Математика.-5

Устремляя h к нулю, получаем

Таким образом, мы получили, что функция определяемая интегралом типа Коши обладает производными любого порядка в каждой точке не лежащей на кривой L и все эти производные есть функции аналитические (голоморфные) в этих точках.

Так как функция определяемая интегральной формулой Ко-

ши f (z0 ) 1 f (z) dz является частным случаем интеграла

2 i C z z0

типа Коши, то она тоже обладает производными любого порядка во всех точках лежащих внутри контура C которые вычисляются по формулам

непрерывна в замыкании G G области G , то вместо контуров C можно поставить границу G области G .

5. Представление функций рядами

5.1. Числовые ряды

Всюду, где введено понятие суммы двух объектов мы можем рассматривать суммы конечного числа элементов. Если операция сложения ассоциативна, то скобки можно опустить, и в таком случае у нас однозначно определено выражение

n

ak a1 a2 ... an . Вызывает интерес распространение по-

k 1

нятия суммы на бесконечное число слагаемых и выяснения условий сохранения свойств конечных сумм.

Назовём выражение an рядом, an - общим членом ряда.

n 1

В качестве слагаемых чаще всего рассматривают числа, и тогда ряд называется числовым, функции и тогда ряд называется функциональным. Можно рассматривать так же ряды из векторов, но так как операции сложения векторов сводятся к операциям сложения их координат, принципиально нового не получается. Вначале будем рассматривать числовые ряды.

Вместе с рядом an рассмотрим последовательность

n 1

n

Sn ak a1 a2 ... an которая называется последователь-

k 1

ностью частичных сумм ряда и составлена из суммы первых n членов ряда.

Определение. Если существует и конечен предел lim Sn

n

n

частичных сумм Sn ak a1 a2 ... an ряда, то будем го-

k 1

ворить, что ряд сходится и называется сходящимся, если же этот предел не существует или равен , то будем говорить, что ряд расходится и называется расходящимся.

122

Переходя к пределу при n стремящемся к , получаем, что ряд

Вспоминая определение предела последовательности на языке неравенств, можем сформулировать определение сходимости ряда с помощью неравенств.

Проводя аналогии с пределом последовательности, можем сформулировать критерий Коши сходимости ряда, который выглядит следующим образом.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того,

чтобы ряд an сходился, необходимо и достаточно, чтобы для

Следствие (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то предел общего члена ряда существует и равен

нулю, то есть lim an 0 .

n

Получается из критерия Коши при p 1.

Необходимый признак сходимости ряда является полезным, когда нужно доказать расходимость ряда, так как он эквивалентен следующему результату.

Следствие (необходимый признак сходимости ряда в альтернативной форме). Если предел общего члена ряда не

существует или lim an 0 , то ряд расходится.

n

Следует из того, что утверждение «предложение A влечёт выполнение предложения B » эквивалентно утверждению «отрицание предложения B влечёт выполнение отрицания предложения A » ( (A B) ( B A) , через A

ние утверждения A ).

Утверждение обратное необходимому признаку сходимости неверно, то есть из равенства нулю предела общего члена ряда вовсе не следует его сходимость. Для доказательства достаточно привести пример ряда, общий член которого стремится к нулю при n стремящемся к , а ряд расходится. Классическим при-

S4 S2 13 14 S2 12 2 , S8 S4 15 16 17 18 S4 12 52 .

Таким образом, последовательность S1, S2 , S4 ,...,S2k ,... является возрастающей и каждый последующий член этой последовательности

последовательности равен . Таким образом мы доказали, что гармонический ряд расходится.

Риман доказал, что не для всех рядов можно переставлять слагаемые. Выяснение вопроса о том, когда можно переставлять члены ряда приводит нас к необходимости введения нового понятия.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если

сходится ряд из модулей, то есть сходится ряд an .

n 1

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство. Если ряд сходится абсолютно, то выпол-

k n 1

опущен, так как слагаемы положительны). Так как по свойствам

an , поэтому исходный ряд сходится.

n 1

Обратное доказанному утверждению не верно. То есть имеются ряды сходящиеся и не сходящиеся абсолютно. Об этом поговорим несколько позднее.

Определение. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится и не сходится абсолютно.

126

Отметим также, что для знакоположительных рядов с действительными членами понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Для рядов с комплексными членами

абсолютная сходимость ряда an эквивалентна одновремен-

ветственно из действительных и мнимых частей общего члена ряда.

Это следует из цепочки неравенств Rea a , Ima a , a Rea Ima и теоремы сравнения, доказываемой ниже.

Достаточные признаки сходимости могут быть сформулированы как в терминах абсолютной сходимости, так и в терминах сходимости знакоположительных рядов с действительными членами.

Признак сравнения. Этот признак имеет непредельную (конечную) и предельную формы.

Непредельная форма признака сравнения. Пусть имеется

мера выполняются неравенства an bn , то из абсолютной схо-

димости ряда (2) следует абсолютная сходимость ряда (1) и из абсолютной расходимости ряда (1) следует абсолютная расходимость ряда (2).

Доказательство. Не умаляя общности можно считать, что

тельно, отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому отбросив члены, для которых это неравенство не выполнено и перенумеровав, получаем для новых двух рядов, что соответствующее неравенство выполняется с

127

номера n 1 . Пусть ряд (2) абсолютно сходится, то есть сходит-

n 1

растающей ограниченной сверху последовательностью и поэто-

му имеет предел. То есть ряд an сходится. С другой сторо-

либо оба ряда абсолютно сходятся либо абсолютно расходятся.

Дальнейшее следует из теоремы сравнения в непредельной (конечной) форме. Действительно, если ряд (2) абсолютно схо-

дится, то используя правую часть an K bn неравенства

(4), заключаем, что и ряд (1) абсолютно сходится. Далее, если абсолютно сходится ряд (1), то используя левую часть

K bn an неравенства (4) заключаем, что и ряд (2) абсолютно сходится. Аналогично, если ряд (2) абсолютно не сходится, то используя левую часть K bn an неравенства (4), за-

ключаем, что и ряд (1) не является абсолютно сходящимся. Далее, если ряд (1) абсолютно не сходится то используя правую

часть an K bn неравенства (4) заключаем, что и ряд (2)

абсолютно не сходится. Теорема доказана.

Отметим, что также как и в несобственных интегралах 1- го рода удобно в качестве эталонного ряда применять обоб-

дится, а при 1 сходится.

Интегральный признак (Коши). Пусть для ряда an

n 1

удаётся подобрать монотонную действительнозначную функцию f действительного аргумента так, что f (n) an . Тогда

из сходимости интеграла f (x)dx следует абсолютная сходи-

1

129

n 1

сходимости интеграла следует абсолютная сходимость исходного ряда. Если исходный ряд сходится абсолютно, то есть схо-

лученной оценки следует, что ряд an расходится, то есть из

n 1

расходимости интеграла следует, что исходный ряд не сходится абсолютно. Если исходный ряд не сходится абсолютно, то есть