Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Теперь первообразная по y и формула Ньютона-Лейбница применяется в этой скобке именно к y .

1							y				2	1					1						1
1											2	1					1
			1
			1
	xy		0										dx			= x								dx . А теперь уже обычный определѐнный
	xy		0										dx			= x								dx . А теперь уже обычный определѐнный
0						4						0					0						4					1
						4																	4

									1						1						x2 x										1 1 3

интеграл.											x					dx =													=							.
									0						4								2 4					0			2 4 4
Ответ.						3		.
Ответ.					4			.
					4
																																		1				x			xy
Задача 86. Вычислить тройной интеграл																																		dx dy							(x3 y3 z)dz .
																																		0			0				0
											1		x			xy											1			x			3	y	3	z	2		xy		1	x	x	5	y	5
											1		x			xy											1			x			3		3		2		xy		1	x		5		5
										dx dy (x									3		3										x
Решение.																				y		z)dz = dx																		dy = dx							dy	=
Решение.																				y		z)dz = dx												2						dy = dx				2			dy	=
											0		0				0										0			0				2					0		0	0		2
1		5		6		x								1			11							x	12	1	0			0									0		0	0
1		5	y	6		x								1		x	11								12	1			1
	x		y							dx			=			x		dx			=						=		1			.

	12															12							144						144
	12															12							144						144
0						0								0												0
0						0								0												0
Ответ.						1					.
Ответ.											.
					144

Задача 87. Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями:

y x, y x 2 , z 0, z x 2 y 2 .

Решение. Метод построения 3-мерного чертежа: сначала выбрать все те уравнения, которые не содержат z , и построить плоскую проекцию

(вид сверху) этой фигуры. Строим графики y x, y x 2 .

Теперь видно,	что x [0,1] , а при каждом фиксированном x ,
y [x 2 , x] .	y x, y x 2 в плоскости это - уравнения кривых, но
Вообще,	y x, y x 2 в плоскости это - уравнения кривых, но

для пространства это уравнения поверхностей. Отсутствие z означает, что z любое, то есть к прямой и параболе присоединены вертикальные образующие. Представьте, что один вертикально поставленный лист ровный, а второй изогнут по параболе. Внутри такой узкой «шахты» как раз и располагается искомая фигура.

А теперь определим границы по высоте, чтобы окончательно построить чертѐж. Для каждой точки, взятой на плоскости в том основании, которое показано на предыдущем чертеже, высота

меняется	от z 0 до	z x 2 y 2 , эти	линии отмечены зелѐным
цветом.	Эллиптический	параболоид	пересекается с каждой из

указанных ранее вертикальных стенок, пересечения показаны красным цветом.

Самая верхняя точка (1,1,2). Итак, изобразим каркас этой фигуры:

Так как вычисляется объѐм, то надо полагать																															f 1 .
1	x x2		y2												1	x											1			x
																				x	2 y2												2	y		2
																				x	2 y2												2			2
			1dz dy dx =															z		0		dy		dx =						x							dy dx =
			1dz dy dx =																	0										x
		2															2														2
0 x			0												0 x												0 x
1										3		x					1		3 4							3		6						1	4						6
1										3		x					1									3		6						1							6
	2			x			y																		x		x										3		4	x
				x

0		x y				2		3						dx =					x		x								dx =								x x					dx
				x		2											0							3			3							0 3						3
				x								x2												3
												x2

x4					x5				x7				1		1			1			1		35 21 5										9				3
x4					x5				x7				1		1			1			1		35 21 5										9				3
=													=									=								=					=			.
=													=									=								=					=			.
		3				5		21							3			5			21			105								105					35
		3				5		21					0		3			5			21			105								105					35
Ответ.				V				3			.
Ответ.				V			35				.
							35

Задача Д-24. Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

y x , y 2 x , z 0, z 6 x . Ответ. 485 6 .

Двойные интегралы в полярных координатах.

Задача 88. Вычислить интеграл xdxdy по полукругу радиуса 1 в

правой полуплоскости.

Решение.

Алгоритм: 1) определить границы интегрирования по , . 63

2) пересчитать x, y в функции через , , используя x cos , y sin .

3) домножить на определитель Якоби, который равен .

Так как полукруг именно в правой полуплосости, то учитываются 4-я и 1-я четверти, то есть угол от -90 до 90 градусов.

2	1											2	1
														2
	( cos ) d d										=		(	2	cos)d d =
	( cos ) d d										=		(		cos)d d =
2 0												2	0

2						3	1			1	2					1				1			2
2						3	1				2
		cos						d	=		cos d			=			sin	2	=		(1	( 1)) =		.
																		2

					3					3						3			2	3			3
					3		0			3						3			2	3			3
2			2	.			0					2
Ответ.			2
Ответ.			3
			3
Задача 89. Вычислить											xy5 dxdy , где D - четверть круга радиуса 2 (в
											D

первой координатной четверти).
Решение. Заменим x cos ,	y sin , а также умножим на
якобиан .

2	2
		5
cos( sin )		5	d d
cos( sin )			d d
0	0

2	2
			5		7
=	sin		5	cos	7	d d =
=	sin			cos		d d =
0		0

2					8	2		2	8	2

		5								sin	5
	sin		cos				d =					cos d =
				8				2	3
0						0				0


	2						=		321 sin 6				= 32		= 16 .		Ответ.	16 .
	2
32 sin 5 d (sin )
													2
	0								6			0		6		3		3
	0											0
Задача 90. Вычислить									x9 ydxdy , где D - четверть круга радиуса 1 (в
									D
первой координатной четверти).
Решение.
2 1													2 1
			9												11	9
( cos)				( sin ) d						d =						cos	sin d d =
0 0													0	0
2						12		1		1	2
2						12		1			2
		9											9
	cos sin							d =			cos			sin d
	cos sin				12			d =		12	cos			sin d
0					12			0		12	0
0								0			0

Дальше остаѐтся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.

	1	2					1	2
	1	cos9		sin d =			1	cos9 ( sin d ) =
12		cos9		sin d =		12		cos9 ( sin d ) =
12		0				12		0
		0						0

		1	2					1 1		2		1			1
		1	cos9 d (cos ) =					1 1	cos10	2	=	1	(0 1) =		1	.
			cos9 d (cos ) =						cos10		=		(0 1) =			.
12			0					12 10		0		120		120
			0	1	.					0
Ответ.				1
Ответ.				120
				120

Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

Задача 91. Найти площадь поверхности z x 2 y 2 (z 1) .

Физический смысл задачи: сколько металла потребуется на изготовление параболической антенны.

Решение. Найдѐм интеграл S 1 f x 2 f y 2 dxdy где D

D
окружность радиуса 1. Здесь f x 2x ,	f y 2 y .

S 1 4x2 4 y 2 dxdy , перейдѐм к полярным координатам.

2 1																			1	2 1
2 1									2											2 1									2
			1						2																				2
						4 d																			1 4 8 d
						4 d									d	=			8						1 4 8 d									d =
0			0																8	0		0
1		2 1																						1 2				1						1
1		2 1								2						2								1 2				1				2		1			2
						1 4				2					4	2												1 4				2		2	d (1 4		2
8						1 4					d (1				4		)	d =					8					1 4							d (1 4			) d =
8		0		0																			8			0		0
1		2		2							3			1					1 2		2				3				3										2
		2									3			1							2				3				3										2
					1 4 2								2		d	=									5	2	1			2	d		=		1	5 3	1			d	=
					1 4 2								2		d	=									5	2	1			2	d		=			5 3	1			d	=

8		0		3										0					8 3			0													12				0
8		0		3										0					8 3			0													12				0

	1					3									5 5 1				.
	1					3									5 5 1
				5			1		2 =
				5			1		2 =
															6
12															6
Ответ.							5	5 1				.
Ответ.												.
								6

Задача 92. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Решение.

1	x

В декартовых координатах интеграл был бы в виде:		f (x, y)dy dx .
0		0

Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x 1 в полярных координатах. Подставим

выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии,

получим cos 1 , тогда

		1
4		cos
Ответ.		f ( cos,
0		0

1 . cos

sin ) d d .

Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даѐт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Задача 93. Вычислить массу шара радиуса 1, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.

Решение. Функция														f (x, y, z) x 2					y 2	z 2 , это равно 2 , так как

				x2 y2 z 2 . Кроме этого, умножим на определитель Якоби
сферических координат, то есть 2 sin .
Радиус равен 1, так что очевидно, 0,1 .
[0, ],					[0,2 ) , [0,1] .
				2						1									2			1
Итак, d d												2 ( 2 sin )d =							d d			4 sin d =
			0		0					0									0	0		0
2								5			1			2								2
2								5			1			2								2
	d sin											d		= d			1	sin d		=	1	d cos	0	=
																	1				1

							5										5			5
0		2	0								0			0	0							0
0			0								0			0	0							0
	2					4									4
	2	1d =				4			.				Ответ.		4	.
5		1d =			5				.				Ответ.		5	.
5		0			5										5
		0

Задача 93Б (вариант). Если плотность вещества равна расстоянию от начала координат.

Решение.

2	1
		2
		2	sin d d	d
			sin d d	d
0	0 0

2	1
		3
=		3	sin d d	d =
=			sin d d	d =
0	0 0

2					4	1					2						2
2					4	1					2						2
										1						1
		sin						d d =					sin	d d	=			( cos	)		d =
		sin						d d =					sin	d d	=			( cos	)		d =
				4						4						4				0
				4						4						4				0
0 0						0					0	0					0
0 0						0					0	0					0
2	2		1
2	d =		1	2			= .		Ответ.			.
4	d =		2	2			= .		Ответ.			.
4	0		2
	0

Задача Д-25. Вычислить массу 1/8 шара радиуса 1 в первом октанте, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.


Если часть шара только в 1 октанте, то 0,		, 0,	.
	2		2

В конце решения задачи задачи 93 тогда получилось бы так:

1	2					1	2
	d	cos	0	2	=		d =		. Ответ.		.
	d	cos	0	2	=		d =		. Ответ.		.
5	0					5	0	10		10
	0						0

Задача 94. Найти объѐм тела, ограниченного конусом z 2 x 2 y 2 и сферой радиуса 2 .

Решение. Чертѐж:

Конус пересекается со сферой радиуса 2 на высоте z 1.

Отклонение угла достигает от 0 до 45 град, чтобы пересечение луча с фигурой существовало. Любой отрезок, проведѐнный из начала координат (если он упирается в сферу, находится внутри этой


фигуры) имеет длину															2 . Итак,
2															2			4
2		4			2										2			4			2
d d					2 sin d									= d sin d 2 d =
0	0				0									0				0			0

									3			2									3		2
2 cos												2						2		2	3			2	2 2

							4					=		2					1			= 2				=
							4					=		2					1			= 2				=
						0	3											2		3	2			3
							3				0							2		3	2			3
											0		4				1 .

				2 1 2
2 2				2 1 2						=						2
2 2			1					3		=						2
			1					3				3

Ответ. 43 2 1 .

Задача 95. Вычислить объѐм тела, ограниченного цилиндром

x2 y 2 1 и двумя плоскостями	z 0, z x в цилиндрических
координатах.

Решение. На чертеже показано строение фигуры: 2 среза из цилиндра, один с помощью горизонтальной плоскости z 0 , другой с помощью наклонной плоскости z x . Зелѐным закрашено основание этой фигуры, а именно, полукруг в правой полуплоскости.

, .

Для того, чтобы точка в плоскости находилась в основании этой

фигуры, требуется		,		,	[0,1] . Определим теперь
фигуры, требуется		,		,	[0,1] . Определим теперь
	2		2

границы последнего из вложенных интегралов, самого внутреннего, который по переменной z . Если z [0, x] , от горизонтальной до

наклонной плоскости. При этом, x нужно выразить в цилиндрических координатах, ведь границы интегрирования внутреннего интеграла должны зависеть от внешних переменных Поэтому

z [0, cos ] . Функция тождественная 1, чтобы вычислить объѐм, но

при этом не забываем домножить на

координат, то есть на . Итак, получается

якобиан цилиндрических

2	1	cos
			dz d d .
	0	0
2

Вычислим этот интеграл. Сначала в самом внутреннем из них применяется формула Ньютона-Лейбница по переменной z .


2	1		cos
2			cos

		z	0
2	0

		2	1	2
	=			2	cos d d
d d	=				cos d d

		2	0

Теперь уже остался не тройной, а двойной интеграл. Во внутренней скобке применяется формула Ньютона-Лейбница по .

2			3	1		2		1			1


	cos				d =				cos d	=		sin
		3						3			3

2				0			2

Ответ. 23 .

= 1 ( 1) 2 . 3 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб5Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб4Математика..pdf