Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Преобразуем слагаемое a			cos		n x	b sin		n x		в (3.7). Имеем
	n
					l		n		l

a cos		n x		b sin			n x

n			l		n		l

n x

cos

sin

n x

an bn

Положим

cos n

sin n .

2 b 2

b 2

С учётом этих обозначений имеем

n x

a cos

b sin

cos

sin

n x

A cos

Поэтому ряд (3.7) может быть записан в виде

n x

f (x)

An cos

n 1

n x

Функция

A cos

является периодической

наи-

меньшим периодом

и представляет собой гармоническое

колебание. Поэтому разложение функций в ряд Фурье называют гармоническим анализом. Величина An называется ампли-

тудой гармоники,	n	частотой гармоники,		отклонением
			n
	l

от начального положения.

171

Величины An , n 1,2,... называют амплитудным спек-

тром, n - частотным спектром, , n 1,2,... - фазовым

l	n

спектром.

Заметим, что зная амплитудный, частотный и фазовый спектры, можно восстановить исходную функцию, так как имеет место следующий результат.

Теорема (Дирихле). Всякая кусочно непрерывная и ограниченная на отрезке [ l,l] функция (сигнал) f (x) может быть разложена в ряд Фурье (6.7) который сходится к периодической с периодом 2l функции S(x) заданной на числовой прямой и в точках отрезка [ l,l] принимающей значения

S (x) f (x 0) f (x 0) . 2

Для чётных функций коэффициенты (3.8), (3.9) разложения функции в ряд Фурье приобретают вид

2 l

n x

f (x) cos

dx , n 0,1,2,..., (6.10)

bn 0 ,

n 1,2,... .

(6.11)

Аналогично, для нечётных функций имеем

an 0 ,

n 0,1,2,...,

(6.12)

2 l

n x

f (x)sin

dx ,

n 1,2,... .

(6.13)

Функции, заданные на половине периода, можем продолжить на другую половину периода любым образом. Продолжая чётным образом, получаем разложение по косинусам

	a0		n x
f (x)		an cos		,	(6.14)
			l
2		n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (6.10), (6.11). Продолжая нечётным образом, получаем разложение по си-

нусам

172

	n x
f (x) bn sin		,	(6.15)
	l
n 1

коэффициенты которого находятся по формулам (6.12), (6.13). Разложение (6.7) можно также записать в виде

					n x
	f (x) cnei
	f (x) cnei				l	(6.16)
			n
коэффициенты которого находят по формулам
		l		n x
	2l
c	1		f (x)e i	l dx , n 0, 1, 2,... (6.17)
c			f (x)e i	l dx , n 0, 1, 2,... (6.17)
n

Разложение (6.16) называют рядом Фурье в комплексной форме.

	l
Соответственно	cn	есть амплитудный спектр,

l		n
arg	cn - фазовый спектр,		- частотный спектр.

		l

Интересна функция Хэвисайда, или что то же самое, еди-

	0,если t		0,
ничная функция h(t)		1,если t	0	. С помощью этой функции

удобно записывается ступенька			на	отрезке [t1,t2 ]		задаваемая
формулой	f (t)	1,если t [t1		,t2 ],	так	как

		0,если t [t1,t2 ]

f (t) h(t t1) h(t t2 ) .

Запишем условие замкнутости

k 2

2 для три-

k 1

гонометрической системы

1,cos

n x

,sin

n x

n 1,2,... и

функции f (x) с рядом Фурье

n x

f (x)

an cos

bn sin

n 1

для неё. Имеем

173

(x)dx .

n 1

Из этого соотношения сразу получаем,

что ряды an 2 ,

n 1

bn 2 сходятся, следовательно,

bn 2

и an 2

lim an 0 и

n 1

lim bn 0 .

Пусть g(x)

её ряд Фурье. имеет вид

a0 0 2

другая функция и

	0		n x		n x
g(x)		n cos		n sin
	2		l		l
		n 1

Условие замкнутости для функции f (x) g(x)

		l
an n 2 bn n 2	1		f (x) g(x) 2 dx .
an n 2 bn n 2	l		f (x) g(x) 2 dx .
n 1		l

Аналогично для функции f (x) g(x) условие замкнутости имеет вид

2			1		l
a0 0	2	2	1		2
	an n	bn n			f (x) g(x) dx .
2	an n	bn n		l	f (x) g(x) dx .
	n 1				l

Вычитая из первого соотношения второе и сокращая на 4, получаем соотношение

a	0		1 l
0	0	an n bn n		f (x) g(x)dx ,
2		an n bn n	l	f (x) g(x)dx ,
		n 1		l

которое называется обобщённым условием замкнутости.

Пусть теперь	1,	если x [x1, x2	],	Тогда
	g(x)	если x [x1, x2 ].
	0

174

g(x)dx

n x

g(x)cos

cos

dx ,

n x

g(x)sin

sin

dx ,

f (x) g(x)dx

f (x)dx.

Подставляя полученные выражения для 0 ,

n ,

n в обоб-

щённое условие замкнутости, получаем

n x

dx an

cos

dx bn sin

f (x)dx ,

n 1

что и означает почленную интегрируемость ряда Фурье для функции f (x) . Таким образом, мы доказали следующий резуль-

тат.

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье кусочнонепрерывной функции можно интегрировать почленно независимо от характера сходимости.

Для почленной дифференцируемости удаётся доказать лишь следующий результат.

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема, то ряд Фурье для производной f (x) может быть получен почленным дифференцированием ряда Фурье для функции f (x) .

Доказательство опустим.

Отметим, что в сформулированной теореме поточечная сходимость ряда Фурье для производной не гарантируется, хотя в среднеквадратичном ряд сходится обязан.

Интересны также условия равномерной сходимости ряда Фурье, которые сформулированы в следующей теореме.

175

Теорема. Пусть функция	f (x) непрерывна на [ l,l]		и ку-
сочно дифференцируема на	[ l,l] .	Пусть, кроме	того,
f ( l) f (l) . Тогда ряд Фурье функции		f (x) сходится к	f (x)
равномерно относительно x [ l,l] .

Доказательство. Для доказательства равномерной сходимо-

сти

достаточно

показать сходимость числового

ряда

f (x)

так как он является мажорирующим для

n 1

n x

ряда Фурье

f (x)

an cos

bn sin

функции

f (x) .

n 1

Пусть

a ,

коэффициенты ряда Фурье

n x

f (x)

a cos

b sin

n 1

функции

f (x) . Установим связь между коэффициентами an , bn

и a ,

b функций

f (x)

и f

(x) . Применяя к коэффициентам a

формулу интегрирования по частям с u f (x) ,

dv cos

n x

dx ,

f (x)dx ,

sin

n x

, получаем

f (x)cos

n x

dx ,

n x

f (x)

sin

(x)sin

bn , n 0,1,2,....

u f (x) ,

dv sin

n x

dx ,

Аналогично

для

полагая

f (x)dx ,

cos

n x

, получаем

176

1 l

f (x)sin

n x

f (x)

cos

f (x)cos

an , n 1,2,... .

f ( l) f (l) .

Первое слагаемое равно нулю в силу равенства

Таким образом, получили

1,2,... .

, n

Докажем, что ряды

сходятся. Действитель-

n 1

но, из неравенства A B

следует оценка

Положив в этом неравенстве

получаем оценку

A an , B

из которой следует сходимость ряда

n 1

так как ряд

сходится в силу условия замкнутости для

n 1

функции

, откуда

f (x) . Аналогично

сходимость ряда

. Следовательно, из

n 1

, n 1,2,... ,

получаем,

что ряд f (x)

сходится, а

n 1

следует

b ,

поэтому

ряд Фурье функции f (x) сходится равномерно. Теорема доказана.

177

Из доказанной теоремы следует оценка скорости сходимости к нулю коэффициентов an , bn . Точнее, имеет место следующий

результат.

Следствие 1. Пусть функция

f (x)

непрерывна на [ l,l] и

кусочно

дифференцируема

на

[ l,l] .

Пусть,

кроме

того,

f ( l) f (l) . Тогда lim ann 0 , lim bnn 0 .

2 сходится в

Доказательство. Так как ряды

a 2

n 1

lim a 2

силу условия замкнутости для функции

f (x) , то

0 и

lim

b 2

по необходимому признаку сходимости.

Следова-

тельно,

lim a 0 и

lim b

0 .

Умножая обе части равенств

1,2,...

на

получаем требуемое.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть периодическая с периодом 2l

функция

f (x)

непрерывна вместе с производными до порядка m вклю-

чительно,

m 1 -я производная кусочно непрерывна. Тогда

lim annm 1

0 , lim bnnm 1 0

и ряды

nk ,

k 1,2,...,m

n 1

сходятся.

Доказательство. Нетрудно показать, что если

f (x) перио-

дическая с периодом 2l

функция, то и все её производные, если

они существуют,

тоже периодические с периодом 2l функции.

силу

периодичности

f (k ) ( l) f (k ) ( l 2l) f (k ) (l) ,

k 1,2,..., m .

Так

как

по условию f (m) (x) непрерывна, а

f (m 1) (x)

a(m 1)

n 1

кусочно

		(m 1)
	,	bn
	,	n
	n 1	n
	n 1

непрерывна, то по следствию 1, ряды

сходятся и lim a(m)n 0 ,		lim b(m)n 0 . Да-
n	n	n	n

178

лее, ряды

an(m)

bn(m)

сходятся и

lim an(m 1)n2

0 ,

n 1

lim bn(m 1)n2

0 . Продолжая,

получаем, что

ряды

nm ,

n 1

сходятся,

n 1

nk ,

n 1

lim a(m m)nm 1		lim a n
n	n	n	n

Следствие доказано.

следовательно сходится и ряды

k 1,2,...,m . Кроме того

m 1 0 ,	lim b(m m)nm 1		lim b nm 1		0 .
	n	n	n	n
	n		n

7. Интегральные преобразования

Пусть K(x, s, t) – функция переменных x, s, t , которые мо-

гут быть многомерными. Пусть G Rn - некоторое множество, U (G) – подмножество множества ограниченных на G функций. Оператор A , определённый на U (G) и действующий по формуле ( Af )(s) K (x, s, f (x))dx назовём интегральным оператором

или	интегральным преобразованием. Функцию K(x, s, t) назо-
вём	ядром	интегрального	преобразования.	Интеграл

K (x, s, f (x))dx есть интеграл, зависящий от параметра и, сле-

довательно, его свойства такие, как предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру, определяются свойствами подынтегральной функции (ядра интегрального преобразования). Мы будем рассматривать частный случай ядра K(x, s, t) K(x, s) t . Такие ядра называют мульти-

пликативными. В случае этого ядра справедлива теорема.

Теорема. Если U (G)	- линейное пространство, то оператор
( Af )(s) K (x, s) f (x)dx ,	определённый на этом пространстве,
G
линеен, то есть
	179

( A( f g))(s) ( Af )(s) ( Ag)(s) , ( A( f ))(s) ( Af )(s) .

Доказательство очевидно из свойства линейности как собственных, так и несобственных интегралов.

Другие свойства интегральных преобразований зависят от ядра K(x, s) , размерности переменных x, s и области G .

Наиболее известны преобразования Фурье, синус преобразование Фурье, косинус преобразование Фурье и преобразование Лапласа.

7.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус и косинус преобразования Фурье

Множество

есть

числовая прямая, то есть

G R ( , ) ,

U (G) -

совокупность абсолютно интегри-

руемых на ( , ) функций.

Ядро преобразования

Фурье

равно

K (x, s)

e isx .

Преобразование Фурье имеет вид

(s) f (x) s

f (x)e isxdx .

Функция (s)

называется также спектральной функцией

или спектральной плотностью,

(s)

называется амплитудным

спектром, arg (s) называется фазовым спектром.

Обратное преобразование Фурье имеет вид

(s)eisxds .

Подставляя в выражение для обратного преобразования Фу-

рье функцию (s)

(результат прямого преобразования Фурье),

получаем конструкцию

f t e

ist

isx

f t e

is( x t )

dt ds ,

которая называется интегралом Фурье. Это аналог ряда Фурье. Имеет место следующий результат.

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб53Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf
#
05.02.2023886.2 Кб7Математическая логика и теория алгоритмов.-2.pdf