Математика.-3

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задача Д-16. Вычислить интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Примеры на другие подстановки.

Задача 40. Вычислить интеграл sin3 x cos8 xdx .

Решение. Здесь нечѐтная степень синуса, применяем замену t cosx .

Тогда sin3 x cos8 xdx = 1 t 2

t 8

1 t 2

t 8 dt =

1 t 2

(1 t 2 )t8dt

= (t10 t8 )dt =

t11

t 9

cos11 x

cos9 x

C .

Ответ.

cos11 x

cos9 x

C .

Замечание. Универсальная подстановка здесь приводит к огромным вычислениям. Попробуем применить еѐ:

sin3 x cos8	xdx =	(2t)3	1 t 2 8	2			=	16t 3 1 t 2 8
						dt			dt .
		t 2 1 3	t 2 1 8		t 2 1			t 2 1 12

Если раскрыть скобки в числителе, и разбить на сумму множества

дробей, то в знаменателе каждой из них будет t 2 1 12 , то есть

каждое слагаемое надо будет вычислять по рекуррентной формуле в 12 шагов.

Задача 41. Вычислить интеграл cos1 x dx .

Решение. Сделаем замену t sin x .

dx =

dt вот и свелось к

cosx

1 t 2

рациональной дроби, и дальше для t можем действовать в рамках прошлой темы «рациональные дроби».

dt =

dt .

(t 1)(t 1)

t 1

Приводим к общему знаменателю:

A(t 1) B(t 1)

, далее

At A Bt B 0t 1,

(t 1)(t 1)

A B 0			, отсюда следует				A	1		, B		1	.


A B		1						2				2
	A		B		=	1	1			1				1		t 1	1		t 1	C
	A		B			1	1			1				1			1
				dt							dt	=			ln			ln
				dt							dt	=			ln			ln
	t	1	t 1			2 t 1			t 1					2			2
	t	1	t 1			2 t 1			t 1					2			2

это можно после обратной замены и применения свойств логарифмов,

записать так:																ln					1 sin x							C .
записать так:																ln					1 sin x							C .
																					1 sin x

Ответ.							ln						1 sin x									C .
													1 sin x
													1 sin x
													1 sin x
Задача 42. Вычислить интеграл																																									1								dx .

																																				sin 3 x cos5 x
Решение. Здесь тоже суммарная степень чѐтная, замена t tgx .
dx							1				dt . sin x													t					,		cos x											1					.
				t 2			1
				t 2			1																1 t 2																		1 t 2
																																																						8
							1								dx =													1														1			dt				=		1 t 2			8			1	dt =
	sin		3									5	x		dx =									t	3									1						t	2				dt				=			t	3		t	2		dt =
	sin					x cos							x											t										1						t			1									t			t		1
																												3										5
																							1 t 2					3				1 t 2						5
	t 2		1 4										1			dt =							t 2 1 3								dt =								t 6		3t 4 3t 2 1											dt
		t			3					t		2				dt =									t	3					dt =														t	3						dt
		t								t				1											t																				t
здесь мы воспользовались формулой (a b)3																																															a3	3a 2b 3ab2							b3 .
		3	3t 3										1				1							1			4				3			2		3ln								1 1						C .
		3											1				1							1			4				3			2										1 1
	t																			dt			=			t							t									t
	t																	3		dt			=			t							t									t							2
														t			t	3						4							2														2 t				2
														t			t							4							2														2 t
После обратной замены получаем ответ:
Ответ.								1	tg				4 x					3	tg 2 x 3ln											tgx					1		ctg 2 x C .
								1										3																	1

							4											2																2
							4											2																2

Задача 43. Вычислить интеграл sin 2 x cos2 x dx .

Решение. Здесь суммарная степень чѐтная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену t tgx . Тогда (см. в лекции):

dx					1		dt . sin x								t				,		cos x					1					.

			t 2		1
			t 2		1								1 t 2												1 t 2
																																					4
					1					dx =									1							1				dt =				1 t 2			4			1	dt =
	sin	2						2	x	dx =					t	2					1			t		2	1			dt =					t	2		t	2	1	dt =
	sin			x cos					x						t						1			t			1								t			t		1
																		2					2
	t 2	1 2												1 t 2				2				1 t 2	2
	t 2	1 2							1		dt	=			t 2		1			dt = dt							1			dt		= t	1		C .
	t		2			t		2			dt	=				t	2			dt = dt								t	2	dt		= t		t	C .
	t					t			1							t												t						t

После обратной замены получается: tgx ctgx C .

Ответ. tgx ctgx C .

Проверка. tgx ctgx

cos2

cos2 x

sin 2

x sin 2 x

sin 2 x cos

2 x

cos2 x sin 2

cos2

x sin 2

Задача Д-15. Вычислить интеграл

dx .

cos3 x

Ответ.

1 sin x

sin x

C .

1 sin x

2 cos2 x

Взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций.

Примеры с интегралами, содержащими x2 a2 , решаемые с

помощью тригонометрических функций.

Задача 44 (Э). Вычислить интеграл

dx .

1 x

Решение. В интеграле

dx обозначим t

x , при этом

1 x

dx 2tdt . При этом, правда, второй корень усложняется:

dx =

2tdt = 2

t 2

dt .

1 t 2

Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень

a2 t 2 .

У нас здесь a 1 . Вводим замену t sin z . Тогда

1 t 2 cosz .

Итак,

t 2

dt =

sin 2 z

cos zdz = 2 sin 2

zdz .

1 t 2

cos z

Теперь уже просто по формуле понижения степени.

2 sin 2 zdz			= 2	1 cos2z		dz =	1 cos2z dz =	z	1	sin 2z C =
					2				2

z	1	2sin z cosz C			= z sin z cosz C .
	2

Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу

сделали последней:

если t sin z

то arcsint t 1 t 2

C .

Далее, обращаем 1-ю замену: t

x , тогда в итоге:

Ответ. arcsin

x 1 x C .

Задача 45 (Э).

Вычислить интеграл

dx .

x 2 9

Решение. В этом случае нужно замена (см. лекции) x

sin t

При этом корень квадратный исчезает:

sin 2 t

= 3

cost

x2 9 =

9 = 3

sin 2 t

sin t

cost

dx 3sin 1 t

= 3sin

2 t cos tdt

= 3

dt .

sin

2 t

Итак,

dx =

sin t

( 3)

cost

sin t 3cost

x 2

sin

= 3ctgt C .

sin

Для обратной замены, вспомним, что x

, то есть sin t

sin t

t arcsin

Тогда 3ctgt C = 3ctg arcsin

C . Получается, что

надо найти котангенс того угла, синус которого равен

. Подпишем

соответствующие стороны на чертеже прямоугольного треугольника. Третья сторона вычисляется по теореме Пифагора: x2 9 .

Котангенс этого угла:

x 2 9

x2 9

C .

3ctg arcsin

= 3

Ответ. x2 9 C .

Ответ. x2 25 C .

Определѐнный интеграл

cosx

Вычислить

Задача 46.

1 sin 2 x

cosx

d (sin x)

Решение.

dx =

sin

1 sin

здесь мы можем заменить sin x на t , но тогда нужно сделать пересчѐт верхнего и нижнего пределов. Если x [0, 2] то t [sin(0), sin( 2)] ,

т.е. t [0,1] .

1		dt			10					.
				= arctg(t)		= arctg(1) arctg(0)	=		0 =

		t	2					4
	1		2							4
0	1									4
0

А можно было сначала вычислять интеграл как неопределѐнный, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной x (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.

d (sin x)

= arctg(t) C = arctg(sin x) C

1 sin

1 t

arctg(sin x)

= arctg sin

arctg sin 0 = arctg(1)

arctg(0) = .

Впрочем, как видно, от способа не зависит, получается один и тот же
ответ .
4
											1				xdx
Задача 47.	Вычислить интеграл														xdx					.

													(x		2	1)		2
											0		(x			1)
											0
1			xdx				1	1	2xdx							1	1		d (x2 1)						1 1			1
1			xdx				1	1	2xdx							1	1		d (x2 1)						1 1			1
Решение.						=								=										=				=
Решение.		(x	2	1)	2	=	2		(x	2	1)	2		=		2			(x		2	1)	2	=	2 x	2	1	=
0							2	0								2	0											0
0								0									0											0

1		1		1		1	1		1
					=			1 =		.
		1	02
2	12			1		2 2			4

Решение. При замене t x мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если x [0,4] , то t [0, 4 ] = [0,2] .

2	1	t		2		2
Тогда			2tdt	= (2 2t)dt	= (2t t 2 )		= 8.
		t
0				0		0

Ответ. 8.

Задача Д-17. Вычислить интеграл

Задача Д-18. Вычислить интеграл

3				x 2
				x 2				dx . Ответ. ln 4 1.


2			x 2			1
3									2
3		xdx
		xdx					Ответ. 2 3
					.					.
	1 x				.				3	.
0

Рассмотрим 2 задачи на применение интегрирования по частям в определѐнном интеграле.

			2
Задача 49. Вычислить интеграл xe x dx .
			0
Решение. Применим метод интегрирования по частям,
u x	v e x
u 1	v e x
Тогда
2		2	2	2 = 2e2 (e2 e0 ) = e2 1 .
xe x dx = xe x		2	e x dx = 2e2 e x	2 = 2e2 (e2 e0 ) = e2 1 .
0		0	0	0
		0		0

Ответ. e2 1 .

Задача 50. Вычислить интеграл x cos xdx .

Решение. Тоже решается интегрированием по частям, u x , v cosx , тогда u 1, v sin x .

0 0 cos cos0 = 1 1 2 .

Ответ. 2 .

Замечание. Из строения графика видно, что ответ и должен был получиться отрицательным: изначально cos x имеет две одинаковые части площади над и под осью, и его интеграл был бы 0, а если мы умножаем на x , то сильнее увеличится по модулю именно та часть, которая дальше от 0, то есть расположенная ниже горизонтальной оси. Вот эти графики, зелѐным показан cos x , красным x cos x .

									2	1	1
Задача 51.	Вычислить интеграл e									x	1	dx .
Задача 51.	Вычислить интеграл e									x	2	dx .
									1		x
									1
	2 1	1			2	1	1					2		1	1
		1					1								1
Решение.	e x				dx = e x			2	dx		=	e x d
Решение.	e x		x	2	dx = e x			2	dx		=	e x d
	1		x		1		x					1			x
	1				1							1
используя известное выражение et dt et													C , получим:

	1	2		1

e x			= e 2		e1	= e e .

		1

																										ln 4							dx
Задача 52 (Э).									Вычислить интеграл																								dx


																																e x 1
																										ln 2						e x 1
Решение. Сделаем замену t																					ex			1 . Тогда t 2														e x 1,							e x t 2 1,
x ln(t 2						1) ,								2t
									dx					2t			dt , функция t																	ex			1 монотонна, так что

													t 2
													t 2			1
замена корректная. Теперь найдѐм новые границы: если

																												ln 4							dx						3		1		2t
x (ln 2,									то t (1,																										dx								1		2t
						ln 4) ,										3) .			Тогда																					=								dt	=
						ln 4) ,										3) .			Тогда																					=					1 t		2	dt	=
																												ln 2							e x 1						1		t		1 t
3			1
3														3
2

						dt		= 2arctgt						1			= 2											=						.			Ответ.								.
			2	1		dt		= 2arctgt									= 2											=						.			Ответ.								.
		t	2																	3					4						6													6
1		t																		3					4						6													6
1
																							1	6x 3
Задача 53. Вычислить интеграл																														dx .
Задача 53. Вычислить интеграл																								x 2		1				dx .
																							0
При этом осуществляется повторение темы «элементарные
преобразования, подведение под знак дифференциала».
						1		6x 3								1 2x 1											1					2x									1			1
Решение.											dx			= 3								dx =				3										dx 3										dx		=
Решение.								x 2 1			dx			= 3				x 2 1				dx =				3				x		2 1				dx 3						x2 1				dx		=
						0										0											0														0
1	d (x 2 1)						1				1																1												1
3	d (x 2 1)							3			1				dx = 3ln( x2									1)			1		3arctgx										1
																																							0 =
				2							2
			x	2	1					x	2	1															0
0			x		1		0			x		1															0
3(ln 2 0)																							.			Ответ. 3ln 2															3			.
3(ln 2 0)							3				0 = 3ln 2 3												.			Ответ. 3ln 2															3			.
								4												4																						4
																							1		2x2			x 9
Задача 54. Вычислить интеграл																									2x2			x 9										dx .
Задача 54. Вычислить интеграл																								(x 5)(x 1)													2	dx .
																							0	(x 5)(x 1)
																							0

При этом осуществляется повторение темы «рациональные дроби».

Решение. Сначала представим дробь в виде суммы простейших.

		2x2 x 9				A		B			C
												. При приведении к общему
	(x 5)(x 1)2				x 5		x 1			(x 1)2		. При приведении к общему
знаменателю, числитель получится такой:
	A(x 1)2		B(x 5)( x 1) C(x 5) , что равно 2x2												x 9 ,
	A(x 2 2x 1) B(x 2 4x 5) C(x 5) 2x 2 x 9
( A B)x 2 (2 A 4B C)x ( A 5B 5C) 2x 2 x 9
				A B 2
система:			2 A 4B C 1 решим еѐ методом Гаусса.

			A 5B 5C 9
1 1			0	2			1		1		0	2	1 1			0	2

		2 4 1		1				0	6 1			5		0	6	1 5		.
		1 5	5	9				0	6		5	11		0 0		6	6

Здесь от 2-й строки отняли удвоенную 1-ю и от 3-й 1-ю, а затем от 3-й строки 2-ю. Основная матрица системы стала треугольной, и С находится сразу же: С 1. Тогда 6B 1 5 и тогда B 1. Из 1-го уравнения тогда уже получается A 1.

Значит, исходный интеграл распадается на сумму 3 интегралов:

1	1			1	1			1		1								10 ln				10			1		1
1				1				1																			1
		dx						dx				dx = ln				x 5			x 1								=


	x 5				x 1				(x	1)	2													x 1
																											0

0				0				0
0				0				0		1										1			8			1
										1										1			8			1
(ln 4 ln 5)					(ln 2 ln 1)						1 = ln 4				ln 5 ln 2						= ln						.
(ln 4 ln 5)					(ln 2 ln 1)						1 = ln 4				ln 5 ln 2						= ln						.
										2										2			5			2
Ответ. ln			8			1	.
Ответ. ln							.
		5			2
											1		1 4
											1		1 4		x
Задача 55. Вычислить интеграл																	dx .

														x
											0			x
											0

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование иррациональностей».

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб10Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб6Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб19Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб8Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб8Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб6Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf