уравнения только для определения наиболее вероятных значений результативного признака (прогнозирования), связанного с определенным сочетанием значений ряда факторных признаков, критерий может быть сформулирован следующим образом: включение допол-

нительных факторов в уравнение регрессии либо исключение несущественных оправдано, если при этом снижается стандартная ошибка оценки по уравнению и повышается коэффициент множественной корреляции. В общем случае коэффициент корреляции характеризует степень точности подбора уравнения регрессии в предположении существования линейной зависимости между результирующим показателем и факторами-аргументами. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем лучше выбрана линейная зависимость, и наоборот, чем ближе он к нулю, тем вероятнее, что выбранная взаимосвязь носит случайный характер. В целях количественной градации степени связи введем относительную шкалу изменения коэффициента корреляции (табл. 6.1).

В случае, если после получения количественных характеристик уравнения регрессии исследователя не удовлетворяет качество кривой, он переходит к анализу влияния каждого из факторов на результирующий показатель. Кроме того, если при экономическом анализе предполагается использовать не только уравнение регрессии в целом, но также и отдельные его константы, то при сравнении ряда уравнений, содержащих различные факторы, недостаточно сопоставить только стандартные ошибки оценки по уравнениям и коэффициенты множественной корреляции. В этом случае надо проверить существенность каждого фактора в отдельности, проверяя существенность коэффициентов регрессии по ряду статистических критериев. Проверка существенности угловых коэффициентов уравнения регрессии проводится по t-статистике. В случае, если табличное значение « t » при заданном уровне вероятности больше расчетного, то параметр признается существенным.

193

В случае, если проверка параметров приводит к тому, что один или несколько параметров оказываются несущественными, то они исключаются из уравнения регрессии и определение параметров уравнения осуществляется уже для нового набора независимых переменных. Процедура повторяется до тех пор, пока не будут получены оценки, удовлетворяющие исследователя.

6.2.6. Оценка точности и надежности модели

О точности модели принято судить по величине погрешности (ошибки) прогноза — разности между прогнозируемым и фактическим значением результирующей переменной. При этом оценка точности производится, как правило, на базе ретроспективного прогноза, т.е. прогнозирование осуществляется на основе фактических значений переменных, наблюдаемых в прошлые периоды времени. При этом имеющаяся информация делится на две части. Одна из них, охватывающая более ранние данные, служит для оценивания параметров модели, а другая, более поздняя, — для ретроспективного оценивания. О степени точности модели можно судить по величине относительной ошибки прогноза — по отношению абсолютной погрешности к фактическому значению переменной:

k

Коэффициент несоответствия может использоваться также для оценки качества различных моделей прогноза. Очевидно, что надежность прогноза определяется вероятностью наступления прогнозируемого события, которая, в свою очередь, может быть оценена либо субъективно (экспертно), либо может быть связана с доверительными интервалами прогноза.

Следует помнить, что рассмотренные понятия точности и надежности, связанные с доверительными интервалами, являются в значительной мере

194

условными показателями и связаны с уровнем теоретического обоснования модели (множество включенных факторов и форма выбранной зависимости).

6.3. Трендовые модели

Статистическое описание движения во времени экономических явлений осуществляется, как правило, с помощью динамических временных рядов [30].

Предполагается, что с помощью таких рядов можно найти тенденцию (траекторию) поведения объекта, выраженную в виде некоторой функции времени, называемой трендом. Количественное описание наблюдаемых тенденций лежит в основе статистических методов прогнозирования. Процесс описания состоит из трех основных этапов:

1)выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;

2)определения численных значений параметров кривой;

3)экстраполяции процессов на базе выбранных уравнений трендов. Вопрос о выборе формы кривой является основным при выравнивании

ряда, при этом особое внимание должно уделяться характеристикам исходного ряда: параметрам изменения приростов, их преобразованиям.

Прежде чем перейти к краткому изложению этих вопросов, рассмотрим основные законы изменения известных в математике функций времени: многочленов, различного рода экспонент, логистических кривых.

Свойства многочленов

Аналитические выражения многочленов имеют следующий вид: y(t) = a0 + a1t — первая степень;

y(t) = a0 + a1t + a2t 2 — вторая степень;

y(t) = a0 + a1t + a2t 2 + a3t3 — третья степень.

В представленных многочленах параметры a1, a2 , a3 имеют конкретную

физическую интерпретацию: a1 — скорость роста,

a2 — ускорение роста,

a3 — изменение ускорения, a0 — исходный уровень ряда.

Многочлен первой степени применяется для описания процессов, равномерно развивающихся во времени. Парабола второй степени находит применение для равноускоренного снижения исследуемых процессов. И, наконец, для параболы третьей степени характерно изменение знака прироста один или два раза. Многочлены второй и третьей степени приводятся к линейной форме пу-

тем замены переменных: t 2 =t', t3 =t".

195

Свойства монотонно изменяющихся кривых

К числу наиболее часто используемых уравнений тренда для реализации функций прогнозирования относятся следующие уравнения:

yt = abt — простая экспоненциальная кривая; yt = k + abt — модифицированная экспонента; yt = abt ct 2 — логарифмическая парабола;

yt = atb — степенная функция;

yt = a +b / t — гиперболическая кривая I типа; yt =1/(a +bt ) — гиперболическая кривая II типа; yt =t /(a +bt) — гиперболическая кривая III типа.

Простая экспоненциальная кривая характерна для процессов с постоянными темпами роста и прироста, причем для b>1 значения yi растут вместе с

ростом t , и, наоборот, падают, если b<1. Сведение экспоненты к линейному виду происходит следующим образом. Прологарифмировав выражение, получим простой многочлен: ln yt =ln a +t ln b. Приняв α =ln a и β =ln b, полу-

чим линейное уравнение типа ln yt =α +βt.

Более усложненным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола. Приведение ее выражения к линейному виду состоит из следующих этапов:

выражение ln yt =α +βt +µt'.

Для логарифмической параболы темпы прироста линейно зависят от времени. Так, например, yt стремится к нулю при t →−∞, если b>1, и yt → 0

при t →∞, если b<1. В случае, если процесс характеризуется насыщением, его описание имеет смысл лишь при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличающуюся от нуля. Для описания этих тенденций наиболее простой зависимостью является модифицированная экспонента. Ее уравнение отличается от простой экспоненты только наличием дополнительного слагаемого k. При этом следует заметить, что для задания этого уравнения надо вычислять уже три параметра k, a и b и для их вычисления используются специальные формулы.

Степенная функция хорошо аппроксимирует показатели, непрерывно возрастающие во времени при положительном b и убывающие — при отрицательном. При b=1 это уравнение задает гиперболу, асимптотами которой служат оси координат. В экономике этому условию удовлетворяет кривая спроса с единичной эластичностью.

Гиперболические кривые первого, второго и третьего порядков описывают изменяющиеся процессы с насыщением и сводятся к линейным моделям путем простых и обратных преобразований зависимых и независимых перемен-

196

ных. Например, для функции y = a +b / t, t'=1/ t, yt = a +bt' и для функции y =1/(a +b) соответственно t'=1/ yt , yt = a +bt.

Свойства логистических кривых

В производственных системах встречаются ситуации, когда динамика явления имеет следующие особенности: вначале наблюдается медленный темп изменения переменной, который в последующем убыстряется, достигает точки перегиба, после которой наблюдается замедление роста и, наконец, достижение фазы насыщения. Такими свойствами обладают уравнения:

yt = kabt — кривая Гомперца;

yt = k + abt — логистическая кривая (кривая Перла-Рида).

Обе кривые путем некоторых преобразований сводятся к уравнению модифицированной экспоненты. Например, прологарифмировав выражение кривой Гомперца, получим

ln yt =ln k +bt ln a,

произведем замену переменных

ln yt = yt a =ln k, β =ln a,

и получим

ln yt = a +βbt .

Логистическая кривая сводится к модифицированной экспоненте путем обратного преобразования y't =1/ yt и получения выражения

y't = k + abt .

В заключение следует отметить, что список кривых, применяемых для выравнивания динамических рядов, этим не ограничивается и может быть расширен. Вместе с тем предлагаемые кривые закрывают довольно большой спектр встречающихся тенденций в социальных, экономических, биологических и технических системах.

При подборе типа кривых можно порекомендовать два наиболее простых

инаиболее часто используемых метода:

•визуальный метод — в декартовой системе координат графически изображается временной ряд и методом визуального подбора определяется тип кривой, наиболее точно аппроксимирующей наблюдаемый график;

• с точки зрения простоты используемого математического аппарата

вкачестве формального метода подбора кривых следует рекомендовать

метод последовательных разностей, подробное описание которого можно найти в [30].

Определение численных параметров уровней тренда осуществляется с помощью метода наименьших квадратов, подробно описанного в [29].

Прогнозирование на трендовых моделях, достаточно подробно описанное

в[30], заключается в определении значений наблюдаемого параметра в зависимости от его прошлых состояний. При этом выдвигаются, как правило, следующие допущения:

197

•развитие наблюдаемого процесса характеризуется плавно изменяющейся траекторией;

•условия, определяющие тенденцию изменения процесса в прошлом, не претерпевают существенных изменений и в будущем.

Очевидно, что эти условия на практике не всегда выполняются, поэтому в последнее время получили развитие методы адаптивного прогнозирования или

прогнозирования с «самообучением» [31], позволяющие с получением новой (в том числе и прогнозной) информации корректировать параметры исходной модели.

6.4. Производственные функции

6.4.1. Основные факторы производства, производственные функции

Обычно в экономической теории выделяют следующие факторы производства: труд, капитал, земля [30]. Под трудом, как фактором производства, подразумеваются любые умственные и физические усилия, прилагаемые людьми в процессе хозяйственной деятельности. Физический смысл вложенного в конечный продукт труда может выражаться через:

•количество участвующих в производственном процессе рабочих;

•продолжительность рабочего времени, затрачиваемого в процессе производства (человеко-часы, человеко-дни);

•фонд заработной платы, выплачиваемой рабочим.

Капитал как фактор производства трактуется экономистами по-разному.

1.С точки зрения классической политэкономии капитал рассматривается как имеющиеся вне предприятия средства производства, при этом различают основной капитал (основные фонды) и оборотный капитал (оборотные фонды);

2.Другой аспект категории капитала связан с его денежным эквивалентом, когда он воплощен в виде инвестиционных финансов (ресурсов).

Третьим фактором производства является земля, параметры которой выражаются обычно через площади, занимаемые под производство. Этот фактор производства прежде всего используется при анализе сельскохозяйственного производства. Говоря о стоимости этого фактора производства, следует выделять его естественные (природные) свойства и свойства, создаваемые искусственно человеком. При этом воздействие человека на изменение природных свойств земли не является безграничным. Наступает период, когда дополнительная отдача от земли, получаемая от дополнительного приложения труда и капитала начнет убывать. Эта тенденция в экономической литературе получила название закона убывающей отдачи (убывающей доходности). Закон убывающей отдачи применим к земле лишь потому, что в отличие от других факторов производства она обладает одним важным свойством — ограниченностью (нельзя беспредельно увеличивать площади обрабатываемых земель). При этом считается, что этот закон распространяется только на сельское хозяйство и

198

не касается других видов производства, в том числе и добычи полезных ископаемых. В этом случае полезные ископаемые рассматриваются как часть земли и не могут воспроизводиться заново (приносить возобновляемый доход). С учетом вышеизложенного совокупный общественный продукт Y есть функция затрат живого труда L, капитала K и природных ресурсов N: Y = f(L, K, N).

Такого рода математические зависимости получили название «производственные функции выпуска». Обратные математические зависимости L=f(Y), K=f(Y), N=f(Y) получили название функции производственных издержек.

Первые успешные результаты построения производственных функций относятся к 1929 году. Американские ученые — математик Ч. Кобб и экономист П. Дуглас — предложили описывать взаимосвязь выпуска продукции Y с величинами производственных фондов (капитала) K и затратами живого труда

L в виде произведения степеней Y = qK αLα −1.

Параметризация этой функции на основе статистических данных за период 1899–1922 гг. по обрабатывающей промышленности США дала следующие результаты: Y =1,01K 0,27L0,73.

При построении производственных функций рекомендуется соблюдать нижеперечисленные требования:

•все входящие в производственную функцию величины должны быть измеримы;

•выпуск продукции возможен лишь при определенных затратах ре-

сурсов;

•все виды ресурсов, включенные в производственную функцию, должны быть использованы: при отсутствии хотя бы одного из них выпуск равен нулю (это требование не всегда соблюдается);

•в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса производства факторы (очевидно, это условие не является однозначным);

•ресурсы в той или иной степени могут быть взаимозаменяемыми: в предельном случае — комплементарными, т.е. использоваться в строго определенных пропорциях;

•объемы выпуска продукции ограничены величиной любого из используемых ресурсов;

•производственная функция должна опираться на соответствующую статистическую базу;

•производственная функция предполагается непрерывной и дифференцируемой, что является упрощающей гипотезой, не всегда отвечающей реальности.

Остановимся кратко на основных различиях между регрессионными моделями и производственными функциями. Считается целесообразным называть «производственными функциями» только те регрессионные зависимости, которые выражают зависимость прямых результатов производства от основных

199

факторов производства. Модели, выражающие связь факторов, не следует называть производственными функциями.

При определении производственных функций обычно используется особый подход к решению вопросов формы связи, ориентированный прежде всего на физический смысл уравнения. Производственные функции, в отличие от обычных уравнений регрессии, используют для их дальнейшего математического исследования. По основной модели путем дифференцирования устанавливаются функции дополнительного продукта, предельной производительности, коэффициенты взаимозамещаемости и т.д.

Анализ взаимосвязей отдельных факторов производства и его результатов позволяет выявлять количественные и качественные изменения, происходящие в производственной системе. Такого рода взаимосвязи получили название факторов экономического роста. К числу таких факторов можно отнести:

•производительность труда — Y/L;

•трудоемкость продукции — L/Y;

•производительность капитала (капиталоотдача) — Y/K;

•капиталоемкость продукции — K/Y;

•производительность природных ресурсов — Y/N;

•ресурсоемкость продукции — N/Y.

Кроме того, в ряде случаев интересным может быть изучение взаимосвязей и между отдельными факторами производства, например: капиталоемкость (фондовооруженность) труда — K/L.

Для анализа экономического роста имеют значение и показатели предельной производительности отдельных факторов, которые определяют размер прироста выпуска продукции в зависимости от прироста каждого отдельного фактора при неизменности остальных факторов:

•предельная производительность труда — ∆Y/∆L;

•предельная производительность капитала — ∆Y/∆K;

•предельная производительность природных ресурсов — ∆Y/∆N.

В этом случае общий объем выпуска продукции представляет собой сумму произведений каждого из используемых факторов на его предельную произ-

водительность: Y = ∆∆YL L + ∆∆KY K + ∆∆NY N.

Экономическое значение производственной функции заключается в том, что она показывает существование альтернативных возможностей получения заданного объема конечных продуктов при различных сочетаниях факторов производства, в том числе и оптимальных.

Взаимосвязь факторов производства является фундаментальным понятием теории производственных функций. Эти взаимосвязи реализуются, как правило, через предпринимательскую деятельность. Объектом предпринимательской деятельности является осуществление наиболее эффективной комбинации факторов производства с целью максимизации дохода. При этом предприниматель берет на себя ответственность за выпуск новой продукции, открытие новых способов производства (технологий), освоение новых рынков сбыта про-