Теоретические основы автоматизированного управления.-2

111

Сама дискуссия проводится как открытое коллективное обсуждение рассматриваемой проблемы, основной задачей которого является всесторонний анализ всех факторов, положительных и отрицательных последствий, выявление позиций и интересов участников. В ходе дискуссии разрешается критика. Большую роль в дискуссии играет ведущий. От его умения создать творческую, благожелательную атмосферу, четко выступать с постановкой проблемы, кратко и глубоко резюмировать выступления и, главное, умело направлять ход дискуссии на решение проблемы существенно зависит эффективность обсуждения.

Рассмотренные виды опроса дополняют друг друга и в определенной степени являются взаимозаменяемыми. Для генерации новых объектов (идей, событий, проблем, решений) целесообразно применять мозговой штурм, дискуссии, анкетирование и метод Дельфи (первые два тура).

Всесторонний критический анализ имеющегося перечня объектов сравнения эффективно может быть проведен в форме дискуссии. Для количественной и качественной оценки характеристик объектов применяется анкетирование и метод Дельфи. Интервьюирование целесообразно использовать для уточнения результатов, полученных другими видами экспертизы.

3.2.4. Формальные методы описания предпочтений объектов

При организации экспертизы специалистам, как правило, предлагается оценить (измерить) предпочтение некоторых альтернативных вариантов развития (состояния) рассматриваемой проблемы. При этом под измерением понимается процедура сравнения объектов по определенным показателям (признакам). В качестве объектов сравнения выступают основные элементы системного анализа: проблемные ситуации, цели, критерии, функции, структуры. Каждый из объектов может описываться (характеризоваться) набором качественных и количественных параметров. Процедура сравнения заключается в определении отношений между объектами.

Для формального описания множества объектов и отношений между ними при фиксированных показателях сравнения вводится понятие эмпирической системы:

дятся между собой в отношении Rk . Такое отношение называется бинарным

(двухместным), поскольку оно связывает между собой два объекта. Рассмотрим основные свойства бинарных отношений. Будем рассматри-

вать объекты xi из множества X и некоторое бинарное отношение R. Если все

объекты из множества X сравнимы между собой по этому отношению, то говорят, что отношение R является полным (совершенным, линейным). Если не все

112

объекты сравнимы по отношению R, то оно называется неполным (несовершенным, нелинейным, частичным). Полное и неполное отношение R может иметь нижеперечисленные свойства:

•рефлексивность xi Rxi , т.е. это свойство означает, что объект находится

вотношении R к самому себе;

• симметричность — если xi Rx j , то и x j Rxi , т.е. отношение симмет-

рично к обоим объектам;

• транзитивность — если xi Rx j и x j Rxk , то xi Rxk .

Используя перечисленные свойства, определим отношения

эквивалентности, строгого порядка и нестрогого порядка.

Отношение эквивалентности содержательно интерпретируется как взаимозаменяемость, одинаковость объектов. Для обозначения отношения эквивалентности используется специальный символ «~». Запись вида xi ~ x j

означает эквивалентность объектов. Отношение эквивалентности порождает разбиение множества объектов на классы и является рефлективным, симметричным и транзитивным отношением. В каждый класс попадают эквивалентные, т.е. неразличимые по показателю (или группе показателей) объекты.

Отношение строгого порядка является антирефлективным и транзитивным отношением и может интерпретироваться как предпочтительность, в широком смысле, одного объекта по сравнению с другим объектом, например «важнее», «лучше», «выше», «больше» и т.д. Для обозначения отношения строгого порядка используется специальный символ « > », например, если объект xi строго предпочтительнее объекта x j , то это записывается в виде xi > x j .

Отношение полного строгого порядка порождает строгое упорядочение объектов по предпочтительности.

Отношение нестрогого порядка есть объединение отношений строгого порядка и эквивалентности и обладает свойствами рефлективности, антисимметричности и транзитивности. В соответствии с этим для обозначения отношения нестрого порядка применяется символ « ≥ ». Запись xi ≥ x j означает, что

объект xi либо строго предпочтительнее, либо эквивалентен объекту x j ; дру-

гими словами, эта запись интерпретируется как непредпочтительность объекта x j по сравнению с объектом xi или, например, что объект xi не хуже объекта

x j . Отношение полного нестрогого порядка порождает строгое упорядочение

классов эквивалентности объектов.

Описанные процедуры позволяют каждому эксперту задать свои индивидуальные предпочтения на множестве сравниваемых объектов

(R1, R2 ,..., Rs ,..., Rn ).

При групповой экспертизе ставится задача о выработке некоторого нового отношения R, которое согласует индивидуальные выборы, выражает в каком-то смысле «общее мнение» и принимается за групповые выборы. Очевидно, что это отношение должно быть какой-то функцией индивидуальных

113

выборов: R = F(R1,..., Rn ). Различным принципам согласования будут отвечать

разные функции F. Теоретически функции F могут быть совершенно произвольными и учитывать не только индивидуальные выборы, но и другие факторы, в том числе и исход некоторых случайных событий (например, бросания жребия), и главный вопрос состоит в том, чтобы правильно отобразить в функции F особенности конкретного варианта реального группового выбора [7].

Одним из наиболее распространенных принципов согласования является правило большинства: принятой считается альтернатива, получившая наибольшее число голосов.

Правило большинства может быть представлено в виде двух модификаций:

1) (xi , x j ) R тогда и только тогда, когда не менее определенного количества экспертов полагают, что xi > x j ;

2) (xi , x j ) R тогда и только тогда, когда число экспертов, считающих, что xi > x j , не меньше числа экспертов, придерживающихся мнения, что

x j < xi .

Как отмечается в [7], правило большинства привлекательно своей простотой и экономичностью, но имеет некоторые особенности:

•только дальнейшая практика показывает, правильным или ошибочным было решение, принятое большинством голосов (само голосование — лишь форма согласования дальнейших действий);

•даже в простейшем случае выбора одной из двух альтернатив легко представить себе ситуацию, когда правило большинства не срабатывает — разделение голосов поровну при четном числе голосующих. Это порождает варианты: «председатель имеет два голоса», «большинство простое (51 %)», «по-

давляющее большинство (около 34 ), «абсолютное большинство (близкое к 100 %)», наконец, «принцип единогласия (консенсус, право вето)».

3.2.5. Формальные методы определения предпочтений

Для определения субъективных предпочтений экспертов наиболее часто используются методы:

•ранжирование;

•парное сравнение;

•непосредственная (балльная) оценка;

•последовательное сравнение.

Ранжирование заключается в упорядочении объектов по степени их предпочтения. В зависимости от вида отношений между объектами возможны несколько вариантов упорядочения.

Если между объектами нет одинаковых по сравнительным показателям элементов, т.е. отсутствует отношение безразличия, то можно говорить, что присутствует отношение строгого порядка: x1 > x2 > x3 ... > xn.

114

Для отображения вида отношений могут использоваться действительные числа натурального ряда, связанные между собой отношением неравенства: C1 >C2 >C3 >Ci > ... >Cn , где Ci = f (xi ) =i. Числа C1, C2 , ..., Cn в этом случае называются рангами.

Если между рядом объектов существуют отношения безразличия, то будем иметь упорядочение нестрогого порядка: x1 > x2 > x3 ~ x4 ~ x5 >... > xn. В

этом случае при ранжировании наиболее предпочтительному объекту присваивается ранг, равный единице, второму по предпочтительности — ранг, равный двум и т.д. Для эквивалентности объектов назначаются одинаковые ранги, равные среднему арифметическому рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Для данного примера ранг объектов x3, x4 , x5 определяется как C3 =C4 =

=C5 = (3 + 4 + 5)/3 = 4. Таким образом, при групповом ранжировании получается матрица C = Ci,s , размерности n ×m, где m — число экспериментов.

Вместе с тем следует иметь в виду, что ранги как числа не позволяют сделать выводы о степени предпочтительности одних объектов над другими, а определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения.

Достоинством ранжирования как метода субъективного измерения является простота использования процедур, недостатки связаны с практической невозможностью упорядочения большого количества объектов. Последнее связано с необходимостью учета взаимосвязей с большим количеством объектов при рассмотрении их как единой совокупности.

Парное сравнение представляет собой процедуру установления предпочтения при сравнении всех возможных пар объектов. При сравнении двух объектов xi и x j эксперт упорядочивает их по одной из альтернатив

xi > x j , xi < x j , xi ~ x j . При этом для количественной оценки предпочтений используются выражения:

Если сравнения пар объектов производятся отдельно по различным критериям или сравнения производит группа экспертов, то по каждому показателю или эксперту составляется своя матрица результатов парных сравнений.

Непосредственная оценка представляет собой процедуру присваивания объектам числовых значений (баллов) в принятой шкале интервалов. Как правило, на практике используются пяти-, десяти- и стобалльные шкалы.

Последовательное сравнение представляет собой комплексную процедуру измерения, включающую как ранжирование, так и непосредственную оценку. При последовательном сравнении эксперт выполняет операции:

115

1)ранжирования объектов;

2)непосредственной оценки объектов на отрезке [0,1], полагая, что числовая оценка первого в ранжировании объекта равна единице, т.е. f (x1) =1;

3)определения, будет ли первый объект превосходить по предпочтительности все остальные объекты вместе взятые. Если да, то эксперт увеличивает значение числовой оценки первого объекта так, чтобы она стала больше суммы числовых оценок остальных объектов:

чем сумма оценок остальных объектов; 4) определения, будет ли второй объект предпочтительнее, чем все по-

следующие вместе взятые объекты, и изменения f (x2 ) так же, как и для

f(x1) в (3.5);

5)сравнения предпочтительности последующих объектов и изменения их

числовых оценок в зависимости от своего решения о предпочтительности. Рассмотренные четыре метода измерения — ранжирование, парное срав-

нение, непосредственная оценка и последовательное сравнение — обладают различными качествами, но приводят к близким результатам. Экспериментальная сравнительная оценка этих методов показала, что наиболее эффективным является комплексное применение всех методов для решения одной и той же задачи. При этом следует учитывать, что методом, требующим минимальных трудозатрат, является ранжирование, а наиболее трудоемким — метод последовательного сравнения. Метод парного сравнения без дополнительной обработки не дает полного упорядочения объектов.

3.2.6. Математические методы обработки результатов экспертизы

Пусть d экспертов произвели оценку m объектов по n показателям. Результаты оценки представлены в виде величин (xish ) , где s — номер эксперта, i

— номер объекта, h — номер показателя (признака сравнения). Если оценка объектов произведена методом ранжирования, то величины xish представляют собой ранги. Если оценка объектов выполнена методом непосредственной оценки или методом последовательного сравнения, то величины xish представ-

ляют собой числа или баллы. Обработка результатов оценки существенно зависит от рассмотренных методов измерения.

Рассмотрим вначале случай, когда величины xish (s =1,d; i=1,m; h =1,n) по-

лучены методами непосредственной оценки или последовательного сравнения и, следовательно, являются числами или баллами. Для получения групповой оценки объектов в этом случае можно воспользоваться средним значением оценки для каждого объекта:

117

вим обобщенную ранжировку в виде некоторой матрицы парных сравнений, которая наилучшим образом согласуется с аналогичной матрицей парных сравнений, получаемой на основе ранжировок экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану. Медиана есть такая матрица парных сравнений, сумма расстояний от которой до всех матриц парных сравнений, получаемых экспертами, является минимальной:

Построение матрицы парных сравнений, соответствующей медиане, осуществляется по принципу простого большинства голосов экспертов для каждого элемента матрицы.

Не вдаваясь в подробности доказательств, отметим, что величины yik определяются по следующей формуле:

d

где α ik = ∑ks yiks — количество голосов, поданных экспертами за предпочтение

s=1

i-го объекта k-му объекту.

При наличии нескольких критериев оценки объектов сравнения эксперты упорядочивают их по каждому из критериев. Пусть p1, p2 ,..., p j ,..., pn — оценки

важности каждого из критериев. В этом случае обобщенная матрица парных сравнений будет определяться по следующему выражению:

3.2.7. Оценка согласованности экспертов

Субъективный характер восприятия экспертами оцениваемой ситуации приводит к расхождению во мнениях по методам ее разрешения. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени согласованности экспертов относительно важности альтернатив (мероприятий). Для этих целей на практике используется дисперсионный коэффициент конкордации.

Рассмотрим матрицу результатов ранжировки m объектов группой из d

экспертов: ris (s =1,d, i =1,m) , где ris — ранг, присваиваемый s-м экспертом i-

му объекту.

Составим суммы рангов по каждой строке. В результате получим вектор с компонентами:

119

открытой либо закрытой дискуссии должны участвовать эксперты, имеющие крайние точки зрения.

3.3. Формальное описание таблиц решений

Одним из возможных математических аппаратов описания задачи принятия индивидуальных решений является математический аппарат таблиц решений (ТР), который нашел достойное применение при создании системного программного обеспечения благодаря возможности использования быстродействующих арифметических и логических операций, выполняемых, как правило, параллельно [26]. В данном разделе сделана попытка использования этого аппарата в организационных системах управления. Наиболее часто в литературе ТР представляются в виде модели принятия решений, состоящей из 4 квадрантов, содержащих соответственно условие задачи, правило выбора решений, перечень решений (действий), результаты решения (последовательность дейст-

вий) (табл. 3.4).

Формализованное описание ТР представляется в виде следующего кортежа:

где S ={si}, i =1,m, — множество условий, описывающих существенные пара-

метры рассматриваемой предметной области.

Как правило, эти условия задаются набором качественных (описываемых бинарными отношениями «да», «нет») и количественных (описываемых отношениями « = », « < », « > » либо интервальными значениями «m – n») высказываний или предикатов (например, параметр si — больше (меньше или равен)

норме).

120

Таблицы решений, представленные набором качественных параметров, получили название ТР с ограниченным входом. Таблицы решений с многозначным заданием условий получили название ТР с расширенным входом.

Y ={y j }, j =1,k, — множество входов действий, описываемых на содер-

жательном уровне и имеющих характер предписаний. Предписания могут иметь смысл окончательного или промежуточного решения. Окончательное решение может определяться одним-единственным действием, приводящим к

оптимальному выбору yопт = π, либо содержать оптимальную последователь-

ность действий:

yопт = π =(π1, π2 ,..., πk ),

где π1, π2 ,..., πk — числа натурального ряда, определяющие порядок (организа-

ционный регламент) выполнения действий при реализации данного управленческого решения. В обоих случаях такого рода действия являются простыми по отношению к данной ТР.

В случае, если таблица решений имеет вложенную иерархическую структуру, промежуточное решение содержит только ссылку на следующую таблицу решений, являющуюся продолжением первой (головной) с предписанием типа: <перейти к ...>. Этот вариант находит применение при больших размерностях рассматриваемой проблемной ситуации. В этом случае выбранное действие является сложным.

R ={rρ},ρ =1,n , — множество решающих правил, определяющих отно-

шение между множеством действий и множеством условий (т.е. какое действие из множества Y выполняется при определенных значениях параметров из множества условий).

X ={xq },q =1,m, — множество векторов нормативных данных (возмож-

ных качественных и количественных значений условий), где xq ={S1q , S2q ,..., Skq}.

C = ciρ , A = a jρ — матрицы, устанавливающие взаимосвязи множества векторов данных с векторами действий. Вектор-столбцы cρ матрицы C задают

возможные разбиения множества X на n непересекающихся классов, каждый из которых характеризуется определенным действием, а вектор-столбцы aρ мат-

рицы A служат для задания отношений между множеством условий S и множеством действий Y. Выражение Rρ = (cρ, aρ) называется решающим правилом, а

элементы матриц С и A определяются следующим образом:

1, если условие Si для правила Rρ выполняется; ciρ = 0, если условие Si для правила Rρ не выполняется;

x, если условие Si для правила Rρ не существенно.