Математика.-5

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

разных скоростях стремления A1 к

к даёт разные

результаты. В частности, если A n2

результаты. В частности, если A n2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

y f (xi 1 ) , а в третьем случае прямоугольником, ограниченным

	y 0, x x , x x			y	x	i	x	i 1
линиями			,		f				.

	i	i 1					2

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями y 0, x xi , x xi 1, y f (x) , заменить трапецией с вершинами в

точках (xi ,0), (xi 1,0),(xi , f (xi )),(xi , f (xi 1 )) , то для приближён-

ного вычисления интеграла получаем формулу

b	b a	f (a) f (b)
f (x)dx	b a	f (a) f (b)

	n	2
a	n	2

n 1
f (xi ) ,
i 1

называемую формулой трапеций.

Точность формул прямоугольников и формулы трапеций имеет порядок n12 .

2.6. Несобственные интегралы

Выше был определён интеграл для ограниченных и заданных на ограниченном отрезке функций. Распространим понятие интеграла на случаи, когда одно или оба этих условия нарушаются.

2.6.1. Несобственные интегралы первого рода

Рассмотрим вначале случай, когда функция задана на промежутке [a, ) . Так как понятие интеграла по конечному

промежутку уже введено, то рассмотрим конечный отрезок

[a, A]	входящий в полуинтервал [a, )	и, соответственно, инте-
	A
грал	f (x)dx по этому промежутку.	Переходя к пределу, при
	a
стремлении A к бесконечности, получаем понятие несобствен-

ного интеграла по бесконечному промежутку (первого рода). Формализация этой идеи приводит к следующему определению.

Определение. Пусть f (x)	задана на бесконечном про-
межутке [a, ) и для всякого	A a существует интеграл
51

A		A
f (x)dx. Предел	lim	f (x)dx	называется несобственным
a	A	a
a		a

интегралом первого рода (интегралом по неограниченному

		A
промежутку) и обозначается f (x)dx. Если	lim	f (x)dx
a	A	a
a		a

существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

						dx
		Пример 1. Рассмотрим				dx	. Пусть
		Пример 1. Рассмотрим					. Пусть
				1		x
				1
	A	dx	lim ln x		1A lim (ln A ln 1) .
lim

		x
A	1	x	A		A
A			A		A

1. Тогда dx

1 x

Таким образом, рас-

смотренный интеграл при 1 расходится. Пусть теперь 1. Тогда

		A			x1	A		при 1,

	dx	lim	dx	lim			1

1 x		A 1	x	A 1				при 1,
						1	1

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при 1 расходится и при 1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

Пример 2. Выясним сходимость интеграла

2x 2

Имеем

lim

1 x

2x 2

1 x

2x 2

(x 1)

lim arctg(x 1)		A lim (arctg( A 1) arctg 0) .			Следователь-

A		1	A	2


но, интеграл сходится и его значение равно .
				2
Пример	3.		Выяснить	сходимость	интеграла

xe x2 dx x exp( x2 )dx .

По определению получаем

xe x2 dx lim

xe x2 dx lim (

1 ) e x2 d ( x2 )

1 e x

lim

1 e A

lim

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

0,5e 1 .

Пример 4. Для интеграла

имеем

ln x

A lim 2

lim

lim 2

ln x

ln A

e x

ln x

Следовательно, интеграл расходится.

Пример 5. Для интеграла

по определению име-

x ln 2 x

ем

A d ln x

lim

1 1

x ln 2

ln 2

ln x

ln A

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно


Пример	6. Выяснить	сходимость		интеграла e x dx ,
				0
0 .
По определению
e x dx lim A e x dx lim (			1	) A e x d ( x)
e x dx lim A e x dx lim (				) A e x d ( x)
	A	A
0	0			0

	1		x
lim		e
lim		e
A

A	1	lim	1		A	1

				e			.

0		A

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

1 .

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

Теорема 2.8. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого0 существует A a такое, что для всех A1 , A2 A выполне-

но неравенство f (x)dx .

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода

f (x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится

интеграл f (x) dx.

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для

интеграла f (x) dx выполнен критерий Коши, а в силу спра-

	A2	A2
ведливости неравенства	f (x)dx		f (x)	dx	критерий Коши


	A1	A1

выполнен и для интеграла f (x)dx.

Обратное утверждение неверно, точнее, если интеграл сходится, то он не обязан сходиться абсолютно.

Сходимость несобственного интеграла f (x)dx опреде-

ляется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла f (x)dx можем записать


	a
f (x)dx	f (x)dx f (x)dx и назвать этот интеграл сходя-
		a

щимся, если сходятся оба слагаемых. Если хотя бы один из этих

интегралов расходится, то будем считать интеграл f (x)dx

расходящимся. В качестве точки a выбирают обычно 0.

Пример 7. Рассмотрим интеграл xdx . По определе-

1 x2

нию сходимости этого интеграла получаем

xdx

lim

1 x2

lim

ln( x2 1)

lim

ln( x2 1)

A2 .

Так как оба слагаемых расходятся, то исходный интеграл расходится. Получаемая при этом неопределённость при

lim

ln( x2

lim

ln( x2 1)

lim (ln n 2 ln n)

lim

2 n

2 n n

n2 1 , то абсолютно аналогич-

Если A n 1 , A

но показывается,

что этот предел равен . Подобрав скоро-

сти стремления A1 к и A2

к , можно получить в пре-

деле любое заранее заданное число от до .

С другой стороны, при согласованном стремлении верх-

него и нижнего пределов к

можем записать

xdx

lim

ln( x2 1)

1 x2

lim

(ln( A2

1) ln( A2 1)) 0.

2 A

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл

первого рода f (x)dx сходится в смысле главного значения

Коши, если существует и конечен предел lim f (x)dx .

В случае, если рассматривают сходимость интеграла в смысле главного значения Коши, то перед знаком интеграла до-

бавляют буквы V.P., то есть пишут V.P. f (x)dx (V.P. – началь-

ные буквы французских слов valeur principal переводящихся как «главное значение»).

Рассмотренный выше пример показывает, что несобст-

венный интеграл первого рода f (x)dx может сходиться в

смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.

Отметим несколько свойств несобственных интегралов


первого рода f (x)dx .
	a

1.	Если	интеграл	f (x)dx	сходится, то для		всякого
			a

b a	интеграл		f (x)dx		сходится	и
			b
	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a	b

2.	Если интеграл		f (x)dx	сходится, то сходится инте-
			a

грал f (x)dx и имеет место равенство					f (x)dx f (x)dx.
a				a	a

3. Если интегралы f (x)dx				и g(x)dx сходятся, то схо-
			a	a

дятся интегралы ( f (x) g(x))dx и имеет место равенство
		a

		( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx.
		a		a	a

Обратное утверждение неверно, то есть, если интеграл от алгебраической суммы функций сходится, то интегралы от

слагаемых сходиться не обязаны. Например, интегралы dx и

1 x

	dx			1	1			dx
		расходятся, а интеграл				dx			, как
	x 1							x(x 1)
1		1	x		x 1		1

будет показано позднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.9. Пусть для всякого x A(A a) выполнено


неравенство	f (x)	g(x)	. Тогда если интеграл	g(x)dx абсо-
неравенство	f (x)	g(x)	. Тогда если интеграл

				a

лютно сходится, то интеграл f (x)dx абсолютно сходится, а

если интеграл f (x)dx абсолютно расходится, то интеграл

g(x)dx абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях теоремы

для всех A a имеем

f (x)

g(x)

dx . Тогда если интеграл

g(x)

dx сходится, то

f (x)

dx есть монотонно возрастающая

ограниченная сверху функция от

A , и поэтому имеет предел

при

A . Если

интеграл

f (x)

dx расходится, то

lim

f (x)

dx , и поэтому lim

g(x)

dx .

Теорема 2.10. Если f (x) и g(x) - бесконечно малые в

одного порядка малости,

то есть

lim

f (x)

K 0, ,

то

x g(x)

интегралы f (x)dx и g(x)dx

либо оба абсолютно сходятся,

либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство.

Так

как

lim

f (x)

K ,

то

x g(x)

f (x)

Возьмем

. По определению предела

lim

g(x)

существует M 0 такое,

что для всех

x M выполнено нера-

венство

f (x)

а следовательно, и неравенство

g(x)

f (

g(x)

. Из последнего неравенства и

теоремы 2.9 получаем утверждение теоремы.

Замечание. После изучения теоремы 2.10 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла первого рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно малой при x . То, что это не так, показывает следующий пример [15].

Возьмем функцию, график которой состоит из отрезков

	1			n,1 ,		1
прямых, соединяющих точки n		, 0	,		n		, 0	,
	2n					2n

n 1, 2,....					Ее аналитическое											выражение имеет вид
		n				n					1
	2			x 1 n 2				,		x n				, n ,
	2			x 1 n 2				,		x n	2	n		, n ,
											2
			n				n							1
f x 2					x 1 n 2				,	x n, n						,
f x 2					x 1 n 2				,	x n, n			2		n	,
													2
											1						1
	0,									x n				, n					.
	0,									x n	2	n		, n			2	n	.
											2						2

Площадь, заключенная между графиком этой функции и осью OX , равна сумме площадей треугольников с вершинами в

точках

, 0 ,

n,1 , n

, 0 , n 1, 2,.... Так как пло-

щадь каждого

такого

треугольника равна

n 1, 2,..., то

x dx

0,25

. Заметим,

что условие ограниченности

1 0,5

f x

функции

несущественно, так как вершины треугольников

n, n ,

можно

взять,

например,

точках

, 0 ,

n2n

, 0

, n 1, 2,....

n2n

sin x

cos x

Пример 8. Интегралы

dx и

сходятся аб-

солютно

при

любом

Действительно,

sin x

cos x

для всех x 0 , а интеграл

– сходящийся, а так

если x 0 ,

как

то и абсолютно сходящийся при любом

Напомним, что если

f (x) 0 , то понятия сходимости и

абсолютной сходимости интеграла f (x)dx совпадают.

Покажем

теперь, что при

любом

0 1 интеграл

sin x

сходится,

но

не

абсолютно.

Действительно,

sin x

A sin x

dx lim

. Применим к стоящему справа интегра-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб53Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf