Информатика.-7

Учитывая, что

S1 h f (a h) , S2 h f (a 2h) , S3 h f (a 3h) , S4 h f (a 4h) , S5 h f (a 5h), S6 h f (a 6h)

и вынося h за скобки, получим

S S1 S2 S3 S4 S5 S6

h f (a h) h f (a 2h) h f (a 3h)

h f (a 4h) h f (a 5h) h f (a 6h)

h f (a h) f (a 2h) f (a 3h)

f (a 4h) f (a 5h) f (a 6h) .

Вобщем случае формула для решения интеграла методом правых прямоугольников имеет вид

0,582 1,252 1,415 1,194 0,848 0,537 5,828.

При вычислении интеграла методом центральных прямоугольников криволинейная трапеция заменяется прямоугольни-

– 61 –

Предположим, что требуется вычислить определенный инте-

b

грал I f (x)dx . Разобьем отрезок [a; b] на шесть интервалов

a

(n = 6).

Суммарная площадь прямоугольников

S S1 S2 S3 S4 S5 S6 .

Учитывая, что

В общем случае формула для решения интеграла методом центральных прямоугольников имеет вид

0,193 0,969 1,397 1,335 1,024 0,683 5,601.

–63 –

4.2. Метод трапеций

При вычислении интеграла методом трапеций криволинейная трапеция аппроксимируется линейной функцией на каждом элементарном отрезке (рис. 4.5). Высоты всех трапеций определяются по формуле

h b n a ,

где n – число интервалов разбиения отрезка [a; b]; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования.

1,5

1

0,5

0

Рис. 4.5. Вычисление интеграла методом трапеций

Предположим, что требуется вычислить определенный инте-

b

грал I f (x)dx . Разобьем отрезок [a; b] на шесть интервалов

a

(n = 6).

Суммарная площадь трапеций

S S1 S2 S3 S4 S5 S6 .

– 64 –

и вынося h2 за скобки, получим:

S S1 S2 S3 S4 S5 S6

h2 f (a) 2 f (a h) 2 f (a 2h)

2 f (a 3h) 2 f (a 4h) 2 f (a 5h) f (b) .

Вобщем случае формула для решения интеграла методом трапеций имеет вид

0,5 0 0,537 2 5,291 0,5 11,119 5,559.

–65 –

4.3. Метод парабол (Симпсона или Ньютона – Симпсона)

При вычислении интеграла методом парабол криволинейная трапеция заменяется квадратичной функцией y ax2 bx c. Рассмотрим вычисление интеграла данной функции на элементарном отрезке x0; x2 (рис. 4.6).

Y

2

y0 f (x0 ) , y1 f (x1), y2 f (x2 ).

– 66 –

Тогда значение интеграла определяется по формуле

I13 ax23 12 bx22 cx2 13 ax03 12 bx02 cx0

a3 (x1 h)3 b2 (x1 h)2 c(x1 h) a3 (x1 h)3 b2 (x1 h)2 c(x1 h)

a3 (x1 h)3 (x1 h)3 b2 (x1 h)2 (x1 h)2 c (x1 h) (x1 h) .

Учитывая, что (x1 h) (x1 h) 2h ,

(x1 h)2 (x1 h)2 (x1 h) (x1 h) (x1 h) (x1 h) 2x1 2h,

Через три точки можно провести одну параболу. Дана система уравнений

Найдем коэффициенты a, b, c по правилу Крамера:

– 67 –

x1(x1 h)2 (x1 h)(x1 h)2 x12 (x1 h)

x1(x1 h)2 x12 (x1 h) (x1 h)2 (x1 h)

x12 2h 2h(x12 h2 ) x12 4h 2hx12 2hx12 2h3 4hx12 2h3.

По аналогии находятся другие определители: