Математика.-5

оценки получаем расходимость интеграла f (x)dx . Теорема

1

доказана.

Признак Даламбера в непредельной форме. Если начиная

сходится. Поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится абсолютно.

за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.

Даламбера ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .

131

ламбера в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно схо-

дится. Если q 1, то можем взять 0 таким, чтобы q было

больше 1. Тогда по признаку Даламбера в непредельной (конечной) форме ряд расходится.

Радикальный признак Коши в непредельной форме. Если

начиная с некоторого номера nan q 1, то ряд an абсо-

n 1

лютно сходится, если nan q 1, то ряд расходится.

n 1

есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом

1 и знаменателем 0 q 1 , следовательно, сходится. Поэтому по при-

Коши ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q 1 .

132

чтобы q было меньше 1. Тогда по радикальному признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд абсолютно сходится. Ес-

ли q 1, то можем взять 0 таким, чтобы q было больше 1.

Тогда по радикальному признаку Коши в непредельной (конечной) форме ряд расходится.

Следствием признака Дирихле является следующий признак.

ка не превосходит модуля первого отбрасываемого члена и по знаку совпадает с ним.

Доказательство. Рассмотрим чётные и нечётные частичные суммы

Так как S2n 1 S2n a2n 1 и a2n 1 0 , то S2n S2n 1 . Далее, в силу монотонности стремления к нулю общего члена ряда

a2n 1 a2n 2 0 и поэтому S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n . Сле-

довательно S2n возрастающая последовательность.

S2n 1 S2n 1 a2n a2n 1 S2n 1 (a2n a2n 1) S2n 1 следова-

тельно S2n 1 убывающая последовательность, следовательно

S2n 1 S1 a1 .

133

дится в точке z из D , если сходится соответствующий числовой ряд.

Множество тех z , в которых ряд un (z) сходится, назо-

n 1

вём областью сходимости функционального ряда.

Множество тех z , в которых ряд un (z) абсолютно схо-

n 1

дится, назовём областью абсолютной сходимости функционального ряда. Обычно искать область абсолютной сходимости проще.

Так как при каждом фиксированном z функциональный ряд является числовым, то для исследования сходимости функциональных рядов применяются признаки сходимости числовых рядов.

Пример. Найти область сходимости ряда zn .

n 1

Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя радикальный признак Коши, получаем

Таким образом, ряд сходится абсолютно при z 1 и расходится при z 1. При z 1 ни с помощью признака Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается также) выяснить сходимость нашего ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при z 1. Так

n 1

135

Естественным образом возникает вопрос о наследовании суммой ряда S (z) свойств членов ряда un (z) , таких как непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость. Точнее, если члены ряда un (z) непрерывны в области D , то будет ли непре-

рывной сумма ряда S (z) ; если члены ряда un (z) интегрируемы на кривой L , лежащей в области D , то будет ли сумма ряда

этой последовательности частичных сумм, а следовательно и

0, приx [0,1)

суммой ряда, будет функция S(x) Эта функция

1, приx 0.

терпит разрыв в точке x 1 , в то время как члены ряда непрерывны на всей вещественной оси, следовательно и на отрезке

[0,1] .

Таким образом, чтобы сумма ряда обладала теми же свойствами, что и члены ряда, нужно нечто более жёсткое, чем сходимость ряда. Такими понятиями, как это будет показано ниже, являются понятия равномерной в области сходимости и равномерной внутри области сходимости.

Сформулируем вначале определение сходимости ряда на языке неравенств, которое получается переформулировкой определения сходимости последовательности функций.

136

такой, что для всех n N( , z) выполняется неравенство

Sn (z) S(z) .

Теорема 5.2.1 (критерий Коши сходимости ряда). Для то-

го, чтобы ряд un (z) сходился в области D , необходимо и

n 1

достаточно, чтобы для всякого 0 существовал номер N( , z) такой, что для всех n N( , z) и p 1 выполнялось неравенст-

n p

во uk (z) для всех z из области D .

k n 1

Оставим эту теорему без доказательства.

Определение равномерной сходимости выглядит следующим образом.

Определение. Говорят, что ряд un (z) сходится равно-

n 1

мерно к своей сумме S (z) в области D , если для всякого 0

Определение. Говорят, что ряд сходится равномерно внутри области D , если он сходится равномерно на каждом ограниченном замкнутом подмножестве из множества D .

Как и для сходимости ряда, для равномерной сходимости ряда имеет место критерий Коши.

Теорема 5.2.2 (критерий Коши равномерной сходимости

ряда). Для того, чтобы ряд un (z) сходился равномерно в об-

n 1

ласти D , необходимо и достаточно, чтобы для всякого 0 существовал единый для всех z из области D номер N ( ) та-

137

Оставим эту теорему без доказательства.

Выяснять по определению равномерную и равномерную внутри области сходимости достаточно трудно. Поэтому нужны результаты, позволяющие сделать это легко. Таким результатом является достаточный признак равномерной сходимости, принадлежащий Вейерштрассу. К его изложению мы и приступаем.

an , если, начиная с некоторого номера выполнено неравен-

n 1

ство an bn .

Теорема 5.2.3 (Вейерштрасс). Если для ряда un (z) в об-

n 1

ласти D существует мажорирующий его абсолютно сходящий-

138

n 1

множестве D , и функции un (z) непрерывны на множестве D ,

то сумма ряда un (z) непрерывна на множестве D .

n 1

139

Доказательство. Пусть z и z h точки из D . Нам требует-

ся показать, что lim S(z h) S(z) . Для этого оценим разность

h 0

S(z h) S(z) . Имеем

S(z h) S(z)

S(z h) Sn (z h) S(z) Sn (z) Sn (z h) Sn (z)

S(z h) Sn (z h) S(z) Sn (z) Sn (z h) Sn (z) .

то сумма ряда непрерывна и, следовательно, интегрируема. По-

140