Математика.-5

Примером функции, для которой не существует интеграл Римана, служит функция Дирихле

1, если x рациональное число,

D(x)

0, если x иррациональное число.

Действительно, если при любом разбиении отрезка [a,b] точки i выберем рациональными, то интегральная сумма будет равна длине отрезка интегрирования, а если точки i выберем

иррациональными, то интегральная сумма будет равна нулю. Отсюда следует, что предел интегральных сумм зависит от выбора точек i и поэтому интеграл Римана от функции D(x) не

существует.

1.2. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

Совершенно ясно, что вычислять пределы сумм, полученных в определении интеграла Римана, достаточно сложно и утомительно. Нужен метод, позволяющий обойти возникающие

сложности. Этот метод был найден Ньютоном и Лейбницем и связан с решением задачи, обратной задаче дифференцирования, к решению которой мы приступаем.

x

Рассмотрим функцию (x) f (t)dt . Эту функцию на-

a

зывают: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.

Теорема 2.5. Если f (x) интегрируемая на [a,b] функция, то (x) непрерывна на [a,b] .

Доказательство. По свойству 9 определенного интегра-

11

Доказательство. По свойству 10 определенного инте-

где c – некоторая точка отрезка [x, x h] . В силу непрерывно-

Задача нахождения первообразной решается неоднозначно в том смысле, что у одной и той же функции существует много первообразных. Непосредственным вычислением прове-

ряется, что функции 2 sin 2 x , cos 2x , 2 cos2 x являются первообразными для функции 2sin 2x . Этот факт не случаен. Оказывается, что первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой на константу. Для указанных выше функций это подтверждается школьными формулами тригонометрии, а в общем случае будет доказано позже при изучении неопределённого интеграла. Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции

и обозначается f (x)dx .

Таким образом, (x) - одна из первообразных функции f (x) . Ниже мы докажем, что две первообразных одной и той же

(x) F(x) F(a). Полагая x b , получаем формулу НьютонаЛейбница

b

f (x)dx (b) F (b) F (a).

a

12

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определённых интегралов мы можем применять весь набор приёмов и методов нахождения неопределённых интегралов.

Примеры

13

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Определение и свойства

Вдифференциальном исчислении по данной функции находилась её производная. В этом разделе будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.

Определение. Функция F(x) называется первообраз-

sin x 13 sin 3 x cos x sin 2 x cos x cos x 1 sin 2 x cos3 x .

Аналогично доказывается, что sin 2x является первообразной для 2cos 2x .

Докажем несколько свойств первообразных.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) , то F(x) C , где C - некоторая константа, также является первообразной для f (x) .

Доказательство. Действительно,

(F (x) C) F (x) C f (x). Теорема доказана.

Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x) Ф(x) есть константа.

Заметим, что свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования.

5. f (x)dx f (x(t))x (t)dt .

15

Иногда возникает необходимость вычисления интегралов eax cosbxdx и eax sin bxdx которые, соответственно, рав-

ны

Формулы 5а, 6а, 16, 17 будут доказаны позднее. Остальные обратны табличным производным и могут быть легко получены.

2.2. Приемы нахождения неопределенных интегралов

Вычисление неопределённых интегралов производится сведением исходных интегралов к табличным с помощью эквивалентных преобразований с использованием свойств неопределённых интегралов.

2.2.1. Подведение под знак дифференциала

Иногда удается представить подынтегральное выраже-

(u)du F(u) C , то по свойству 5 неопределённого интегра-

ла F(u(x)) C (u(x))du(x) (u(x))u (x)dx f (x)dx .

Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования формулы замены переменной, выраженной свойством 5. Для овладения этим приёмом необходимы устойчивое (доведённое до автоматизма) знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть необходимо не только уметь вычислять по исходной функции производную и

17

5.cos xdx d sin x d(sin x b) .

6.sin xdx d cos x d(cos x b) .

Остальное читатель в состоянии восстановить самостоятельно из таблицы производных.

Покажем теперь применение вышесказанного для некоторых интегралов с указанием табличных, к которым они сводятся.

этом месте можно либо продолжить вычисления непосредственно и тогда получим

19

Знак модуля опущен в силу того, что 1 + x2 1 > 0 для

x из R.

20