Теоретические основы автоматизированного управления.-2

Рис. 6.5. Уравнение оптимального сочетания ресурсов

Вместе с тем следует заметить, что замена одного фактора производства другим может производиться с учетом множества дополнительных ограничений. Так, например, при контрактной форме привлечения трудовых ресурсов гибкому и оперативному изменению могут подвергаться только оборотные средства. Такие же факторы производства, как труд, капитал, земля, могут изменяться в течение достаточно продолжительного периода (3–10 лет).

6.4.2. Основные характеристики производственных функций

Рассмотрим некоторые наиболее общие характеристики производственных функций, использующихся при анализе производственных ситуаций [7]. Будем рассматривать производственные функции с одним продуктом и несколькими видами ресурсов. Функция выпуска в этом случае имеет вид Y=f(X),

где Y — скаляр, а X =(x1, x2 , ..., xi , ..., xn ) — вектор и xi ≥0,i =1, n. При этом будем считать, что все входные переменные непрерывны, а результирующий показатель достаточно гладко меняется при изменении переменных.

Для определения основных характеристик сделаем ряд предположений, имеющих под собой определенное экономическое содержание.

Первое экономическое предположение состоит в том, что при отсутст-

Это предположение говорит о том, что невозможно даже при использовании взаимозаменяемых ресурсов один ресурс полностью заменить другим. Речь может идти только о взаимном дополнении (замещении) ресурсов в технологически определенных интервалах их изменения.

Второе экономическое предположение связано с направлением измене-

ния объемов производства в зависимости от изменения количества используемых ресурсов. Предполагается, что при увеличении производственных ресур-

202

В случае если f (xi ) дифференцируема, то первая характеристика производст-

Величина βi называется предельной эффективностью и характеризует

отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества i-го производственного ресурса. Заметим, что это предположение не всегда выполняется. Очевидно, что непрерывное увеличение такого фактора производства, как земельные ресурсы, может привести к снижению качества их обработки, а отсюда и к уменьшению урожайности. В этом случае интервалы изменения векторов x i , в которых отношение (6.18) выполняется, называются экономиче-

ски целесообразной областью изменения ресурсов, вне этой области дополнительные затраты по применению ресурсов невыгодны.

Эффективность использования ресурсов можно определить не только предельной эффективностью в некоторых точках, но интегрированным показателем — средней эффективностью ресурсов, определяемой выражением

i xi

Средняя эффективность обычно отличается от предельной эффективности. Так, для степенной производственной функции y = xα при x >0 получим β = α xα−1. В свою очередь, средняя эффективность определяется выражением

xα−1. В силу того, что α изменяется в пределах 0 <α <1, для этой производственной функции предельная эффективность всегда будет ниже средней.

Определение численных характеристик βi (частных производных по xi ) в точках {t1, t2 , .., tn} позволяет исследовать сложившиеся тенденции изменения эффективности использования xi -го производственного фактора. При этом точки {t1,t2 ,..,tn} обязательно должны принадлежать экономически целесообразной области изменения x i . В табл. 6.3 представлены возможные варианты производственных ситуаций исследования эффективности x i -го фактора.

Таблица 6.3 Варианты производственных ситуаций по эффективности x i -го фактора

203

Третье предположение связано с тем, что в условиях чисто экстенсивного роста производства (в основном за счет привлечения дополнительных ресурсов) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования. Например, непрерывный рост станочного парка без увеличения соответствующей численности работающих не приводит к пропорциональному увеличению объемов производства. Математически это предположение реализуется через двойное дифференцирование производственной функции:

Четвертое предположение ориентировано на то, что при пропорциональном росте количества используемых ресурсов на величину λ объемы производства увеличиваются на эту же величину, т.е.

ресурсам определяется как соотношение предельной и средней эффективности использования производственного ресурса:

Таким образом, отношение этих двух показателей эффективности характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменяющемуся ресурсу (другими словами, не зависит от количества используемых ресурсов);

• эластичность производства —

на один процент и определяется как сумма эластичностей выпуска по отношению к затратам различных ресурсов в этой точке. При E(x)>1 имеет место возрастающая, при E(x)=1 — постоянная, а при E(x)<1 — убывающая отдача от расширения масштабов производства. Очевидно, что численный анализ этих

205

большая эластичность — что каждый из ресурсов используется независимо. Эластичность замещения ресурсов для степенной производственной функции постоянна и равна единице. Это означает, что параметры замещения одного ресурса другим заданы заранее вне зависимости от желания исследователя.

Особое значение при анализе производственных ситуаций отводится вопросам определения варианта оптимального соотношения ресурсов. Для решения задачи вводится понятие изокванты как поверхности множества точек x

деляющая количество ресурсов одного вида, необходимого для получения заданного объема выпуска конечного продукта в зависимости от количества ис-

пользуемых ресурсов второго вида, является монотонно убывающей функцией.

Очевидно, что при изменении объемов выпуска можно получить семейство

изоквант.

x2

x2

y < y0 Q( y0 )

Рис. 6.6. Изокванта производственной функции двух переменных

К основным свойствам изокванты следует отнести такие утверждения:

•изокванты не пересекаются друг с другом;

•изокванта Q( y0 ) разбивает пространство ресурсов на два множества, в

одном из которых y < y0 , а в другом y > y0 , причем граница между множества-

ми проходит по изокванте Q( y0 ) ;

•большему выпуску продукции соответствует изокванта, более отдален-

ная от начала координат;

•изокванты не имеют точек пересечения с осями координат.

Исследование характеристик предельных норм замещения ресурсов

должно проводиться в следующих направлениях:

• сравнительного анализа значений σ(xi , x j ), γ(xi , x j ) в одних и тех же

интервалах времени;

• сопоставления этих характеристик с учетом ранее рассчитанных величин E(xi ) и βi , позволяющего сделать выводы о предпочтительности привле-

чения ресурсов определенного вида при расширении масштабов производства;

207

6.5. Функции производственных издержек (затрат)

Функции производственных издержек определяют объемы затрат ресурсов, необходимых для выпуска определенного количества продукции. Для случая нескольких ресурсов функция затрат имеет следующий вид:

Потребление каждого из ресурсов задается однозначной функцией количества выпускаемой продукции. Объемы потребления ресурсов определяются технологическими режимами производства, замещение ресурсов невозможно, дефицит одного из ресурсов не позволяет увеличить объем выпуска за счет других.

Некоторые свойства производственных функций характерны и для функции затрат:

1)при отсутствии объемов производства значения затрат равны нулю, т.е.

вслучае отсутствия выпуска продукции тратить ресурсы нет необходимости;

2)рост объемов производства требует увеличения количества используе-

мых ресурсов, темпы роста затрат ресурсов определяются величиной предельных затрат ресурсов

Как видно из выражения (6.33), предельные затраты ресурсов пропорциональ-

ны предельной эффективности ресурсов. Введем понятие средних затрат qi ( y) = xi / y. Отношение предельных затрат i-го ресурса к его средним затратам

определяется выражением:

где Ei (x) — эластичность выпуска по i-му ресурсу;

3) в ряде случаев делается предположение о росте предельных затрат с ростом объемов производства, т.е. h′′( y) >0. Такое предположение имеет место

при экстенсивном способе производства, а при интенсивном развитии производства — h′′( y) <0.

Опишем некоторые характерные функции затрат с одним продуктом. Наиболее проста линейная однородная функция

где ai — неотрицательные параметры.

В этом случае предельные затраты каждого из ресурсов равны средним и определяются величиной ai . Модификацией линейной функции является ли-

нейная неоднородная функция

Эта функция характерна для производственных способов, когда приходится заранее производить капитальные затраты, объем которых не зависит от объемов производства.

208

Для того чтобы не нарушать предположение о нулевых затратах, при ну-

В качестве функций производственных издержек, характерных для возрастания или убывания предельных затрат ресурсов, часто используют степенные функции

Для таких функций характерны следующие свойства: xi = hi (0) =0;

βi = h′( y) = αi ai yαi −1; h′′( y) = αi ai (αi −1) yαi −2 .

Если αi <1, то это функция с убывающими предельными затратами, если αi >1, то это функция с возрастающими предельными затратами. В отличие от

производственных функций, которые обычно описывают сложные производственные процессы, функции производственных издержек могут использоваться для описания относительно простых систем. При этом для одного и того же объекта, но для различных ресурсов, могут использоваться различные виды функций затрат. Например, затраты сырьевых (материальных) ресурсов описываются линейными однородными функциями, а затраты основных фондов и трудовых ресурсов — степенными функциями, характеризующими экономию затрат, связанную с увеличением масштабов производства.

Контрольные вопросы

1.Представьте обобщенную схему количественного определения и оценивания проблемной ситуации, перечислите необходимые условия ее использования.

2.Перечислите и дайте краткую характеристику основным этапам построения регрессионных моделей.

3.Дайте понятие производственной функции, перечислите основные факторы производства.

4.Перечислите сходства и различия регрессионных моделей и производственных функций.

5.Приведите математическое выражение эластичности производства, поясните его физический смысл и приведите примеры практического использования этого показателя при исследовании систем.

6.Приведите математическое выражение предельной нормы замещения ресурсов, поясните его физический смысл и приведите примеры практического использования этого показателя при исследовании систем.

7.Дайте понятие изокванты, приведите примеры ее практического использования при исследовании систем.

209

8.Раскройте понятие трендовых моделей, перечислите основные виды моделей и их свойства.

9.Назовите основные методы прогнозирования на трендовых моделях.

10.Перечислите и прокомментируйте основные свойства производственных функций.

11.Опишите основные свойства функций производственных издержек, приведите сравнительный анализ этих свойств с аналогичными свойствами производственных функций.

12.Перечислите основные виды функций производственных затрат, приведите примеры их практического использования.

210

7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ

7.1. Модели развития и размещения производств

7.1.1. Классификация моделей

Среди задач долгосрочного планирования особое место занимают проблемы развития и размещения производств. Причем это касается как строительства новых производственных комплексов, так и развития действующих производств. Просчеты, допущенные на этой стадии планирования, как правило, неисправимы и приводят к большим производственным потерям (издержкам) в процессе функционирования этих производств.

Вобщем случае эта задача формулируется следующим образом: при заданных (прогнозных) потребностях и структуре продукции, ограничениях на ресурсы найти варианты развития и размещения производств на перспективу (объемы производства, обеспечивающие спрос, транспортные схемы доставки сырья и готовой продукции) при минимизации комплексного критерия эффективности на создание и функционирование предприятий.

Влитературе по математическому моделированию имеется достаточно большое количество вариантов математических моделей для рассматриваемого класса задач. В этой связи рассмотрим некоторую классификацию этого множества и особенности реализации моделей в каждом из выделенных классов. Все множество рассматриваемых моделей будем классифицировать [37]:

•по виду используемого критерия оптимальности;

•по способу учета фактора времени;

•по типу используемых переменных;

•по способам учета транспортных факторов;

•по степени учета этапов жизненного цикла конечных продуктов;

•по количеству конечных продуктов исследуемого производства. Остановимся на особенностях каждой группы более подробно. При этом

будем рассматривать только класс однопродуктовых задач.

В качестве критерия оптимальности задачи чаще всего используют показатели минимума приведенных затрат и максимума получаемой прибыли. При решении задачи по критерию минимума приведенных затрат в целевой функции отражаются затраты, учитывающие полный жизненный цикл конечного продукта (сырье, производство, транспортировка, хранение, реализация и потребление). Целесообразность использования этого критерия определяется нижеприведенными условиями:

•спрос на продукцию практически не зависит от цен и подлежит обязательному удовлетворению;

•потребность в продукции является заданной и подлежит обязательному удовлетворению;