Математика.-5

с областью определения G R3 ( D R2 ). Аналогично гово-

Если областью определения векторного поля является множество точек на плоскости, то поле называют плоским. Векторное поле можно интерпретировать как множество точек, к каждой из которых присоединён вектор. Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, электрическое поле точечного заряда, магнитное поле, плотность электрического тока.

Напомним введённые ранее понятия, имеющие отношение к векторным и скалярным полям.

Вектор

называется градиентом скалярной функции (скалярного поля). Скаляр

называется производной по направлению вектора a от скалярной функции векторного аргумента.

Векторное поле или вектор-функцию назовём потенциальным, если существует скалярная функция (скалярное поле)

U (x, y, z) такая, что gradU (U )T f (x, y, z) (P,Q, R)T .

Функцию U назовём при этом потенциалом поля f .

Заметим, что если U - потенциал поля f , то U C тоже потенциал этого поля.

91

Критерием потенциальности поля служит следующий

R(x, y, z)k (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z))T является потенци-

альным в области R3 тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1) криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому контуру L , полностью лежащему в , равен нулю

( ( f , dl) 0 для L ), или, что то же самое, циркуляция

L

поля по любому замкнутому пути равна нулю;

2) если A1, A2 - любые две точки из и L1, L2 -две произвольные кривые, их соединяющие, то ( f , dl) ( f , dl) ,

L1 L2

то есть криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования.

Если поле потенциально и U (x, y, z) - его потенциал, то

( f , dl) U ( A2 ) U ( A1 ) .

откуда и следует требуемое. Пусть теперь выполнено условие 2, L - произвольный замкнутый контур, лежащий в и A1, A2 - две произвольные точки, лежащие на контуре L . Точками

0 ( f , dl) ( f , dl) ( f , dl) ( f , dl) ( f , dl ).

Перейдём к доказательству теоремы.

Необходимость. Пусть поле потенциально, то есть су-

L - произвольный путь, соединяющий A1, A2 . Пусть кривая L задана параметрически так, что значению параметра t1 соответствует точка A1 , а значению параметра t2 соответствует точ-

ной функции U (x(t), y(t), z(t)) . Поэтому последний интеграл равен

t2 dUdt dt U (t2 ) U (t1 ) U ( A2 ) U ( A1 ).

t1

Мы получили, что интеграл зависит от конечных точек и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, A(x, y, z) - произвольная точка

Определение. Поле называется безвихревым, если rot f 0 .

Между величиной rot f и потенциальностью поля

f (x, y, z) существует связь, выражаемая следующей теоремой.

Теорема. Если поле

f (x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))T

потенциально и существует непрерывная производная

f (x, y, z) , то оно безвихревое (всякое потенциальное дифференцируемое поле является безвихревым), то есть rot f 0 .

Доказательство. Если поле потенциально, то существует скалярнозначная функция U (x, y, z) такая, что

Теорема доказана.

Обратное утверждение верно лишь при дополнительных ограничениях на область в которой задано векторное поле. Для уточнения формулировок введём некоторые понятия.

Определение. Множество называется связным, если

для любых двух точек из этого множества существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве.

Определение. Точку множества назовём внутренней

точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в данном множестве; внешней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая вне данного множества; граничной, если во всякой окрестности этой точки есть как точки данного множества, так и точки, ему не принадлежащие. Совокупность всех граничных точек данного множества назовём его границей.

95

Определение. Множество назовём односвязным, если

его граница есть связное множество.

Теорема. Если область является односвязной и векторное поле безвихревое ( rot f 0 ), то оно потенциально.

Доказательство этого результата опустим. Желающие могут познакомиться с ним в [8].

Рассмотрим более подробно плоский случай. Пусть векторное поле задано на плоскости, то есть имеет вид

Таким образом, для плоского поля условие rot f 0 эк-

вивалентно условию Q P . Тогда сформулированные выше

x y

результаты о потенциальности поля приобретают следующий вид.

Теорема. Если плоское поле потенциально, то Q P .

x y

Теорема. Если Q P и область односвязная, то

x y

плоское поле f потенциально.

Теорема. Если область односвязная, то любой криволинейный интеграл P dx Q dy по произвольному контуру L не

L

зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

Q P .x y

Теорема. Если область односвязная, то поле потенциаль-

но тогда и только тогда, когда Q P .

x y

96

ально во всей плоскости. Следовательно, криволинейный инте-

A

грал P dx Q dy по любому пути, соединяющему две точки,

A0

не зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирования A0 выберем начало координат

(0,0) . Конечную точку возьмём произвольную с координатами (x, y) . Наи-

более простыми путями интегрирования являются две возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, парал-

лельных координатным осям. Поэтому для пути, изображённого на рисунке (с учётом того, что (x0 , y0 ) (0,0) ),

Таким образом, U (x, y) x2 y .

Пример 2. Доказать, что поле

f(x, y, z) y2 z, 2xyz, xy2 3z2 T

y2 zi 2xyzj ( xy2 3z2 )k (P,Q, R)T

потенциально и восстановить его потенциал.

97

потенциально во всём пространстве. Следовательно, криволинейный интеграл

A

P dx Q dy Rdz по любому

A0

пути, соединяющему две точки, не зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирова-

ния A0 выберем начало координат (0,0,0) . Конечную точку возьмём произвольную с координатами (x, y, z) . Наиболее простыми путями интегрирования

являются возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому, для пути, изобра-

жённого на рисунке (с учётом того, что (x0 , y0 , z0 ) (0,0,0) ),

Таким образом, U (x, y, z) xy2 z z3 .

Введём ещё одну характеристику векторного поля, называемую дивергенцией, или функцией источника, по формуле

98

Назовём поле соленоидальным или трубчатым, если дивергенция равна нулю в каждой его точке. Соленоидальные поля однородны по структуре. В них нет ни источников ни стоков.

99

4. Введение в теорию функций комплексного переменного

4.1 Комплексные числа и действия над ними

При решении алгебраических уравнений степени два и выше иногда приходится рассматривать конструкции вида

a b 1 , где a и b – некоторые действительные числа. На-

ном выражении с конструкцией 1 2 1 как с двучленом по

правилам алгебры, известным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем

тать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ; z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2 ) (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1) .