Математика.-5

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f ( x) (s)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Теорема. Если f x абсолютно интегрируемая на ( , ) , кусочно-непрерывная и ограниченная или кусочногладкая на каждом конечном отрезке функция, то

	f x 0 f x 0	1		is( x t )
(x)			f t e

	2	2			dt ds .
	2	2

Заметим, что в точках непрерывности

f x 0 f x 0 f x .

Свойства преобразования Фурье.

1. Линейность. Если ( f )(s) (s) , ( g)(s) ( p) , то

( ( f g))(s) ( f )(s) ( g)(s) (s) (s) , ( ( f ))(s) ( f )(s) (s)

или, что то же самое,

( ( f g))(s) ( f )(s) ( g)(s) (s) (s) .

Доказательство. В общем случае было доказано ранее. Непосредственно следует из определения преобразования Фурье и свойств интеграла. Действительно,

					1
( ( f g))(s)					1		f (x) g(x) e isxdx

					2
					2

	1					1
	1	f (x)e isxdx				1			g(x)e isxdx

	2							2
	2							2

	( f )(s) ( g)(s) (s) (s) ,
		1								1
( ( f ))(s)		1		f (x)e isxdx						1	f (x)e isxdx

			2							2
			2							2

( f )(s) (s) .

2.Подобие. Если ( f )(s) (s) , то

Доказательство. Действительно, если 0 , то

181

f ( x) (s)

f ( x)e isxdx

1 1

f ( x)e

d x

Если 0 ,

то

сделав

замену

t x

имеем

dt dx ,

lim t ,

lim

t и тогда

f (t)e i

f ( x) (s)

t dt

1 1

f (t)e

Соединяя вместе, получаем требуемое.

Запаздывание. Если ( f )(s) (s) , то

f x s e is (s) .

Доказательство. Действительно,

f x s

f (x )e isxdx

f (x )e is( x )dx

f (x )e is( x )e is d (x ) e is (s) .

Дифференцирование

функции.

Если

( f )(s) (s) ,

f (x) дифференцируема на всей числовой оси и

f (x)

бесконеч-

но малая при x , то

f x s is f x s .

Доказательство. Действительно,

f x s

f (x)e isxdx .

182

	1
Преобразуем интеграл	1	f (x)e isxdx с помощью фор-

	2
	2

мулы интегрирования по частям с u e isx ,

dv f (x)dx . Тогда

du ise isxdx , v f (x) и

f (x)e isxdx

f (x)e isx

f (x)e isxdx

is f x s ,

так как lim

f (x)e isx 0

как произведение бесконечно малой

f(x) на ограниченную e isx .

5.Дифференцирование образа. Если ( f )(s) (s) , то

f x s ixf x s .

Доказательство.	Действительно, дифференцируя выраже-
ние (s) f (x) s			1
			1				f (x)e isxdx по параметру под зна-

					2
					2

ком интеграла, получаем
	1
f x s	1					( ix) f (x)e isxdx ixf x s .

		2
		2

6. Если ( f )(s) (s) , то
а) f x cos x (s)				1		(s ) (s ;
а) f x cos x (s)			2			(s ) (s ;
			2
б) f x sin x (s)			1			(s ) (s .
б) f x sin x (s)			2i			(s ) (s .
			2i
Доказательство. Действительно,
f x cos x (s)								1
								1	f (x) cos xe isxdx

								2
								2

183


			1	f (x)	ei x e i x				e isxdx
				f (x)					e isxdx
			2			2

1	1					1
1	1	f (x)ei xe isxdx				1		f (x)e i xe isxdx
		f (x)ei xe isxdx						f (x)e i xe isxdx
2	2					2

1	1					1
1	1	f (x)e i(s ) xdx				1		f (x)e i(s ) xdx
		f (x)e i(s ) xdx						f (x)e i(s ) xdx
2	2						2

12 (s ) (s .

Аналогично, записывая sin x через формулу Эйлера, получаем справедливость б).

Часто рассматривают синус и косинус преобразования Фурье.

Для синус и косинус преобразований Фурье множество G также есть числовая прямая, то есть G R ( , ) , U (G) - совокупность абсолютно интегрируемых на ( , ) функций.

Ядро

синус

преобразования

Фурье

равно

K (x, s)

sin sx . Синус преобразование Фурье имеет вид

s (s) s f (x) s

f (x)sin sxdx .

Для нечётных функций синус преобразование Фурье имеет

вид

s (s) s f (x) s

f (x)sin sxdx

Ядро

косинус

преобразования

Фурье

равно

K (x, s)

cos sx .

Косинус

преобразование Фурье

имеет

вид

184

		f (x) s	1
c	(s) c		1	f (x) cos sxdx .


			2
			2

Для чётных функций косинус преобразование Фурье имеет

вид


c (s) c f (x) s	2
			f (x) cos sxdx

		0

7.2. Преобразование Лапласа

Пусть f (t) - комплекснозначная, кусочно непрерывная (то

есть на каждом ограниченном отрезке числовой прямой имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода) на полу-


интервале [0, ) , функция. Рассмотрим интеграл	f (t)e rt dt .
	0

Если при некотором r0 этот интеграл абсолютно сходится, то он

абсолютно сходится и при любом r таком,			что	Re r Re r0 .
Наименьшее действительное r0		такое, что	для	всякого	r с

Re r r0 ,	интеграл f (t)e rt dt	абсолютно	сходится, а		при
	0
Re r r0	абсолютно расходится, называется показателем роста
функции	f (t) . Если показатель роста r0 , то говорят,				что

функция имеет ограниченный рост. Примером функции ограниченного роста служит функция такая, что f (t) Mer0t .

Комплекснозначную функцию f (t) заданную на интервале ( , ) назовём оригиналом, если она обладает свойствами

1)f (t) 0 для всех t ( ,0) ;

2)f (t) кусочно непрерывна, то есть на каждом ограничен-

ном отрезке числовой прямой имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода;

3)f (t) ограниченного роста.

185

Заметим, что любую кусочно непрерывную функцию ограниченного роста можно сделать оригиналом, если умножить её

0,если t 0,
на функцию h(t)	. Функцию	h(t)	называют еди-
	1,если t 0

ничной или функцией Хэвисайда. С учётом сделанного замечания кусочно непрерывные функции ограниченного роста будем считать оригиналами.

Ядро преобразования Лапласа равно e px . Преобразование Лапласа определяется для оригиналов и имеет вид

F p L f t p f t e pt dt .

Функцию F ( p) комплексного переменного p называют изображением функции f (t) .

Свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность. Если (Lf )( p) F ( p) , (Lg)( p) G( p) , то

(L( f g))( p) (Lf )( p) (Lg)( p) F ( p) G( p) , (L( f ))( p) (Lf )( p) F ( p) .

Доказательство. В общем случае было доказано ранее. Непосредственно следует из определения преобразования Лапласа и свойств интеграла. Действительно,


(L( f g))( p) f t g t e pt dt
	0

f t e pt dt g t e pt dt (Lf )( p) (Lg)( p) F ( p) G( p) .
0	0

(L( f ))( p)	f t e pt dt f t e pt dt (Lf )( p) F ( p) .
0	0
2. Подобие. Если (Lf )( p) F ( p) , то
	L f t p	1		p
			F		.
			F		.

Доказательство. Действительно

186

	1		p
L f t p f t e pt dt		f t e		( t )d ( t)


0		0

3. Запаздывания. Если (Lf )( p) F ( p) , то

L f t p e p L( f (t))( p) e p F(

1		p
	F		.

Доказательство. Действительно


	L f t p f				t e pt dt f t e p(t )dt
				0					0

	f t e p(t )e p dt e p L( f (t))( p) e p F ( p) .
	0
4.	Смещения. Если (Lf )( p) F ( p) , то
			L e p0t f		t p F ( p p )
										0
Доказательство. Действительно

L e p0t f t p e p0t f t e pt dt f t e ( p p0 )t dt F ( p p0 ) .
			0						0
5.	Дифференцирования оригинала.									Если (Lf )( p) F ( p) ,
	и f				f		(n)		(t) оригиналы, то
	и f	(t) ,	f (t) , …,		f				(t) оригиналы, то
			L f	t p pF( p) f ( 0) ,
		L f
		L f	t p p F( p) pf ( 0) f ( 0) ,
					2
					2
	L f (n) t p pn F( p) pn 1 f ( 0) ... f (n 1) ( 0) .

Доказательство.				Действительно L f t p f t e pt dt .
										0

Преобразуем интеграл f t e pt dt с помощью формулы интег-
				0
рирования		по	частям			с			u e pt ,	dv f (t)dt . Тогда
du pe pt dt , v f (t) и

	f t e pt dt f (t)e pt							p f t e pt dt pF( p) f ( 0) ,.

						0
						0
	0								0
								187

так как lim f (t)e pt 0. Далее,

L f t p pL f t p f ( 0)

p L f t p f ( 0) f ( 0) p2 F( p) pf ( 0) f ( 0) .

По аналогии

pL f (n 1) t p f (n 1) ( 0)

L f (n) t p

p L f (n 2) t p f (n 2) ( 0) f (n 1) ( 0) ...

pn F( p) pn 1 f ( 0) ... f (n 1) ( 0)

Дифференцирование

изображения.

Если

(Lf )( p) F ( p) , то

F ( p) L( tf (t))( p) ,

F(n) ( p) L(( 1)n tn f (t))( p) .

В частности,

L tn ( p)

pn 1

Доказательство. Действительно, дифференцируя по пара-

метру под знаком интеграла, получаем

F ( p)

f t e pt dt f

e pt dt

f t ( t)e pt dt

( t) f t e pt dt L( tf (t))( p) .

Далее по индукции.

Интегрирование оригинала. Если (Lf )( p) F ( p) , то

F ( p)

L f ( )d ( p)

Доказательство. Так как

f t оригинал, то g(t) f ( )d

тоже оригинал и g (t)

f ( )d f t ,

g(0) 0 . Поэтому

188

F ( p) L f (t) ( p) L g (t) pL g(t) ( p) g(0)

t			pt
	f ( )d		pt
p	f ( )d	e		dt .
0	0

Разделив крайние части равенства на p , получаем требуемое.

8.Интегрирование изображения Если (Lf )( p) F ( p) , и

						f (t)
интеграл F ( p)dp абсолютно сходится, то						f (t)		оригинал и
интеграл F ( p)dp абсолютно сходится, то								оригинал и
	p						t
	p
			f (t)
			f (t)
		L		( p) F ( p)dp .
		L		( p) F ( p)dp .
			t		p
					p
Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.
		t
Функция ( f g)(t) f ( )g(t )d называется свёрткой
		0
функций f (t) и g (t) .
Свойства свёртки.
1.	Свёртка симметрична, то есть ( f g)(t) (g f )(t) .
Доказательство. Действительно, сделав								в	интеграле
t
f ( )g(t )d замену		s t , получаем					t s , ds d ,
0
t	0				t
f ( )g(t )d f (t s)g(s)ds f (t s)g(s)ds .									Крайние
0	t				0

части отличаются только обозначениями.

2.Если (Lf )( p) F ( p) , (Lg)( p) G( p) , то

L ( f g)(t) ( p) F( p)G( p) .

Доказательство. Примем эту теорему без доказательства. 3. Формула Дюамеля

	t

L f (0)g(t) f		( )g(t )d ( p) pF ( p)G( p) .
	0

Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.

189

Таблица оригиналов и изображений

оригинал

изображение

h(t)

e t

cos t

sin t

t n

pn 1

ch t

sh t

e t cos t

p 2

e t sin t

p 2

Первая теорема обращения. Если F ( p) является изобра-

жением функции f (t) , то в каждой точке непрерывности f (t)

	1	a i
f t L 1 F p t		F p e pxdp ,
	2 i
		a i

где интеграл берётся вдоль любой прямой с Re p a r0 , а r0 -показатель роста функции f (t) .

Доказательство. Примем эту теорему без доказательства.

Вторая теорема обращения. Если

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб51Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf