Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

				2										3		2
Ответ.				2					x5 1							2	x5 1 C .
Ответ.									x5 1								x5 1 C .
	15						5
Задача 16.								Вычислить											cos 3x					dx .
																		4
																		4
																			sin 3x
Решение.										cos 3x					dx =			sin 3x 14 cos3xdx =
									4
									4
										sin 3x
=	1	sin 3x 14 (3cos3xdx)																		=		1	sin 3x 14 d (sin 3x) =				1	t 14 dt =
	3																					3				3
1	1		t 34 C =								4		t 34 C				=			4		sin 3x 34			C .
	3		t 34 C =										t 34 C				=					sin 3x 34			C .
3	3						9													9
	4
					4	4						3 C .
Ответ.					4			sin 3x
Ответ.								sin 3x
	9
Задача 17. Вычислить																					x			dx .



																		1 x 2
Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на																										1			dx , но, тем


																										1 x2
																										1 x2

не менее, в числителе есть переменная x , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1- я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

dx =

d (1 x 2 )

1 x 2

1 x2

1 x 2

после замены переменной, это можно переписать так:

а значит, t C и после обратной замены:

Ответ. 1 x2 C .

2dtt

Задача 18 (Э).

Вычислить

9x 2 18 x 5

Решение.

9x 2

18 x 5

( 9x2

18x 9) 4

9(x2 2x 1)

2 32 (x 1)2

22 (3x 3)2

Для того, чтобы применить формулу,

dx arcsin

a 2 x 2

нужно обозначить t 3x 3. Но сначала сделаем так, чтобы и в

числителе оказался не просто dx а d(3x 3) :

3dx

d (3x 3)

2 (3x 3)2

22 (3x 3)2

C .

Теперь интеграл имеет вид

, и равен

arcsin

22 t 2

После обратной замены получаем ответ.

3x 3

C .

Ответ.

arcsin

Д-5.

Вычислить xe x2 dx .

Ответ.

ex2 C .

Д-6.

Вычислить x cos(x2 )dx .

Ответ.

sin(x2 ) C .

Д-7. Вычислить

Ответ.

arctg(x4 ) C .

1 x

Указание. См. задачу 14.

Д-8. Вычислить

при x

C .

Ответ.

9x2 18x 9

Указание. См. задачу 18.

Задача 19. Вычислить

2x 4

dx .

4x 8

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения,

которое есть в знаменателе. Тогда

2x 4

d (x 2 4x 8)

4x 8

= ln

C = ln

x2 4x 8

C .

t x2

4x 8 для

Здесь

фактически мы

применили

замену

упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не

константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду t 2 a 2 .

Ответ. ln x2 4x 8 C .

x 1

Задача 20. Вычислить x2 4x 8 dx .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путѐм арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при x :

x 1		=	1	2x 2
	dx				dx
x2 4x 8			2	x2 4x 8

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено 2x 4 :


1			2x 2			1			(2x 4) 2
				dx =							dx =
2		x2 4x 8				2			x2 4x 8
	1		2x 4			1		2
=					dx							dx .
	2		x2 4x 8				2			x2 4x 8

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

	1		d (x2 4x 8)										dx				1				dx =
2				x		2		4x 8					dx		(x 2)			2	2	2	dx =
2				x				4x 8							(x 2)				2
1					2		4x 8						1		x 2				C .
1					2								1		x 2
		ln		x										arctg
		ln		x										arctg
2													2				2		x 2
2													2				2
								1			2	4x 8				1						C .
								1			2					1
Ответ.									ln	x							arctg
Ответ.									ln	x							arctg
								2								2			2
								2								2			2

Задача 21.	Вычислить интеграл											x 1		dx .

										x2 9
Решение.		x 1			dx =	1	2x 2				dx =		1			2x

		x	2	9		2	x	2	9				2		x	2	9

dx	1		2	dx

	2	x2	9

В отличие от прошлой задачи, здесь не надо прибавлять и вычитать, так как полный дифференциал знаменателя это 2xdx , в знаменателе нет 1-й степени, а его производная поэтому не содержит константу.

Далее,	1		d (x 2 )						1	dx =	1	d (x 2 9)					1		dx , и в итоге:
Далее,	2		x	2	9		x	2	9	dx =	2	x	2	9	x	2	3	2	dx , и в итоге:
	2		x		9		x		9		2	x		9	x		3
	1				2	9)	1			x	C .
Ответ.		ln( x							arctg
Ответ.		ln( x							arctg
	2						3			3
Интегрирование по частям
Вспомнить формулу uv dx uv vu dx .
Задача 22.			Вычислить xe3x dx .

Решение. Пусть u x , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

u x	v	1	e3x
		1

	3
u 1	v e3x
Тогда xe3x dx =				1	xe3x	1	e3x dx =	1	xe3x	1	e3x C .
Тогда xe3x dx =					xe3x		e3x dx =		xe3x		e3x C .
				3		3		3		9

Ответ.	1	xe3x					1	e3x C .
Ответ.	3	xe3x					9	e3x C .
	3						9
Задача 23. Вычислить интеграл x cos5xdx .
Решение.
u x	v		1	sin 5x
			1

	5
u 1	v cos5x
x cos5xdx =					1	x sin 5x			1	sin 5xdx =	1	x sin 5x	1	cos5x C .
	5								5		5		25

Задача 24 (Э). Вычислить интеграл x2 e x dx .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача

решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем u

x 2 , v e x .

x 2

e x

u 2x

v1 e

Тогда

x2 e x dx = x2ex 2 xex dx .

На 2-м шаге, обозначим u

x , v

ex .

e x

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера,

выполним это вложенное действие:

2 xex

ex dx = x 2 e x 2 xe x e x C .

x2ex 2 xex dx = x2ex

Итак, ответ:

x2e x 2xex 2e x C .

Задача 25 (Э). Вычислить интеграл arcsin xdx

Решение. Пусть u arcsinx , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, v 1. Построим таблицу:

u arcsinx

v x

v 1

1 x2

Тогда arcsin xdx =

x arcsin x

dx =

1 x2

1 2x

d (1 x 2 )

x arcsinx

dx = x arcsinx

1 x2

1 x 2

x arcsinx

t C .

Ответ: x arcsinx

1 x2 C .

Задача 26 (Э). Вычислить интеграл arctgxdx

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая еѐ u при интегрировании по частям:

u arctgx			v x

u	1		v 1

	x2 1
	x2 1
Тогда:		arctgxdx =		xarctgx		x	dx .
Тогда:		arctgxdx =		xarctgx		2	dx .
					x	1

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

xarctgx

dx =

xarctgx

2xdx

xarctgx

d (x 2 1)

= xarctgx

x 2 1

xarctgx

ln( x2

1) C . Знак модуля даже не нужен, т.к.

x2 1 0 .

Замечание. Если при переходе от v 1 к v x записать не одну первообразную, а множество всех первообразных, т.е. v x A , то

это не повлияет на ответ, потому что дополнительное слагаемое всѐ равно сокращается в итоге:

(x A)arctgx

x A

dx = (x A)arctgx

= xarctgx A arctgx 12 ln( x2 1) A arctgx C .

Задача 27 (Э). Вычислить интеграл e x cos xdx

Решение.

Пусть I ex cosxdx .

. На первом шаге, обозначаем u e x , v cosx .

e x

sin x

u e x

cosx

ex sin xdx .

ex cosxdx . = ex sin x

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим

аналогичным образом: u

e x , v

sin x .

e x

cosx

e x

sin x

sin xdx =

Получается

I ex sin x ex

ex sin x ex cosx ex cosxdx

= e x sin x e x cos x I .

Из равенства I e x sin x e x cos x I можно выразить I :

2I e x sin x e x cos x ,

e x

(sin x cos x) .

Примечание. Интегралы вида e x cos xdx и ex sin xdx называются

«циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ. e x cos xdx =	e x	(sin x cos x) С .
	2

Д-9. Вычислить eax cosbx dx . Указание. См. задачу 27.

Ответ.	eax cosbx dx =				eax				b sin bx a cos bx C .
Ответ.	eax cosbx dx =			a	2	b		2	b sin bx a cos bx C .
				a		b
Д-10. Вычислить ex sin xdx .							Указание. См. задачу 27.
Ответ.		e x	(sin x cos x) C
Ответ.	2		(sin x cos x) C
	2

Интегрирование рациональных дробей Ситуация 1. Если все корни знаменателя различны.

Задача 28. Вычислить интеграл					1		dx .

					(x 1)( x 2)
Решение. Разложение на простейшие дроби:
1		A	B	.
	(x 1)( x 2)
		x 1	x 2
Приведѐм к общему знаменателю:						A(x 2) B(x 1)		.

						(x 1)( x 2)

Приравняем к исходной дроби. Знаменатели у них и так равны, осталось приравнять числители: A(x 2) B(x 1) 1

из этого следует: ( A B)x ( 2A B) 0x 1.

Так как в исходном числителе была только константа 1, то искусственно приписали 0x , для того, чтобы присутствовали все степени, коэффициенты при которых надо сравнить.

A B 0

Получается система уравнений:

2A B 1

Решаем систему, складывая уравнения между собой, получится

A 1, т.е.

A 1,

тогда B 1.

Теперь интеграл можно разбить на

два интеграла от таких слагаемых:

dx .

x 1

(x 1)( x 2)

x 2

Ответ.

x 2

x 1

C , либо в такой форме: ln

C .

x 1

Вычислить интеграл

x 4

Задача 29.

dx .

(x 1)( x 5)

Решение.

x 4

A(x 5) B(x 1)

(x 1)( x

(x 1)( x 5)

( A B)x ( 5A B) 1x 4 , тогда система уравнений для

неопределѐнных коэффициентов:

A B 1

. Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получим:

5A B 4

6A 3 , т.е.

, тогда B

Итак,

x 4

dx =

x 1

(x 1)( x 5)

x 5

x 1

C .

Ответ.

x 5

x 1

C .

Задача 30. Вычислить интеграл (x 1)( x 2)( x 3) dx

Решение. В данном случае знаменатель уже разложен в произведение множителей первой степени. Теперь представим дробь в виде суммы:

1	A	B	C	.
(x 1)( x 2)( x 3)	x 1	x 2
			x 3

После приведения к общему знаменателю:

A(x 2)( x 3) B(x 1)( x 3) C(x 1)( x 2)	=	1	.

(x 1)( x 2)( x 3)		(x 1)( x 2)( x 3)

Тогда A(x 2 5x 6) B(x 2 4x 3) C(x 2 3x 2) 1 .

Перегруппируем слагаемые, так, чтобы вынести отдельно вторые степени, первые степени и константы.

( A B C)x 2 ( 5A 4B 3C)x (6 A 3B 2C) 0x 2 0x 1 .

Отсюда строим систему уравнений:

	A B C 0

5A 4B 3C 0 чтобы еѐ решить, построим расширенную
	6 A 3B 2C 1
	6 A 3B 2C 1

матрицу системы и применим метод Гаусса.

1	1	1	0	1	1	1	0

5	4	3 0		0	1	2	0
6	3	2	1	0	3	4 1
6	3	2	1	0	3	4 1

Сначала ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 5, затем от 3-й отняли 1-ю, умноженную на 6.

Так мы обнулили всѐ ниже углового элемента a11 .

А теперь к 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 3:


		1 1		1 0					1 1			1 0

		0 1		2 0					0 1			2 0		.
		0	3	4 1					0 0			2 1
		0	3	4 1					0 0			2 1

Уже получилась треугольная основная матрица.
Ей соответствует такая система:
A B C 0
										1						1
B 2C 0 , т.е.								C			,	тогда		B 1, а тогда	A		.
B 2C 0 , т.е.								C		2	,	тогда		B 1, а тогда	A	2	.
			2C	1						2						2
			2C	1

Теперь интеграл сводится к такому виду:
	1		1	dx		1	dx			1		1	dx ,
2			x 1	dx	x 2		dx			2		x 3	dx ,
2			x 1		x 2					2		x 3

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб10Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб6Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб19Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб8Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб8Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб6Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf