Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

2.2.3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения

Рассмотрим некоторые преобразования подынтегрального выражения, применение которых позволяет иногда достаточно легко найти интеграл.

Выделение целой части

Суть приёма видна из примеров.

Примеры

x 2 2

dx dx 2

x 2 ln

x 2

C .

x 2

x 3 3

dx 3

x 3ln

x 3

C .

x 3

x2 4 4

dx dx

x2 4

x 2arctg

C .

x2 16 16

dx dx 16

x2 16

x 4arctg

C .

(x 2)2

x2 4 4x

4xdx

x2 4

dx 2 d (x2 4) x 2 ln( x2 4) C .

x2 4

Преобразование тригонометрического выражения

Наиболее часто применяется понижение степени с использованием формул

sin 2 x	1 cos 2x	, cos 2 x	1 cos 2x	,
	2		2

преобразование произведения в сумму по формулам sin sin 12 (cos( ) cos( )) ,

cos cos 12 (cos( ) cos( )) , sin cos 12 (sin( ) sin( ))

и некоторые другие.

Примеры

sin 2

x dx

1 cos 2x

1 x

1 sin 2x C .

cos2

x dx

1 cos 2x

sin 2x C .

cos3x cos x dx

(cos 2x cos 4x)dx

sin 2x

sin 4x C .

cos 2x sin 5x dx

(sin 7x sin 3x)dx

cos 7x

cos3x

C .

sin 2x sin 6x dx

(cos4x cos8x)dx 1 sin 4x

sin 8x C .

ctg2 x dx

cos2 x

1 sin 2 x

dx ctgx x C .

sin 2 x

Выделение полного квадрата

Иногда удаётся получить табличный интеграл выделив в подынтегральной функции выражения вида (ax b)2 , то есть

полный квадрат двучлена ax b . Покажем на примерах, как это делается.

Примеры

1. Вычислить интеграл dx . x2 4x 20

Знаменатель дроби можем преобразовать следующим образом x2 4x 20 (x2 4x 4) 16 (x 2)2 42 . Сделав

замену

x 2 t ,

окончательно

получаем

x 2

4 arctg

C 4 arctg

C .

4x 20

t 2

2. Вычислить интеграл

18x 9x2

Выражение под корнем можно преобразовать следую-

щим

образом

18x 9x2 5 9(x2 2x 1) 9 5 4 9(x 1)2 .

Поэтому

можем

написать

3(x 1)

C .

3 arcsin

18x 9x2

4 9(x 1)2

3. Вычислить интеграл

x2 2x

Аналогично

предыдущим

примерам

можно

написать

2x (x2

2x 1) 1 1 (x 1)2 . Поэтому

arcsin( x 1) C .

x2 2x

1 (x 1)2

Выделение дифференциала

Интегралы

Mx N

выделе-

x2 px q

(x2 px q)n

нием в числителе дифференциала выражения

x2 px q сво-

дятся к интегралам

px q

(x2 px q)n

Пример. Вычислить интеграл

3x 3

dx .

4x 20

Производная знаменателя равна 2x 4 . Поэтому

3x 3

dx 23

2x 2

dx 23

2x 4 2

x2 4x 20

d (x2 4x 20)

x2 4x 20

x 2

ln( x2

4x 20)

arctg

(Интеграл		dx	найден ранее. )

	x2	4x 20
	x2	4x 20
Аналогично, интеграл				(Mx N )dx		выделением в


					a2 (x b)2
					a2 (x b)2

числителе дифференциала подкоренного выражения сводится к

интегралу

. Проиллюстрируем это на примере.

a2 (x b)2

Пример. Вычислить интеграл

(4x 2)dx

1 (x 1)2

Производная подкоренного выражения равна 2(x 1) .

Поэтому

(4x 2)dx

( 2(x 1) 1)

1 (x 1)2

21 (x 1)2 2arcsin(x 1) C .

2.2.4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью или рациональной функцией называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть вы-

ражение вида P(x) , где

Q(x)

P(x) bl xl bk xk bk 1xk 1 ... b1x b0

l 0

Q(x) al xl an xn an 1xn 1 ... a1x a0 -

l 0

полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе, то есть k n , то такую рациональную дробь называют правильной.

В дальнейшем будем считать, что k n , так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде

P(x) Q(x)R(x) S(x), где R(x) и S(x) - полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и

остатком, причем степень полинома S(x)					меньше n . Тогда
	P(x)	R(x)	S(x)	,	(1.2)
	Q(x)		Q(x)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем.

Покажем на примере, как можно получить разложение

(1.2). Пусть

P(x) x7 3x6 3x5 3x3 4x2 x 2, Q(x) x3 3x2 x 2.

Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа. Имеем

_ x7 3x6 3x5

3x3 4x2 x 2

x3 3x2 x 2

x4 2x2 4x 7

x7 3x6 x5 2x4

_ 2x5 2x4 3x3 4x2 x 2

2x5 6x4 2x3 4x2

_ 4x4 5x3 8x2 x 2

4x4 12x3 4x2 8x

_ 7x3 12x2 7x 2

7x3 21x2 7x 14

9x2 14x 12

Таким образом, мы получили целую часть дроби (част-

ное

от

деления

полинома

P на

полином

Q )

R(x) x4

2x2 4x 7

и остаток S(x) 9x2 14x 12 от этого

деления.

Поэтому

можем

записать

x7 3x6 3x5 3x3 4x2 x 2

2x2 4x

9x2

14x 12

x3 3x2 x 2

Простейшими рациональными дробями назовём дроби

x a

(x a)n

x2 a2

(x2 a 2 )n

x2 px q

Mx N

(x2 px q)n

x2 px q

(x2 px q)n

Рассмотрим интегрирование этих дробей. Интегралы

x a

C ,

C, n 1 ,

x a

(x a)

1)(x a)

n 1

x2 a2

a arctg

C являются табличными, а интеграл

J n

может быть найден или по рекуррентной

(x2 a2 )n

формуле (1.1) J

n 1

2n 1 J

, полученной

2na 2 (x2 a2 )n

2na 2

выше интегрированием J n

по частям, или с помощью таб-

лиц [5,7]. Интегралы

в слу-

px q

(x2 px q)n

чае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискри-

минант D p2

4q 0 ),

сводятся с помощью выделения

полного квадрата к интегралам

за-

t 2

(t 2 a2 )n

меной

. Наконец,

как это указывалось ранее, инте-

гралы

Mx N

dx ,

Mx N

выделением

x2 px q

(x2 px q)n

числителе дифференциала выражения x2 px q сводятся

к интегралам

px q

(x2

px q)n

Таким образом, осталось научиться раскладывать

правильные рациональные дроби на сумму простейших.

По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в

виде Q(x) an (x x1 )(x x2 )...(x xn ) an (x xl ) , где xl –

l 1

действительные или комплексные корни полинома Q(x) , повто-

ренные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1 , x2 ,...,xn . Тогда правильная рациональная дробь может быть

представлена в виде	P(x)		A1	A2		...	An		, где
представлена в виде	Q(x)		x x	x x		...	x x		, где
		1			2			n

A1, A2 ,..., An - числа, подлежащие определению. Если xi - корень кратности , то ему в разложении на простейшие дроби соот-

ветствует слагаемых	A1		A2	...	A	. Если	x j
	x x		(x x )2		(x x )
		i
			i		i

- комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число x j -

тоже корень кратности этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней,

Mx N

объединяют и записывают одним слагаемым вида x2 px q ,

если x j , x j – корни кратности один. Если x j , x j – корни кратно-

сти ,	то им соответствует слагаемых,				и соответствующее
разложение имеет вид
		M1x N1	M 2 x N2	...	M x N	.
		x2 px q	(x2 px q)2	...	(x2 px q)	.
		x2 px q	(x2 px q)2		(x2 px q)
			37

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, рассмотренных выше.

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj , M j , N j в разложении правильной рациональной дроби явля-

ется следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj , M j , N j приводят к общему

знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.

Пример 1. Найти

x2 x 1

dx .

x3 3x 2

Корни знаменателя –

x1 2

кратности 1 и x2 1 крат-

ности 2. Поэтому

x3 3x 2 (x 2)(x 1)2 , и подынтегральная

функция может быть представлена в виде

x2 x 1

x3 3x 2

(x 1)2

Приводя к общему знаменателю, получаем

x2 x 1

A (x 1)2

A (x 1)(x 2) A (x 2)

x3 3x 2

( A1 A2 )x2 ( 2A1 A2 A3 )x ( A1 2A2 2A3 ) .

x3 3x 2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

													A1 A2														1,
																			A3								1,
								2A1 A2											A3								1,
											A 2A 2A																1.
										1						2					3
Решая эту систему, находим																				A					7		, A		2	, A				1	.
Решая эту систему, находим																				A							, A			, A					.
																			1					9			2	9		3			3
																								9				9					3
Таким образом,
			x2 x 1										7 dx								2						dx 1						dx
							dx
		x3 3x 2					dx					9			x 2						9					x 1		3				(x 1)2
			7	ln	x 2			2	ln				x 1						1							C.
			7					2											1
	9							9										3(x					1)
	9							9										3(x					1)
Пример 2. Найти											2x2 2x 2											dx .
Пример 2. Найти											x3 2x 4											dx .
Корни знаменателя –														x1 2 кратности 1 и два комплекс-
ных корня x				1 i . Поэтому x3																2x 4 (x 2)(x2 2x 2) ,
2,3
и подынтегральная функция может быть представлена в виде
						2x2 2x 2													A								Mx N				.
						x3 2x								4			x		2								2 2x			2	.
						x3 2x								4			x		2						x		2 2x			2
Приводя к общему знаменателю, получаем
	2x2 2x 2										A(x2 2x 2) (Mx N )(x 2)
			x3 2x 4																	x3 2x 4
			x3 2x 4																	x3 2x 4

( A M )x2 (2A 2M N )x (2A 2N ) .

x3 2x 4

A M		2,
		2,
2A 2M N
	2A 2N	2.

Решая эту систему, находим A 1, M 1, N 2. Таким образом,

2x2 2x 2

x 2

x3 2x 4

x 2

x2 2x 2

x 2

x 1 1

x 1

x2 2x 2

x 2

x2 2x 2

x 2

ln( x2

2x 2) arctg(x 1) C .

14x2

54x 43

Пример 3. Найти

dx .

(x2 2x 2)(x 5)2

Корни знаменателя x1,2 5 кратности 2 и пара ком-

плексно сопряжённых корней x3,4 1 i кратности 1. По-

этому подынтегральная функция может быть представлена в виде

14x2 54x 43

Mx N

(x2 2x 2)(x

5)2

(x 5)2

2 2x

Приводя к общему знаменателю и подобные, получаем

14x2 54x 43

( A M )x3

( 3A A 10M N )x2

(x2 2x 2)(x 5)2

( 8A1 2A2 25M 10N )x ( 10 A1 2A2

25N )

(x2

2x 2)(x

5)2

	A1	M		0,
	3A1 A2	10M		14,
	3A1 A2	10M	N	14,

8A1 2 A2		25M 10N		54,
	10 A 2 A		25N	43.
	1	2

Решая эту систему, находим

A1 2, A2 1, M 2, N 1 .

Таким образом,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб53Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf