Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

лу

формулу интегрирования

по

частям.

Положим

, dV sin xdx .

Тогда

x 1

dV sin xdx cos x C

и можем положить V cos x . Да-

лее получаем

sin x

dx lim

cos x

cos x dx

lim

cos x

lim

dx .

	Предел выражения справа существует, так как оба сла-
гаемых	имеют	конечный	предел.	Действительно

cos x

lim

, а так как интеграл

сходится абсо-

лютно при

(показано выше), то существует и конечен

предел второго слагаемого.

Поэтому существует предел выра-

sin x

жения слева и,

следовательно, интеграл

dx сходящийся.

Аналогично показывается,

что при любом

0 1

интеграл

cos x

сходится. Покажем теперь, что при любом

0 1

sin x

интеграл

dx не является абсолютно сходящимся. Дейст-

вительно, для всех вещественных чисел выполнено неравенство sin 2 x sin x . Следовательно, можем записать

sin x

	A	sin x
	A	sin x
dx lim

		x
A		x

	A sin		2	x		A	1 cos 2x
dx lim					dx lim			dx
dx lim		x			dx lim		2x	dx
A		x			A		2x

A cos 2x

lim

dx .

Так как при

0 1

интеграл

расходящийся и

cos 2x

0 ,

то lim

. Далее, интеграл

сходящий-

ся,

так

как

можем

записать

cos 2x

cosu

dx 2 2

d (2x) 2 2

du ,

а последний ин-

(2x)

теграл сходящийся. Следовательно, предел второго слагаемого

sin x

конечен. Тогда lim

dx и поэтому

расходит-

ся.

Заметим, что при 1 эти примеры рассмотрены в [5] и

[8].

2 sin x

Пример 9. Выяснить сходимость интеграла

dx.

2 sin x

Так как

для всех x 1,

а интеграл

сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

Пример

10.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

x(x 1)

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

, получаем

если 2;

lim

если 2;

x x(x 1)

если 2.

Таким

образом,

порядок

малости

подынтегральной

функции относительно

равен 2 и так как

сходится, то

исходный интеграл сходится.

Пример

11.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

(x 1)

x 2

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

получаем

если 1,5;

lim

если 1,5;

x (x 1) x 2

если 1,5.

Таким

образом,

порядок

малости

подынтегральной

функции относительно

равен 1,5 и так как

сходится,

x1,5

то исходный интеграл сходится.

Пример12.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

(x 2)3

x 5

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

, получаем

если

;

lim

если

;

x (x 2)3 x 5

если

Таким образом, порядок малости подынтегральной

функции относительно

равен

и, следовательно, интеграл

сходится.

x 2

Пример 13. Выяснить сходимость интеграла

dx.

x2 4

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

, получаем

если 1,5;

x 2

если 1,5;

lim

если 1,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной

функции относительно

равен

1,5 и, следовательно, интеграл

сходится.

Пример

14.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

, получаем

если 0,5;

lim

если 0,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной

функции относительно

равен

0,5 и, следовательно, интеграл

расходится.

Пример 15. Интеграл

e x2 dx

сходится, так как имеет

место оценка e x2

xe x2

для всех

x 1 , а интеграл

xe x2 dx ,

как было показано ранее, сходящийся.

Пример 16. Интеграл dx расходится, так как имеет e ln x

место

оценка

для всех x e ,

а инте-

ln x

x ln x

грал

, как было показано ранее, расходится.

ln x

2.6.2. Несобственные интегралы второго рода

Предположим

теперь,

что подинтегральная

функция

f (x) неограничена на промежутке (a,b) . Эта особенность может быть в точках a, b или во внутренней точке этого проме-

жутка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке b , то есть в случае, когда функция f (x) неограничена в некоторой

окрестности точки b . При этом функцию будем считать задан-

ной на полуинтервале [a,b) . Рассмотрим интеграл f (x)dx от

функции f (x) по несколько меньшему отрезку [a,b ] , вхо-

дящему в полуинтервал [a,b) . Устремляя в интеграле f (x)dx

верхний предел интегрирования к точке b , то есть при стремящемся к нулю, получаем понятие несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции). Формализация рассмотренной идеи приводит к следующему определению.

	Определение. Пусть	f (x) задана на полуинтервале
[a,b)	и неограничена вблизи точки b		(в некоторой окрест-
ности	точки b ). Пусть далее для всякого 0 b a суще-
	b		b
ствует интеграл f (x)dx.		Предел lim	f (x)dx называется
	a	0	a
	a		a

несобственным интегралом второго рода (интегралом от не-

ограниченной функции) и обозначается f (x)dx. Если

lim f (x)dx существует и конечен, то несобственный инте-

грал второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция неограниченна вблизи точки a , во внутренней точке отрезка [a,b] ,

вблизи точек a и b одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

												1		dx					1	dx
				Пример 1. Рассмотрим										dx	. Пусть			1. Тогда		dx
				Пример 1. Рассмотрим											. Пусть			1. Тогда
												0		x					0		x
												0							0
	1	dx			lim ln x			1 lim (ln1 ln ) . Таким образом, рас-
lim


0			x		0					0
0			x		0					0
смотренный интеграл при 1 расходится. Пусть теперь
1.			Тогда
					1				1					1		1	1
					1				1					1		1	1
						dx					dx		x						при 1,
						dx					dx		x						при 1,
							lim					lim
					x		lim		x			lim	1				1
					x		0		x			0	1				1
					0														при 1,
					0														при 1,

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл

при 1 сходится и при

1 расходится. Аналогичные выво-

ды можно

сделать

про

несобственные интегралы

(x a)

(b x)

Интегралы

используются в

(x a)

(b x)

признаке сравнения в качестве эталонных.

Пример 2. В интеграле dx подынтегральная функ-

1 x ln x

ция

имеет

особенность

точке

x 1 ,

поэтому

ln x

lim

lim 2

ln x

1 x

ln x

0 1

ln x

2 .

lim

ln e

ln(1 )

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

Пример

3. В

интеграле

подынтегральная

x ln x

функция имеет особенность в точках x 0

и x 1 , поэтому ин-

теграл

разбиваем

на

сумму

двух,

например,

0,5

Для

первого

из них

x ln x

ln x

0,5

d ln x

0,5

lim

lim 2

ln x

0 x ln x

ln x

) . Следовательно, интеграл рас-

lim

ln 0,5

ходится, и поэтому исходный интеграл также расходится.

1/ e

Пример 4. В интеграле

подынтегральная функ-

x ln 2 x

ция

имеет

особенность в

точке

x 0 ,

поэтому

1/ e

1/ e d ln x

1/ e

lim

x ln

ln x

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

Пример 5. Выясним сходимость интеграла dx .

0 1 x2

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 1.

																							1					dx									1			dx
Поэтому																												dx				lim								dx


																							0				1 x				2				0		0		1 x				2
																							0				1 x										0		1 x
lim arcsin x								1 lim (arcsin(1 ) arcsin 0)																						.					Следовательно,
lim arcsin x								1 lim (arcsin(1 ) arcsin 0)																						.					Следовательно,
		0						0			0															.				2
		0						0			0																			2
интеграл сходится и его значение равно
																										2
																																				2		dx
				Пример 6. Выяснить сходимость интеграла																																		dx			.


																																						x 1
																																				1
				Подынтегральная функция имеет особенность в точке
x 1 .											По									определению																				имеем
2			dx						2		dx											2											2
2									2																								2


					lim										lim		2		x	1				2				x 1)								2 .				Следо-
					lim										lim		2		x	1				2				x 1)								2 .				Следо-
			x 1				0				x 1					0						1											1
			x 1				0				x 1					0						1
1								1
вательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
																																				2		dx
				Пример 7. Выяснить сходимость интеграла																																		dx				.


																																						2 x
																																				1
				Подынтегральная функция имеет особенность в точке
x 2 .											По									определению																				имеем
2			dx						2				dx			lim 2									2
			dx			lim							dx								2 x							2 .							Следовательно,

			2 x									2 x
1			2 x				0		1			2 x				0									1
1									1
интеграл сходится и его значение равно 2.
																																				3		dx
				Пример 8. Выяснить сходимость интеграла																																		dx				.


																																					3	2 x
																																				1
				Подынтегральная функция имеет особенность в точке
x 2 .						Поэтому							разбиваем								интеграл										на					сумму						двух
3			dx				2		dx					3		dx
			dx						dx							dx		.	Для					первого										из			них			имеем


3			2 x				3		2 x					3		2 x
3			2 x				3		2 x					3		2 x
1							1							2
2			dx						2				dx					3											2					3

																											2
						lim										lim				3 (2 x)																.	Аналогично
	3					lim				3						lim				3 (2 x)																.	Аналогично
1			2 x				0		1			2 x				0 2													1					2
1									1																				1

доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно, исходный интеграл сходится.

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 2.11.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для вся-

кого 0 существует	0 такое, что для всех		1, 2	вы-
	b 2
	b 2
полняется неравенство	f (x)dx	.
	b 1
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.12. Пусть для всякого b x b выполнено
			b
неравенство 0 f (x) g(x) . Тогда если интеграл			g(x)dx схо-
			a
b				b
дится, то интеграл f (x)dx сходится, а если интеграл				f (x)dx
a				a

расходится, то интеграл g(x)dx расходится.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Теорема 2.13. Если f (x) и g(x) - бесконечно большие

одного порядка роста, то есть lim f (x) K 0, , то интегралы

x b g(x)

b b

f (x)dx и g(x)dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.

a a

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Замечание. После изучения теоремы 2.13 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла второго рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно большой при x b . То, что это не так, показывает следующий пример.

Пусть функция

f (x) 0 ,

lim

f (x)

интеграл

x b

f (x)dx

сходится. Пусть

xn n 1

–

возрастающая последова-

тельность точек интервала

(a,b) , сходящаяся к точке b . Возь-

мем функцию (x) , график которой на отрезке [a, x1 ]

совпадает

с графиком функции f (x) , а на интервале (x1 ,b)

состоит из от-

резков прямых, соединяющих

точки

x2k 1, 0 ,

x2k , f x2k ,

x2k 1, 0 ,

k 1, 2,....

Функция

(x)

не

является бесконечно

большой,

так

как

lim (x)

не

существует

( lim x2k 1 0, lim x2k ).

x b

По

теореме 2.12,

интеграл

(x)dx сходится, так как по построению 0 (x) f (x) .

Пример 9. Для интеграла

подынте-

x 2 3 3 x2

гральная функция имеет особенность в точках x 2 и x 3 . Точки x 3 в промежуток интегрирования не входят. По-

этому, находя порядок роста этой функции относительно

x 2

имеем

(x 2)

если 0,5;

lim

если 0,5;

x 2

3 x

x 2

если 0,5.

Таким образом, порядок роста равен 0,5, и интеграл схо-

дится.

Пример 10. В интеграле

подынтеграль-

x 1 3

9 x2

ная функция имеет особенность в точках x 1 и		x 3 . Точки
x 1 и	x 3 в промежуток интегрирования не входят. Поэто-
	70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб51Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf