Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики.-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

2 y

В каждом из слагаемых, происходит дифференцирование формуле полной производной. Если бы оно применялось

по

, то

было бы

, только вместо

здесь

u	,	u
z		w

Также вспомним про коэффициент 2, бывший в условии.

2 y

u z

z z y

z w y

w z y

w w y

Кроме того, из равенств																	z			x					y		и			w			x	y
Кроме того, из равенств																	z				2				2		и			w			2	2
																					2				2								2	2
заодно					z			1		,			w			1		, тогда
заодно					y				2	,			y				2	, тогда
					y				2				y				2
				2	u		1				2		u	1									2	u		1					2	u	1
2																			2															=
2			z z				2		z w						2				2		w z					2				w w			2	=



	2	u				2	u			2		u				2	u					2	u				2	u
		u					u					u					u		=				u					u		.
z z					z w				w z						w w				=		z		2			w			2	.
z z					z w				w z						w w

получаем

Дифференциальное уравнение

		2	u
2				0
	x y

свелось к виду

2u 2u 0 . После замены переменных смешанных производных

z 2 w2

нет. Кстати, заметим, что собственные числа 1 и

коэффициентами нового уравнения.

оказались

Если знаки всех коэффициентов

aii

в части

n		2	u
aij
	x		2
i 1			i

одинаковы, то

уравнение называется эллиптическим, если разные, то гиперболическим, а если среди них есть нулевые коэффициенты, то параболическим. Так, волновое уравнение - гиперболическое, у

уравнение теплопроводности (диффузии) параболическое.

ЛЕКЦИЯ 8. 21.05.2019

ГЛАВА 5. О некоторых численных методах.

В следующих семестрах будет отдельный курс вычислительной математики, сейчас же краткий обзор некоторых задач и методов,

которые будут полезны для специальности 09.03.01, связанной с информатикой и программированием.

Часто возникают задачи, связанные с обработкой тех или иных экспериментально полученных массивов информации, определением функциональной зависимости между величинами.

1.Метод наименьших квадратов и его обобщение.

2.Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Кроме того, мы рассмотрим:

3. Метод Ричардсона для вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений.

В самом начале темы «ряд Фурье» мы уже сталкивались с наименьшим среднеквадратичным отклонением. Вспомним, что в одной из задач мы искали прямую, обладающую наименьшим среднеквадратичным отклонением от некоторой функции. Однако эта идея применима не только к функциям, но и к дискретным массивам

данных. Допустим, что проведена серия из			n	экспериментов,			в
результате	чего получены n	пар числовых	величин:		x1	, y1 , ...	,
xn , yn .	Требуется найти	прямую y kx b ,			для	которой
		n
среднеквадратичное отклонение (kxi b) yi 2				по отношению к

n 1

данному массиву будет наименьшим. Чтобы найти

найти частные производные этой величины по	k
экстремум, приравнивая их к 0.

такие k , b , b и затем

нужно

найти

n		i					i
		i					i	2
	(kx		b) y
n 1
n
k 2 xi			2 2kxi b
n 1
	n	k
			2		i	2		i
			2	x		2	2kx
k				x			2kx
k	n 1
	n 1
	n	k
			2		i	2		i
			2	x		2	2kx
b				x			2kx
b	n 1
	n 1

Попутно можно

(kxi b)

2(kxi

b) yi yi

n 1

b2 2kx y

2by

y 2 .

b b

2kxi yi

2byi

= 2kxi

n 1

2kx 2b

b b

2kx y

2by

n 1

сократить все равенства на 2. Итак,

x	b 2x	y
i	i	i

2 yi .

требуется:

n	kx
	i	2
		2
n 1

x	b
i

x	y
i	i

	n	kx
		kx
		i
	n 1

y
i

. Напомним,

что здесь

неизвестные это

k , b . Мы

уравнений относительно них:

можем построить систему линейных

	n		n	n		n	n	n
k xi		2	b xi xi yi		k xi 2		b xi xi yi
	n 1		n 1	n 1		n 1	n 1	n 1
	n		n	n		n		n
	k xi b yi					k xi nb yi
	k xi b yi					k xi nb yi
	n 1		n 1	n 1		n 1		n 1

Все суммы состоят из заранее заданных величин.

Решая эту систему вида a11k a12b a10 , мы и найдём

a21k a22b a20

k , b

А теперь для примера,

точках. Пусть (0,1), (1,2)

попробуем,

две точки. x1

как этот

метод

работает на 2

2 .

k b 2	b 1	k 1	. Ответ: прямая	y x 1 .

k 2b 3

Кстати, это как раз и есть прямая, содержащая две данные точки.

Обобщение метода на произвольную степень. Прямая может оказаться весьма грубым приближением. Естественно, возникает мысль аналогичным образом найти многочлен произвольной степени,

обладающий тем же свойством (наименьшее среднеквадратичное отклонение). Пусть рассматривается многочлен произвольной

степени, равной n , и дано m точек.	f (x) a0 a1x a2 x	2	... an x	n	.

	m
	2
При этом	f (xi ) yi
	i 1
минимально.

Найдём производные по всем ai .

a x

... a

i 1

a x

... a

x n

i 1

	m
=
	i 1

m = 2 a0

i 1

=2 a0

i 1

a								n		2
		a x		... a		x			y
	0		i		n		i
		1							i

a1 xi ... an xi n yi

a1 xi ... an xi n yi xi 2

			n	2
	m			yi	m
a	a0	a1 xi ... an xi		yi	=
a	i 1				i 1
2	i 1				i 1
...
			n	2
	m			yi	m
a	a0	a1 xi ... an xi		yi	=
a	i 1				i 1
n	i 1				i 1

Приравниваем все эти авражения к последнее слагаемое переноим вправо.

2 a

a x

... a

2 a

a x

... a

0, попутно сократив на 2, а

Получим:

a x

... a

i 1

n 1

a x

... a

i 1

n 2

a x

... a

i 1

...

n 1

a x

...

i 1

Это можно рассматривать как систему линейных уравнений порядка n 1 с неизвестными a0 , a1, a2 ,..., an .

Решая её, можно найти многочлен, осуществляющий наилучшее среднеквадратичное приближение массива данных.

...

i 1

n 1

...

x y

i 1

...

2 y

2 a

3 a

x n 2 a

i 1

...

n 1

...

i 1

При

количестве

точек,

равном

m n 1,

получится точное

решение: многочлен

степени

. Так, для 2 точек прямая (это мы уже

видели выше), а 3 точек квадратичная парабола будет точным решением.

Если массив данных состоит из сотен или тысяч элементов, то многочлен такой высокой степени и не потребуется: после нескольких шагов мы увидим стабилизацию многочлена, то есть последующие коэффициенты будут довольно малы. Таким способом можно будет получить функциональную зависимость, представлена она будет,

фактически, формулой Тейлора этой функции. К примеру, если точки

расположены на графике	y e	x	, программа вычисляет указанным

выше методом следующие коэффициенты многочлена:

И действительно, коэффициенты разложения

y e	x

в ряд Тейлора:

1,1,	1	,	1	,	1	,...
	2!		3!		4!

близки к этим значениям.

Сейчас мы рассмотрим ещё один способ получения функциональной зависимости по массиву данных.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

	n		k	x x
			k
P(x)		y					i
P(x)		y		x		x
	k 1		i k	x	k	x		i
	k 1		i k		k			i

Это многочлен степени

любого номера i .

  

, который обращается в

в точке

для

Подробнее: Для 2 точек:

f (x) y
	1
В точке	x

x x1

y			x x
y						1
						1
		2	x		x
			x	2	x
				2			1
y	x		x
y		1				2
		1				2
1	x		x
	x		x			2
		1				2

многочлен 1-й степени.

	x		x
y2		1	1	= 1y1	0y2	y1
y2	x		x	= 1y1	0y2	y1
	x	2	x
		2	1

В точке x x

= 0y 1y

2 x

1 x x

Для 3 точек:

	(x x		2	)(x x		)				(x x )(x x					3	)				(x x )(x x					2	)
f (x) y			2		3			y				1			3			y				1			2
f (x) y								y	2									y	3
1	(x	x		)(x	x		)		2	(x		x )(x		x			)		3	(x	x		)(x	x				)
	(x	x	2	)(x	x	3	)			(x	2	x )(x	2	x			)			(x	x	2	)(x	x			2	)
	1		2	1		3					2	1	2			3				3		2	3				2

многочлен 2-й степени.

В точке x x1 :

Аналогично, f

	f (x
		1
(x	2	)
	2

) y

1 2 ,

y	0 y	2
1		2

f (x	3	)
	3

0 y3

Численные методы вычисления интегралов. Метод прямоугольников,

метод трапеций.

Пусть отрезок элементарных

[a, b] разбит на

отрезков

[xi 1 ,

несколько частей, затем на каждом из

xi ]

взято значение в точке

составлена сумма

Sf (xi )(xi

i 1

x	i 1	)
	i 1

, при n значение этой

суммы стремится к

(x)dx

. Можно рассматривать равномерное

разбиение с шагом

h xi

xi 1

b a n

. Тогда

i 1

(x	)h
i

. Однако

погрешность достаточно велика (на чертеже закрашено серым цветом). Гораздо более точный результат (при том же самом шаге h )

получится, если вместо прямогульников рассматривать трапеции. На чертеже отклонение графика от трапеции показано жёлтым цветом.

Приближённое значение, вычисленное таким образом, выражается

суммой

n	f (x		)
S	f (x	i 1	)
S

i 1			2
i 1

(x	)
i		h
		h

. При этом каждая точка

(кроме

крайних) учитывается 2 раза: сначала она является правой границей предыдущего отрезка, затем левой границей следующего.

	f (x		0	) f (x	)		f (x	) f (x	2	)				f (x	n 1	) f (x	n	)
S			0	1		h	1		2		h ...				n 1		n		h =
S				2		h		2			h ...					2			h =
				2				2								2
f (x0 )		h	f (x1 )h		... f (xn 1 )h				f (xn )			h	.
f (x0 )		2	f (x1 )h		... f (xn 1 )h				f (xn )			2	.
		2										2
		В идеале,			мы стремимся сделать шаг										h 0 . Понятно, что это

недостижимо, так как потребовало бы бесконечного количества

вычислений. Однако есть способ приблизиться к h 0 .
Допустим, что мы сначала сделали вычисление с шагом	h ,

получим результат

затем с шагом

h 2

, при этом мы получим

насколько-то более точный результат a1 . Затем ещё раз разделим

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023258 Кб3Дополнительные главы информатики-2..pdf
#
05.02.2023650 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023429 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371 Кб8Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023325 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20232 Мб2Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20232 Мб2Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827 Кб1Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231 Мб2Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232 Мб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023123 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf