Дополнительные главы математики.-2
.pdf
|
e |
pt |
|
|
1 |
lim e |
|
(n) |
|
1 |
lim t |
|
||
|
|
|
|
|
pt |
|
n |
|||||||
Re s |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
p 0 |
p |
|
|
n! p 0 |
|
|
|
n! p 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, мы ещё раз доказали, что |
L(t |
|||||||||||||
e |
pt |
|
|
|
n |
) |
|
|
t |
n |
|
= |
|
||
n! |
|||
|
|||
n! |
|
p |
n 1 |
|
|
.
, другим способом.
Из этого также следует такая теорема:
Теорема 3 (1-я теорема разложения) Если изображение
|
|
c |
n |
|
|
|
|
|
|
t |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F ( p) |
|
|
|
|
то его оригинал |
f (t) (t) cn . |
||||||
|
|
n 1 |
|
|||||||||
n 0 |
|
p |
|
|
|
|
|
n 0 |
n! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следует из |
L(t |
n |
) |
n! |
и линейности преобразования Лапласа. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
p |
n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти обратное преобразование Лапласа для |
||||||||||||
F ( p) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1)( p 2) |
|
|
|
|
|
|||||||
( p |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Способ 1.
Re
pe pt
p 2
|
pe |
pt |
|
s |
|
||
( p 1)( p |
|||
|
|||
|
|
pe pt |
|
|
p 1 |
p 1 |
|||
|
||||
|
|
|
||
2)
p 2
=
= |
e |
|
|
||
|
Re s |
|
|
|
p 1 |
( p |
||
t |
2e |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
pe |
pt |
|
pe |
pt |
|
|
Re s |
|
|||
1)( p 2) |
( p 1)( p 2) |
||||
p 2 |
|||||
= 2e2t et .
=
41
Вспомним также о том, что для получение оригинала нужно домножить на функцию Хевисайда.
Ответ.
f (t) (t)(2e |
2t |
|
e |
t |
) |
|
.
Способ 2. Разложить на простейшие дроби и воспользоваться тем, что
доказали ранее: |
L(e |
at |
) |
|
1 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
p a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p |
|
A |
|
|
|
|
B |
|
= |
|
A( p 2) B( p 1) |
тогда числители |
|
|
( p 1)( p 2) |
p 1 |
p 2 |
|
( p 1)( p 2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
соответствуют между собой так:
A( p 2) B( p 1) 1p 0
( A B) p ( 2A B) 1p 0
Система уравнений:
|
A B 1 |
|
|
2A B 0 |
|
|
||
|
сложим уравнения, увидим, что
A 1 |
, |
||
|
|
||
2 |
|
||
p 2 |
|||
|
|
||
f (t) |
|||
тогда |
A 1 |
, |
B 2 |
. |
|
|
1 |
. Учитывая, что |
||||
p 1 |
|||||
|
|
|
|
||
(t)(2e |
2t |
e |
t |
) . |
|
|
|
||||
Таким образом, разложение имеет вид
L(e |
at |
) |
1 |
, получим |
|
||||
|
p a |
|||
|
|
|
|
42
ЛЕКЦИЯ 4. 26.03.2019
§3. Свойства преобразования Лапласа.
1.Линейность. L(af (t) bg(t)) aF ( p) bG( p) .
Доказательство. Следует из свойства линейности интеграла, а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
именно: |
L(af (t) bg(t)) |
= |
|
(af (t) bg(t))e |
pt |
dt |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
af (t)e |
pt |
dt bg(t)e |
pt |
dt |
= a |
f (t)e |
pt |
dt b g(t)e |
pt |
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
=
aF ( p) bG( p) .
Применения линейности на практике весьма обширны, во многих примерах можно разбить функцию на множество слагаемых более простой структуры, преобразования Лапласа которых известны.
|
L( f (at)) |
1 |
F |
p |
|
2. Свойство подобия. |
|
|
. |
||
|
|
a |
|
a |
|
Доказательство. Здесь, в отличие от преобразования Фурье, имеет
смысл только a 0 , потому что оригинал |
f (at) также должен быть |
|
отличен от |
0 именно на правой полуоси. |
|
|
|
|
L( f (at)) = |
f (at)e ptdt , далее нам надо сделать замену с целью |
|
|
0 |
|
привести выражение к какой-то одной переменной под знаком
x at , при этом dx a dt , dt dxa .
f
.
43
|
|
|
|
|
|
|
px |
dx |
|
1 |
|
|
p |
x |
|
1 |
p |
||
|
|
pt |
|
|
f (x)e |
|
|
f (x)e |
|
|
|||||||||
f (at)e |
dt |
= |
|
a |
|
= |
|
|
a |
dx |
= |
|
F |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
a |
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Рассмотрим, как разаимосвязаны преобразования Лапласа от
sin t и sin( at) . Ранее мы выводили формулу L(sin at) |
|
a |
|
. |
|||||||||||||||||||||
2 |
a |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В частности, тогда |
L(sin t) |
|
|
1 |
. Если к ней применить свойство |
||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
подобия, то: |
L(sin at) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
a |
|
p |
2 |
|
|
a |
p |
2 |
a |
2 |
p |
2 |
a |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. «Теорема запаздывания». |
|
|
L( f (t a)) e pa F( p) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Доказательство. Вычитание под знаком функции равносильно сдвигу вправо, а так как оригинал был равен 0 при t 0 , то будет равен 0 при t a , то есть интегрирование начинается с абсциссы a (левее всё равно 0).
L( f (t a)) = f (t a)e ptdt
a
Далее опять стараемся привести к какой-либо одной переменной под знаком f , делаем замену x t a , при этом x (0, ) , dx dt .
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t a)e |
pt |
dt |
= |
|
||||
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pa |
|
f (x)e |
px |
dx |
= |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)e |
|
||
|
|||
e |
pa |
F ( |
|
|
|||
p( x
p)
a)dx
.
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
f (x)e |
px |
pa |
dx |
e |
|
=
4. «Теорема смещения».
Доказательство. |
L(e |
at |
f (t |
|
L(e |
at |
|
|
)) = |
|
f (t)) F( p a) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t)e |
at |
e |
pt |
dt |
= |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
f (t)e |
( p a)t |
dt |
|
=
F ( p a) . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти L(e |
5t |
sin 3t) . Зная, что |
L(sin 3t) |
|||
|
|||||||
вместо p |
записать ( p 5) |
, а именно: |
L(e |
5t |
sin 3t) |
||
|
|||||||
5. Дифференцирование оригинала.
L( f (t)) pF ( p) f (0) .
3
p2 9
(p
, достаточно
3 |
|
. |
|
|
2 |
||
5) |
9 |
||
|
Доказательство.
L( f (t)) =
|
|
|
|
|
f (t)e |
pt |
dt |
|
|||
0 |
|
|
|
. Здесь можно применить
интегрирование по частям, причём обозначив v f .
u e |
pt |
|
u pe pt
v f (t)
v f (t)
45
|
pt |
|
|
|
pt |
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
= |
f (t)e |
|
0 p f (t)e |
dt = (0 f (0)) pF ( p) . |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
f (t)e |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Следствия. |
|
Рассмотрим |
2-ю производную от оригинала. Если в |
|||||||||
качестве «базовой» функции рассматривать теперь |
|
|
||||||||||
f (t) (можно её |
||||||||||||
обозначить |
g (t) ) то ранее доказанная формула применима к |
g (t) |
||||||||||
таким образом:
|
|
|
|
|
|
|
p L( f |
|
f |
|
L( f (t)) = |
L(g (t)) pG( p) g(0) = |
) |
(0) |
|||||||
p pF( p) f (0) f (0) = |
p |
2 |
F ( p) pf (0) |
|
|
|
||||
|
f (0) . |
|
||||||||
Аналогично, |
L( f ) pL( f ) f (0) |
= |
|
|
|
|||||
3 |
F ( p) p |
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
p |
|
f (0) pf (0) |
(0) . |
|
|
|
|
|||
Общая формула:
=
L f |
(n) |
= |
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
||
p |
F ( p) p |
f (0) |
p |
f |
|
(0) ... |
f |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример. Покажем взаимосвязь между |
L(sin t) |
||||||||||||||||||
|
|
|
L(sin t) |
|
1 |
|
, L(cos t) |
|
|
p |
|
||||||||
свойству. |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
p 2 |
1 |
p2 1 |
|
||||||||||||||||
L(cos t) |
L((sin t) ) p |
|
1 |
|
sin( 0) |
= |
p |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
p2 1 |
p2 1 |
||||||||||||||||||
(n
и
0
1) |
(0) . |
|
|
L(cos t) |
|
.
по этому
6. Интегрирование оригинала.
Если
h(t)
есть первообразная от
f
(t)
, то L(h(t)) F ( p) . p
46
Доказательство.
Рассмотрим первообразную как интеграл с переменным верхним
пределом:
t h(t)
0
f
(t)dt
. Тогда
0 h(0)
0
f (t)dt
0
,
т.е. в любом
случае, даже если график f (t) начинается не от точки |
(0,0), а с |
|
какой-либо ненулевой ординаты, |
функция h(0) 0 |
(площадь |
криволинейной трапеции возрастает от значения 0). |
|
|
При этом, очевидно, h |
|
|
f . Запишем равенство из предыдущего |
|||
|
||||||
свойства для |
h(t) : |
|
|
|
||
L(h ) pH ( p) h(0) |
|
L( f ) pH ( p) F ( p) pL(h(t)) |
||||
L(h(t)) |
F ( p) |
. |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7. Дифференцирование изображения.
Доказательство.
F ( p) L(t f (t))
.
F ( p) f (t)e
0
Следствия. F (
|
|
ptdt |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
p) L(t 2 |
f |
|||
|
pt |
|
|
f (t)e |
p dt |
||
|
(t)) ,
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
tf (t)e |
pt |
dt |
|
=
L(t f (t))
47
F ( p) L(t |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
F |
(n) |
( p) ( 1) |
n |
|
|
|
|||
Пример. |
L(cos |
||||||
|
p |
2 |
1 |
|
|
||
= |
|
|
. |
||||
( p |
2 |
1) |
2 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
f (t)) , ... |
|||||
L(t |
n |
|
f (t)) |
||
|
|||||
t) |
|
p |
|||
p |
2 |
1 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
||
.
|
p |
|
|
|
|||
L(t cos t) |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
=
( p |
2 |
1) 2 p |
2 |
|||
|
|
|||||
|
( p |
2 |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t |
) |
1 |
|
Пример. L(e |
p 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
( p |
1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
||
L(t2et ) |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
= |
|
|
|||
|
( p 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( 1)( 2) |
|
( p 1) |
3 |
|
|
=
|
|
f (t) |
|
|
|||
8. Интегрирование изображения. F ( p)dp L |
|
. |
|
|
|||
p |
|
t |
|
|
|
|
|
Доказательство. Здесь интеграл от изображения - это интеграл от комплексной функции по кривой в плоскости.
48
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F ( p)dp |
= |
|
|
|
|
f (t)e |
pt |
dt |
|
dp |
, сменим порядок интегрирования, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
|||||
получим |
|
|
|
|
f (t)e |
pt |
dp |
|
dt |
= |
|
|
|
e |
pt |
dp |
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
0 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
f |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
|
f (t) |
|
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
e |
dt |
= |
L |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
f (t) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=
Решение дифференциальных уравнений с помощью
преобразования Лапласа.
Используя свойство 5, можно решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. Преобразуя левую часть уравнения, получим алгебраическое уравнение,
содержащене различные
p |
n |
X ( p) |
|
, вместо дифференциального.
Пример 1. x x 0 ,
Решение. Преобразуем
Тогда |
|
L(x ) pX ( p) |
x(0) 1.
левую и правую часть. Обозначим
x(0) .
L(x)
X ( p)
.
pX ( p) x(0) X ( p) 0 |
|
( p 1) X ( p) 1 |
далее ищем обратное преобразование Лапласа.
X ( p)
1 p 1
,
Re s |
e pt |
|
p 1 |
||
p 1 |
= e pt
p 1
= e
t
.
Ответ. x(t) et .
49
|
|
0, |
x(0) 3 , |
|
|
|
|
|
||
Пример 2. x x |
x (0) 1 . |
|
||||||||
Решение. Раньше, во 2 |
семестре, мы решали подобные задачи с помощью |
|||||||||
характеристического |
уравнения: |
|
k |
2 |
1 0 , его |
корни 1 и 1, общее |
||||
|
|
|||||||||
решение x(t) С1e |
t |
С2e |
t |
, затем подставляли условия Коши и находили |
||||||
|
|
|||||||||
частное решение. Сейчас сделаем методом преобразования Лапласа. |
||||||||||
Преобразуем правую и левую часть. Обозначим L(x) X ( p) . Тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
L(x ) pX ( p) x(0) , |
L(x ) |
p |
|
X ( p) px(0) |
x (0) . |
|||||
При этом мы автоматически учитываем и условия Коши, ведь в формулах
преобразования Лапласа от производных уже есть |
x(0) |
и |
|
x (0) . |
p |
2 |
X ( p) px(0) x (0) |
X ( p) 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
( p |
2 |
1) X ( p) 3 p 1 |
|
0 ( p |
2 |
1) X ( p) 3 p 1 |
|||||||
|
|
||||||||||||
Ищем обратное преобразование Лапласа. |
|
|
|||||||||||
Re s |
(3 p 1)e pt |
= |
(3 p 1)e pt |
|
|
(3 p 1)e pt |
|
||||||
|
p 1 |
|
|
|
p 1 |
||||||||
|
|
|
|
( p 1)( p 1) |
|
|
|
|
p 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
e |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p 1
X ( p)
|
4e |
t |
|
= |
|
||
2 |
|||
|
|
3 p 1 p2 1 .
2e t
2
=
Ответ.
x(t) 2e |
t |
|
e |
t |
|
.
50