Математика.-5

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 12. В интеграле

подынтегральная

Пример 12. В интеграле

подынтегральная

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

му, находя порядок роста этой функции относительно																					1	,
му, находя порядок роста этой функции относительно																					3 x	,
имеем
	lim				(3 x)

					x 1				9 x
	x 3						3			2
												,				если	1		;
		(3 x)										,				если	3		;
																	3
											1							1
lim											1				,	если		1	;
																		3
	x 1		3	3 x		3		3 x			2		3	6				3
x 3	x 1			3 x				3 x			2			6		если	1			.
x 3
											0,
																	3
																	3

Таким образом, порядок роста равен 3 , и интеграл схо-

дится.

Пример 11. Выясним сходимость интеграла sin x dx .

0 x2

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0 . Находя порядок роста этой функции относительно 1x ,

имеем

если 1,5;

sin x x

lim

если 1,5;

x 0

если 1,5.

Таким образом, порядок роста равен 1,5, и интеграл расходится.

функция имеет особенность в точке x 0

та этой функции относительно

, имеем

sin x

lim

sin x

lim

x 0

3 x 3 x2

. Находя порядок рос-


,		если	2			;
			3

				2
	1,	если					;
				3
	0,	если	2					.
					3

Таким образом, порядок роста равен 23 , и интеграл схо-

дится.
		Пример	13.	Выясним	сходимость	интеграла
1
1	ln 1	5 x dx.
	ln 1

0		x
0
		Подынтегральная функция имеет особенность в точке

x 0 . Находя порядок роста этой функции относительно

1 ,

имеем

, если 0,8;

ln 1 5 x x

lim

если 0,8;

x 0

5 x 5 x4

если 0,8.

Таким образом, порядок роста

равен

0,8 , и интеграл

сходится.

Пример

14. В

интеграле

подынтегральная

функция имеет особенность в точке

x 0 .

Находя порядок

роста этой функции относительно

1 , имеем

если 0,5;

e x

1 x

e x 1 x

lim

если 0,5;

lim

x 0

если 0,5.

Таким образом, порядок роста равен 0,5 , и интеграл сходится.

Пример 15. Выяснить сходимость интеграла

x (x 1)

Подынтегральная функция имеет особенность в точках

x 0 и

x 1 . Обе входят в промежуток интегрирования. Разби-

ваем интеграл на два

0,5

x (x 1)

0,5

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок

роста подынтегральной функции при x 0

относительно

равен

, а второй расходится, так как порядок роста подынте-

гральной функции при x 1 относительно

равен 1. По-

1 x

этому интеграл расходится.

2.7. Приложения определённого интеграла

Материал даётся для справки.

2.7.1. Вычисление площадей плоских фигур

Пусть f (x) 0 для x [a,b]. Рассмотрим криволиней-

ную

трапецию, ограниченную

кривыми

y 0, x a, x b ,

y f (x) . Разобьём отрезок [a,b] на

части точками a x0

... xn b ,

выберем внутри каждого элементар-

ного

отрезка

[xi , xi 1]

по точке

i [xi , xi 1 ] .

Заменим

криволиней-

ную трапецию, ограниченную линия-

ми y 0, x xi , x xi 1, y f (x) , пря-

моугольником

y 0, x xi , x xi 1,


y f ( i ) .	Площадь	этого	прямоугольника		равна
		f ( i )(xi 1		xi ) f ( i ) xi	и, если
		f - непрерывная функция, то при
		достаточно малом xi			близка
		площади		заменяемой трапеции.
		Просуммировав, получим, с од-
		ной стороны, приближенное зна-
		чение	площади криволинейной
		трапеции,		с другой стороны, ин-

n 1	b
тегральную сумму f ( i ) xi	для интеграла f (x)dx . Пере-
i 0	a

ходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получа-

ем площадь S исходной криволинейной трапеции S f (x)dx .

Назовём трапецию простейшей областью, если она огра-

ничена

кривыми

x a, x b, y f1 (x), y f2 (x)

и для

всех

x [a,b]

выполнено

неравенство

f1 (x) f2 (x) . Нетрудно

ви-

деть, что для простейшей области S ( f2 (x) f1 (x))dx .

Аналогично,

если 1 ( y) 2 ( y) для всех

y [c, d] ,

то

для

криволинейной

трапеции,

ограниченной

кривыми

y c,

y d,

x 1 ( y), x 2 ( y) (простейшей

области

второго

типа),

имеем

S ( 2 ( y) 1 ( y))dy .

В общем случае плоскую область разбивают на про-

стейшие области рассмотренных выше типов.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями y x2 и x y2 . Эти кривые пе-

ресекаются в точках

A(0,0)

и B(1,1) .

Поэтому

x2 )dx 2

1 .

S (

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями

y2 2x 1

и x y 1 0 .

Эти кривые

пересекаются в точках

A(0, 1)

и B(4,3) . В

данном случае лучше рассматривать простей-

шую область второго типа. Поэтому

y2 1

y 1

Пример 3. Найти площадь криволинейной трапеции, ог-

раниченной линиями

x 2 ,

x 1 , y 0 , y e

В данном

случае

S e

dx e

dx ex dx e x dx

0 e x

1 1 e 2 e 1 1 2 e 1 e 2 .

2.7.2. Вычисление объёмов

Пусть область тако-

ва,

что для x [a,b] из-

вестна площадь S(x) сече-

ния

плоскостью

x const.

Тогда, заменяя объём облас-

ти,

заключенной

между

плоскостями x xi ,

x xi 1 ,

на

объём

цилиндра

S( i ) xi , где i - некоторая

точка отрезка [xi , xi 1]получаем V S (x)dx .

Для тел, полученных вращением криволинейной трапе-

ции

a x b, 0 y f (x)

вокруг

оси

OX ,

имеем

						b	b
					V y2dx f 2 (x)dx .				Если
						a	a
					эту	трапецию	вращать		вокруг
					оси OY , то можно показать, что
						b
					V 2 xf (x)dx .
						a
						Аналогично для тел, по-
					лученных вращением криволи-
					нейной			трапеции
c y d, 0 x ( y)					вокруг	оси	OY ,		имеем
	d		d
V x2dy 2 ( y)dy .					Если эту	трапецию	вращать		вокруг
	c		c
				d
оси OX , то			V 2 y ( y)dy .
				c
		Пример		1.	Трапеция	ограничена		кривыми

y	x, y 0, x 1.			Вычислить объём тела, полученного враще-
нием этой трапеции вокруг оси OX .
		Подставляя в формулу, получаем
					1	1
				V f 2 (x)dx xdx
				V f 2 (x)dx xdx			2
					0	0	2
					0	0
		Пример		2.	Трапеция	ограничена		кривыми

y x, y 0, x 1. Вычислить объём тела, полученного вращени-

ем этой трапеции вокруг оси OY . Подставляя в формулу, получаем

1	1	2 .
V 2 xf (x)dx 2 x2dx
0	0	3

2.7.3. Вычисление длины дуги кривой

Рассмотрим кривую

L . Разделим кривую на части точ-

ками

(xi , yi ),i 1,...,n.

За-

меним дугу кривой между

точками

(xi , yi )

(xi 1, yi 1)

хордой, эти точ-

ки соединяющей. Тогда для

длины

дуги li

имеем

l ( x )2 ( y )2 .

Просуммировав

по

всем

точкам

деления,

получаем

l ( xi )2 ( yi )2 .

i 1

Пусть кривая задана параметрически

x x(t),

y y(t), t [ , ]

или, что то же самое,

в векторной форме r r(t) x(t)i y(t)j

x(t)

y(t))T . Разделив отрезок [ , ]

точками

,t ,...,t

(x(t),

y(t)

получаем

разбиение

кривой

точками

(x(ti ), y(ti ))T .

Тогда

(

)

(

где

- точка, лежащая между

)

ti 1 .

Просуммировав по всем точкам деления, получаем

n 1

ti . Переходя в этой сумме

l li

( i )

i 1

к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем

		2			2		(2.1)
x		(t)	y		(t)	dt .	(2.1)
	t			t

Аналогично, для пространственной кривой, заданной па-

x x(t),

или, что то же самое, в векторной фор-

раметрически y y(t),

z z(t),

x(t)

y(t), z(t))T

ме r r(t) x(t)i y(t)j z(t)k (x(t),

y(t) ,

дли-

z(t)

на кривой равна

dt .

(2.2)

Для кривой, заданной явно уравнением

y f (x) ,

фор-

мула (2.1) приобретает вид

1 f (x) 2 dx .

(2.3)

Если кривая задана в полярной системе координат, то

x r( ) cos ,

y r( ) sin .

Поэтому

r cos r sin ,

r sin r cos .

Подставляя в формулу (2.1) для вычисления длины кри-

вой, получаем

d .

(2.4)

Пример 1. Найти длину дуги кривой y ln x , заклю-

ченной между точками

8 .

Так как кривая

задана явно,

то

l 8

dx 8

x2 1

dx .

Делаем замену

x2 1 .

Тогда

x2 t 2

1, 2xdx 2tdt ,

поэтому

t 2dt

t 2 1

t 1

dt 1

1 1 ln

1 ln

t 1

Пример 2. Найти длину дуги кривой

x a cos3 t,

заклю-

y a sin 3 t,

ченной между точками t1 0 и t2 2 .

Так

как

кривая

задана

параметрически,

то

x 3a cos2 t sin t, y 3a sin 2 t cost , и поэтому

l 3a

cos4 t sin 2 t sin 4 t cos2 t dt

sin 2t

cos 2t

6a sin 2t dt 6a

3a .

Пример 3.

Найти длину дуги кривой 2cos , заклю-

ченной между точками

Так как кривая зада-

на

полярной

системе

координат,

2sin ,

то

( 2sin )2

(2cos )2 d 2 d 2

2 .

Получился

ожидаемый

результат,

так

как

уравнение

2cos ,

, определяет

окружность радиуса 1

центром в точке x 1, y 0 .

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

3.1. Кривые на плоскости и в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию одного аргумента

x(t)
	(x(t), y(t), z(t))T
r(t) y(t)		x(t)i y(t)j z(t)k,

z(t)
где i, j, k - векторы декартова базиса.		В случае плоскости эта
запись приобретает	вид r(t) x(t)i y(t)j . Если функции
x(t), y(t), z(t) непрерывны при t [ , ]		и начала всех векторов

r(t) поместить в начало координат, то их концы опишут в R3

некоторую кривую, называемую годографом вектор-функции r(t) , а вектор-функцию r(t) называют векторным представле-

нием этой кривой. Эта функция широко используется в физике для описания движения материальной точки M, так как, чтобы знать положение точки в момент времени t, необходимо указать координаты этой точки как функции времени, т.е. задать ее в виде M (x(t), y(t), z(t)) . Например, функция

r(t) a costi asin tj btk

определяет движение точки по винтовой линии, а функция r(t) a costi asin tj

- движение точки по окружности. Зафиксировав момент времени t t0 , мы найдем положение точки в этот момент.

Кривую r(t) x(t)i y(t)j z(t)k				назовем гладкой на
[ , ], если существует		и		для всех t [ , ] . Не-
	r (t)		r (t) 0

прерывную кривую назовем кусочно-гладкой на [ , ], если отрезок [ , ] можно разбить на конечное число частей, на каждой

из которых кривая гладкая.

Кривую будем обозначать одной из букв , , L . Будем говорить, что кривая замкнута, если r( ) r( ) . Если существуют значения t1,t2 ( , ) параметра такие, что r(t1 ) r(t2 ) , то

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб19Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб7Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб8Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб6Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб59Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб10Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf