Информатика.-7
.pdf
– первая и последняя опорные точки принадлежат кривой Бе-
зье;
– зависит от порядка опорных точек.
P1 |
P12 |
P2 |
|
||
|
|
|
P012 |
P0123 |
P123 |
|
|
P01
P23
P0 
P3
Рис. 5.7. Нахождение точки кривой Безье при t 0,5
P2
P1
P0 
P3
Рис. 5.8 Кривая Безье, построенная по четырем точкам
Благодаря простоте задания и преобразований, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике – это один из способов получения гладких линий. Математический алгоритм, лежащий в основе кривых Безье, может быть расширен на трехмерный случай для построения поверхностей Безье.
– 111 –
5.9.Вопросы и упражнения
1.Дайте определение понятию интерполяции.
2.Дайте определение понятию экстраполяции.
3.Сформулируйте условие Лагранжа в задачах интерполя-
ции.
4.Определите коэффициенты интерполяционного полинома Ньютона для данных узловых точек: {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2},
{4,0;0,9}, {5,0;0,7}.
5.Возможно ли построение интерполяционного полинома Ньютона, если у двух точек из совокупности одинаковые абсциссы, но разные ординаты?
6.Определите коэффициенты многочленов параболического сплайна для данных узловых точек: {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2}.
Значение первой производной многочлена сплайна в начале интервала интерполяции принять равным единице.
7. Определите коэффициенты многочленов параболического сплайна для данных узловых точек: {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2}.
Значение первой производной многочлена сплайна в конце интервала интерполяции принять равным нулю.
8. Найдите коэффициенты многочленов кубического сплайна для данных узловых точек {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2}. Значение
второй производной многочленов сплайна на концах интервала принять равным нулю.
9. Запишите уравнение прямой линии, проходящей через начало координат, угловой коэффициент которой найден по методу наименьших квадратов для данной совокупности точек: {1,0;3,6},
{2,0;1,8}, {3,0;1,2}, {4,0;0,9}, {5,0;0,7}. Чему равна максимальная
ошибка интерполяции?
10. Запишите уравнение произвольной прямой линии, коэффициенты которой найдены по методу наименьших квадратов для данной совокупности точек: {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2},
{4,0;0,9}, {5,0;0,7}. Чему равна максимальная ошибка интерпо-
ляции?
11. Запишите уравнение параболы, коэффициенты которой найдены по методу наименьших квадратов для данной совокуп-
– 112 –
ности точек: {1,0;3,6}, {2,0;1,8}, {3,0;1,2}, {4,0;0,9}, {5,0;0,7}.
Чему равна максимальная ошибка интерполяции?
12.Возможно ли построение интерполяционной функции по методу наименьших квадратов, если у двух точек из совокупности одинаковые абсциссы, но разные ординаты?
13.Приведите примеры координат четырех точек, когда не удается построить интерполяционную функцию по методу наименьших квадратов.
14.Определите коэффициенты тригонометрического полинома второго порядка для данных узловых точек: { 2,0;3,6},
{ 1,0;1,8}, {0,0;1,2}, {1,0;0,9}, {2,0;0,7}. Чему равна максималь-
ная ошибка интерполяции?
|
15. Постройте параметрическое уравнение кривой Безье по |
|||||
узловым |
точкам: |
P0 (10;36) , |
P1 (20;18) , |
P2 |
(30;12) , |
|
P3 |
(40;29). |
|
|
|
|
|
|
16. Постройте параметрическое уравнение кривой Безье по |
|||||
узловым |
точкам: |
P0 (10;36) , |
P1 (30;12) , |
P2 |
(20;18) , |
|
P3 |
(40;29). |
|
|
|
|
|
|
17. Постройте параметрическое уравнение кривой Безье по |
|||||
узловым точкам: P0 (10;36) , P1 (30;12) , P2 (40;29) . |
|
|||||
– 113 –
Литература
1.Кнут Д.Э. Искусство программирования / Д.Э. Кнут ; пер. Ю.В. Козаченко. – М.: Вильямс, 2003. – 832 с.
2.Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.:
Мир, 1989. – 360 с.
3.Мэтьюз Д.Г. Численные методы. Использование MATLAB
/Д.Г. Мэтьюз, К.Д. Финк. – 3-е изд. – М.: Вильямс, 2001. – 720 с.
4.Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. – М.: Мир, 1977. – 584 с.
5.Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль / А.Е. Мудров. – Томск: РАСКО, 1991. – 272 с.
6.Соболь И.Д. Численные методы Монте-Карло / И.Д. Со-
боль. – М. : Наука, 1973. – 312 с.
7.Роджерс Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. – М.: Мир, 2001. – 604 с.
– 114 –
Оглавление |
|
Предисловие................................................................................................. |
3 |
1. СОРТИРОВКА ДАННЫХ...................................................................................... |
5 |
1.1. Сортировка подсчетом......................................................................... |
6 |
1.2. Сортировка вставками......................................................................... |
9 |
1.3. Сортировка выбором.......................................................................... |
11 |
1.4. Обменная сортировка «пузырьком»................................................. |
13 |
1.5. Сортировка методом Шелла.............................................................. |
14 |
1.6. «Быстрая» сортировка........................................................................ |
16 |
1.7. Сравнение алгоритмов сортировки.................................................. |
18 |
1.8. Вопросы и упражнения...................................................................... |
20 |
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ....................................................... |
22 |
2.1. Метод половинного деления (дихотомии) ...................................... |
24 |
2.2. Метод хорд (ложного положения).................................................... |
26 |
2.3. Метод Ньютона (касательных) ......................................................... |
29 |
2.4. Модифицированный метод Ньютона............................................... |
32 |
2.5. Метод секущих................................................................................... |
34 |
2.6. Метод Мюллера.................................................................................. |
36 |
2.7. Метод итераций.................................................................................. |
38 |
2.8. Эффективность численных методов решения уравнений ............ |
42 |
2.9. Вопросы и упражнения...................................................................... |
43 |
3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ................................................................ |
45 |
3.1. Метод Крамера................................................................................... |
45 |
3.2. Метод Гаусса ...................................................................................... |
47 |
3.3. Итеративный метод Якоби................................................................ |
53 |
3.4. Итеративный метод Гаусса – Зейделя.............................................. |
54 |
3.5. Вопросы и упражнения...................................................................... |
55 |
4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ................................................................ |
57 |
4.1. Метод прямоугольников.................................................................... |
58 |
4.2. Метод трапеций.................................................................................. |
64 |
4.3. Метод парабол (Симпсона или Ньютона – Симпсона) ................. |
66 |
4.4. Метод Симпсона 3/8........................................................................... |
70 |
4.5. Метод Буля.......................................................................................... |
71 |
4.6. Сравнение различных методов по точности приближения.......... |
71 |
4.7. Численное интегрирование методом Гаусса – Лежандра............. |
73 |
4.8. Численное решение интеграла методом Монте-Карло................. |
79 |
4.9. Вопросы и упражнения...................................................................... |
83 |
5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОЛИНОМАМИ .................... |
86 |
5.1. Интерполяция алгебраическим полиномом.................................... |
86 |
5.2. Интерполяционный полином Лагранжа.......................................... |
88 |
5.3. Интерполяционный полином Ньютона............................................ |
89 |
– 115 – |
|
5.4. Интерполяция параболическим сплайном........................................ |
91 |
5.5. Интерполяция кубическим сплайном............................................... |
95 |
5.6. Метод наименьших квадратов......................................................... |
100 |
5.7. Интерполяция тригонометрическим полиномом ......................... |
106 |
5.8. Интерполяция кривой Безье............................................................. |
108 |
5.9. Вопросы и упражнения..................................................................... |
112 |
Литература................................................................................................ |
114 |
– 116 –