Математика.-3

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Отсюда C 2,C

3 . Частное решение y 2e x 3xe x .

y 2e x 3xe x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Решение. Характеристическое уравнение: r 5 r 3 0 , то есть r 3 (r 1)(r 1) 0 , его 5 корней: 0,0,0,1, 1 .

ФСР состоит из функций 1, x, x 2 , e x , e x , где для кратного корня записали степенные функции (по возрастающей), причѐм у них из-за

корня 0 есть множитель e0 x , равный 1, поэтому его не пишем.

Ответ. y C1 C2 x C3 x2 C4ex C5e x .

Задача 113. Найти общее решение дифф. уравнения частное решение при условиях Коши y(0) 2, y (0) Решение. Характеристическое: r 2 2r 1 0 , т.е. (r корень 1 кратности 2. Поэтому ФСР: e x , xe x , общее

y C e x C	2	xe x . Теперь ищем частное решение.
1	2
y C e x C	2	xe x ,	y(0) 2	С 2
1	2			1
y C1e x C2 (x 1)e x ,			y (0) 1	С1 C2 1

y 2 y y 0 и 1 .

1)2 0 . Здесь решение:

Задача Д-27. Решить уравнение y 9y 0 , найти частное решения для условий Коши: y(0) 2, y (0) 0 .

Ответ. y e3x e 3x .

Задача 114. Найти частное решение дифференциального уравнения y 2y 9y 18y 0 при условиях Коши:

y(0) 1, y (0) 1, y (0) 1 .

Решение. Характеристическое уравнение: r 3 2r 2 9r 18 0 , то

есть r 2 (r 2) 9(r 2) 0 , то есть (r 2					9)(r 2) 0 . Корни 2,3, 3 .
Общее решение y C e2x C e3x C e 3x .
		1	2	3
Запишем также производные, и применим условия Коши:
y C e2x C e3x		C e 3x ,		y(0) 1		C C	2	C	3	1	,
1	2	3				1	2		3

y 2C e2x 3C e3x 3C e 3x , y (0) 1			2C 3C	2	3C			3	1 ,
1	2	3	1	2				3
y 4C e2x 9C e3x 9C e 3x , y (0) 1			4C 9C			2	9C			3	1.
1	2	3	1			2				3

Для решения системы методом Гаусса, запишем и преобразуем расширенную матрицу. Из 2-й строки вычитаем 1-ю, домноженную на

2, а из третьей - 1-ю,домноженную на 4. Затем к 3-й строке
прибавляем 2-ю.
	1 1 1						1 1		1	1				1 1 1					1
	1 1 1		1				1 1		1	1				1 1 1					1

	2 3 3		1				0 1		5	1				0	1 5				1
	4 9 9						0 5		5	5				0	6 0				6
	4 9 9		1				0 5		5	5				0	6 0				6


Теперь сразу видно, что С2 1 . Тогда С3															0 , С1 2 .
Частное решение: y						ч	2e2x e3x .
						ч
Ответ. y C e2x					C e3x			C e 3x ,			y	ч	2e2x e3x .
			1			2			3			ч
Задача 115.			Найти общее решение уравнения y 2 y 2 y 0 .
Решение. Характеристическое уравнение: r 2 2r 2 0 .

Ищем его корни.					D 4 4 2 4 . Корни										2		4	=		2 4			1		=
																2					2

1		1 = 1 i . Найдѐм действительную и мнимую части функции
exp((1 i)x) = e x eix						= e x (cos x i sin x)							= e x cos x iex sin x .
Две линейно-независимых функции образуют ФСР:
y e x cos x и				y e x sin x . Общее решение: y C e x cos x C																		2	e x	sin x .
																1						2
Ответ. y C e x cos x C								2	e x sin x .
			1					2
Проверка. Проверим, например, одно из слагаемых.
	y e x sin x		y e x (sin x cos x)
y e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) = 2e x cos x .
Подставим в уравнение.								2e x cos x 2e x (sin x cos x) 2e x sin x = 0.

Задача Д-28. Найти общее решение дифф. уравнения y y y 0 . 82

		x									x
					3									3

Ответ.	y C e	2	cos			x	C		e	2		sin			x .
								2
	1			2									2

Линейные неоднородные уравнения высшего порядка.
Задача 116 (А,Б). Решить уравнение y y e2 x .
А) методом Лагранжа	Б) методом неопределѐнных коэффициентов.
Решение. Шаг I. Сначала решим однородное уравнение y y 0 .
Характеристическое:	r 2 1 0 , корни 1 и 1. ФСР: e x , e x .
Общее решение однородного:		y C e x C	2	e x .
		1	2
Шаг II. Решаем неоднородное.
А) методом Лагранжа. Ищем решение в виде						y C (x)e x C	2	(x)e x .
						1	2
Тогда y C (x)ex C	(x)e x C (x)ex C				2	(x)e x .
1	2	1			2
Если мы продифференцируем 2-й раз и подставим в уравнение, то

получится 1 условие на 2 неизвестных функции. То есть, они будут найдены не однозначным образом (условий меньше, чем неизвестных). Поэтому можем на промежуточном шаге добавить ещѐ

одно условие, а именно, фиксировать C (x)ex C													(x)e x 0 . Тогда
												1	2
как раз получится 2 условия на 2 функции, и кроме того, не будет
чрезмерно много слагаемых в следующей производной.
Итак, пусть дальше y C (x)e x C									2	(x)e x . Тогда
					1				2
y C (x)ex			C	(x)e x	C (x)ex		C				2	(x)e x . А теперь подставим
	1			2	1						2
найденные y и y в уравнение y y e2 x .
C	(x)ex C	2	(x)e x C (x)ex C			2	(x)e x C (x)e x C							2	(x)e x	e2 x .
1		2		1		2						1		2
3,4 слагаемые в левой части идентичны 5,6. Они сокращаются.
Тогда будет C (x)ex C					(x)e x e2x .
			1		2
Итак, получилась система:
				C (x)ex C						(x)e x 0
					1			2
				C	(x)ex C		(x)e x e2x
				1			2

Прибавим ко 2-му уравнинию 1-е, получим 2C

(x)ex

e2x

(x)

Далее подставим это в 1-е, получим

(x)e

(x)

Ищем их первообразные.

(x)

C (x)

C .

(x)

(x)e x

Тогда y C (x)e x

e x C

e x

e3x C

e2 x

C e x

e x

e2x C e x C

e x .

Ответ.

e2 x

C e x C

e x .

Б) методом неопределѐнных коэффициентов.

Однородное уже решено: y C1e x C2 e x . Ищем частное решение неоднородного по виду правой части.

b(x) e2 x e2 x 1 cos 0x 0 sin 0x .

Число 2 не входит в состав корней левой части, то есть кратность совпадения k 0 . Тогда частное решение ищется в виде

y x0 e2 x A cos 0x B sin 0x , т.е. y Ae 2 x .
Тогда y 2 Ae 2 x ,	y 4 Ae 2 x . Подставим их в неоднородное
уравнение. 4Ae 2 x	Ae 2 x	e2 x 3A 1 A				1	частное
уравнение. 4Ae 2 x	Ae 2 x	e2 x 3A 1 A				3	частное
						3
решение неоднородного		1	e	2x	.
решение неоднородного		3	e		.
		3

Ответ.

e2 x C e x C

e x .

Задача Д-29.

Уравнение

y y xe x решить методом

неопределѐнных коэффициентов.

e x

Ответ.

e x C e x C

Задача 117. Решить уравнение: y 5 y 4 y e3x методом

неопределѐнных коэффициентов.

Решение. Шаг 1. Сначала найдѐм решение соответствующего однородного уравнения y 5y 4 y 0 . Характеристическое

уравнение r 2 5r 4 0 , его корни 1 и 4. Их можно было как найти через дискриминант, так и просто заметить, что многочлен представляется в виде (r 1)(r 4) .

Тогда общее решение однородного уравнения:	y C e x C	2	e4 x .
	1	2
Шаг 2. Заметим, что b(x) 1 e3x , число 3 не			является

характеристическим корнем, т.е. экспонента в правой части не совпадает ни с одной из экспонент, присутствующих в решении

однородного уравнения. Тогда кратность k 0 ,	то	есть
дополнительный множитель в частном решении имеет вид	x0	1 , то

есть фактически, его не будет. Многочлен нулевой степени, а именно 1, должны заменить на произвольный многочлен той же степени, то есть константу A . Итак, структура частного решения будет иметь вид

y x0 A e3x Ae3x .		Если y Ae3x ,		то		легко установить, что
y 3Ae3x ,	y 9 Ae3x .	Подставим их		в	исходное		неоднородное
уравнение y 5 y 4 y e3x . Получим			9Ae3x 15 Ae3x				4Ae3x e3x ,
то есть 2Ae3x e3x , откуда 2A 1,			A		1	.
					2

Частное решение 12 e3x . Тогда ответ, то есть общее решение неоднородного уравнения: y 12 e3x C1e x C2e4 x .

Ответ. y 12 e3x C1e x C2e4 x .

В следующих 2 задачах будем варьировать правую часть по сравнению с прошлой задачей, и посмотрим, чем будет отличаться решение. Пусть там будет или умножение на степенную, или другая степень экспоненты.

Задача 118. Решить уравнение: y 5 y 4 y xe3x методом неопределѐнных коэффициентов.

Решение. Характеристическое уравнение r 2 5r 4 0 , его корни 1

и 4. Общее решение однородного уравнения: y C e x

e4 x .

Шаг 2.

b(x) x e3x ,

где 3

не является характеристическим корнем,

Тогда

k 0 ,

Многочлен

первой степени должны заменить на

произвольный

многочлен

той же степени, то есть

Ax B .

Итак,

структура

частного

решения

будет

иметь

вид

y x0 ( Ax B) e3x ( Ax B)e3x .

y ( Ax B)e3x .

y 3( Ax B)e3x Ae3x = (3Ax 3B A)e3x .

y (9 Ax 9B 3A)e3x 3Ae3x

Подставим

их

исходное

неоднородное уравнение

y 5 y 4 y xe3x . , там сразу можно сократить на e3x .

(9Ax 9B 6A) 5(3Ax 3B A) 4( Ax B) x

2Ax A 2B x 0

система уравнений:

2A 1

, B

A 2B 0

Частное решение

. Тогда ответ, то есть общее решение

4 x

неоднородного уравнения:

C1e

C2 e

4 x

Ответ. y

C1e

C2 e

Задача 119. Решить уравнение: y 5 y 4 y e4 x методом неопределѐнных коэффициентов.

Решение. Характеристическое уравнение r 2 5r 4 0 , его корни 1 и 4. Общее решение однородного уравнения: y C1e x C2 e4 x .

Шаг 2. b(x) e4 x , где 4 является характеристическим корнем. Тогда k 1 . Частное решение ищется в виде y Axe 4 x . Лишний множитель x из-за того, что k 1 .

y Axe 4 x y A(4x 1)e4 x y A(16 x 8)e4 x

Подставим в неоднородное уравнение.

A(16 x 8)e4 x			5A(4x 1)e4 x 4Axe4 x e4 x
A(16x 8) 5A(4x 1) 4Ax 1								16Ax 20Ax 4Ax 8A 5A 1
3A 1			A	1	.
3A 1			A		.
			3
Ответ. y	1	xe4 x C e x C					e4 x .
Ответ. y		xe4 x C e x C					e4 x .
3			1			2
3

Задача 120. Решить уравнение y 3y 2 y e2 x .

Решение. Шаг 1. Характеристическое уравнение r 2 3r 2 0 , корни 1 и 2, общее решение однородного: y C1e x C2 e2 x .

Шаг 2. Решение неоднородного. b(x) e2 x . Здесь, в отличие от

прошлого примера, экспонента 2 степени, а число 2 совпадает с корнем 2 (кратности 1). Другими словами, в ФСР однородного

уравнения встречается точно такая же экспонента, как и в правой части. Поэтому кратность совпадения здесь k 1 .

y Axe 2 x . y Ae 2 x 2 Axe 2 x A(1 2x)e2 x
y 2 A(1 2x)e2 x 2 Ae 2 x		A(4 4x)e2 x . Тогда
A(4 4x)e2 x	3A(1 2x)e2 x		2 Axe 2 x		e2 x .
Ae2 x e2x . ,	A 1, частное решение				y xe 2 x
общее решение неоднородного				y xe2 x C e x C		2	e2 x .
					1	2
Ответ. y xe2 x C e x C		2	e2 x .
	1	2
Задача 121. Решить уравнение				y 3y 2 y (2x 1)e3x .

Решение. Шаг 1. Характеристические корни 1 и 2, общее решение однородного y C1e x C2 e2 x .

Шаг 2. Справа степень 3, то есть кратность совпадения 0. Ещѐ в правой части есть многочлен 1-й степени, в структуре частного решения надо будет записать произвольный многочлен 1-й степени, то есть в итоге, y ( Ax B)e3x .

Найдѐм производные 1-го и 2-го порядка, чтобы подставить их в уравнение.

y ( Ax B)e3x

y ( Ax B) e3x ( Ax B)(e3x ) = (3Ax 3B A)e3x . y (9 Ax 9B 3A 3A)e3x .

Подставим в уравнение, причѐм можно сразу сократить на экспоненту, которая там получается во всех слагаемых.

(9Ax 9B 3A 3A) 3(3Ax 3B A) 2( Ax B) 2x 1.

После приведения подобных:
2Ax 3A 2B 2x 1, из чего следует 2A 2			и 3A 2B 1,
тогда A 1, B 1. Частное решение неоднородного уравнения
y (x 1)e3x , тогда окончательный ответ, т.е. общее решение
неоднородного уравнения: y (x 1)e3x C e x C				2	e2 x .
		1		2
Ответ. y (x 1)e3x C e x C	2	e2 x .
1	2

Задача 122. Решить уравнение y 2 y y e x .

Решение. Шаг 1. Найдѐм решение однородного y 2 y y 0 . Характеристическое: r 2 2r 1 0 , то есть (r 1)2 0 . Два корня совпадают, r1,2 1 . Тогда ФСР состоит из функций e x , xe x , а общее решение однородного: y C1e x C2 xe x .

Шаг 2. Правая часть b(x) e x содержит экспоненту степени 1, но число 1 является корнем кратности 2 левой части. Тогда k 2 . Тогда структура частного решения будет такая: y Ax 2 e x .

Если y Ax 2 e x , то y A(x 2 2x)e x , y A(x 2 2x 2x 2)e x .

Подставляяя в неоднородное уравнение, и сразу сокращая на одну и ту же экспоненту, которая есть во всех слагаемых, получим:

A(x 2 2x 2x 2) 2 A(x 2 2x) Ax 2 1 , следовательно

( A 2 A A)x 2 (4 Ax 4 Ax) 2 A 1, то есть 2A 1, A 12 .

Итак, частное решение неоднородного: 12 x 2 e x . Прибавим общее решение однородного, которое было получено на 1 шаге.

Ответ. y 12 x2e x C1e x C2 xe x .

В следующей задаче оставим ту же левую часть, и изменим правую.

Задача 123. Решить уравнение y 2 y y x 2 1 методом

неопределѐнных коэффициентов.

Шаг 1. Характеристическое уравнение для однородного:

r 2 2r 1 0 (r 1)2 , кратный корень 1, общее решение однородного C1e x C2 xe x .

Шаг 2. В правой части нет экспоненты, то есть можно записать так: b(x) (x 2 1)e0 x . Корень 0 не присутствует в решении левой части,

k 0 , так что домножать ни на какую степень не надо. Вместо данного многочлена степени 2, подставим произвольный, и тогда

y Ax 2

Bx C . Далее,

y 2Ax B , y 2A . Подставим всѐ это в

исходное неоднородное уравнение.

2 A 2(2 Ax B) ( Ax 2 Bx C) x 2

1 , после приведения подобных

Ax 2 (Bx 4 Ax) (2 A 2B C) x 2

1. получается система

уравнений

A 1

4 A

B 0

2 A 2B C 1

откуда A 1, B 4,C 7 , и ответ: x 2

4x 7 C e x C

xe x .

Ответ.

x 2 4x 7 C e x

xe x .

Задача Д-30. Решить уравнение.

y 2 y y xe2 x .

Ответ.

y (x 2)e2 x C e x C

xe x .

Задача Д-31. Решить уравнение y y x 2 1.

Ответ.

x3 x 2 3x C

e x .

Задача Д-32. Решить уравнение

y y sin x .

Ответ.

x cos x С cos x С

sin x .

Комплексные числа Задача 124. Умножить и поделить в алгебраической форме числа

7 i и 2 4i .

Решение. Умножим эти числа. (7 i)(2 4i) = 14 2i 28i 4i 2 =

14 4 30i = 10 30i .

Поделим, с помощью умножения на сопряжѐнное:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб10Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб6Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб18Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб7Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб7Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб5Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf