Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

		(z 1)	n
Ответ. 1 n		(z 1)		.
Ответ. 1 n		3n 1		.
n 0		3n 1
Задача 161. Разложить в ряд Тейлора					f (z)	z	по степеням

						(z 1)( z 3)
z и найти	f ( 4) (0) .

Решение. В этой задаче сначала надо разложить на простейшие, чтобы в каждой дроби в знаменателе была только сумма или разность двух объектов.

f (z)

A(z 3) B(z 1)

, тогда

1)( z 3)

(z 1)( z 3)

Az 3A Bz B 1z 0 система

A B 1

4A 1

3A B 0

. Тогда функция имеет вид

1 1

4 z 1

4 z 3

Точки разрыва z 1 и z 3, поэтому наибольший круг с центром в нуле может быть радиуса 1. Итак, ряд будет существовать в круге

1. При этом очевидно, что

1 3 , поэтому автоматически

выполнено и условие

3 , т.е.

1. Поэтому во второй дроби

можно выносить 3 за скобку для формирования структуры суммы

прогрессии вида											1			. Итак,			1	1			3	1		=
прогрессии вида									1		q			. Итак,			4 z 1				4 z 3			=
									1		q						4 z 1				4 z 3
	1 1			3		1		1				=			1	1		3 1		1				=
												=												=
	4 1 z 4 3									z					4 1 z 4 3								z
							1												1
									3

																							3
	1		n		1								z n
		z												. Можно объединить эти две суммы в одну.
		z												. Можно объединить эти две суммы в одну.
	4 n 0				4 n 0								3

111

1		( 1)n			n
	1				n	.
	1	3	n	z		.
4 n 0		3

Теперь найдѐм коэффициент при 4 степени, чтобы найти f ( 4) (0) . Приравняем коэффициент из этого ряда и тот его вид, который

	1		( 1)		4	f (4) (0)
следует из теории.		1					тогда
следует из теории.		1		4			тогда
	4		3	4		4!
	4		3			4!

	(4)		4!		( 1)4											1				6 80					160
f		(0)		1					=		6		1					=					=			.
f		(0)		1			4		=		6		1					=					=			.
			4			3	4									81				81					27
			4			3										81				81					27
				1				( 1)n						n			( 4)					160
Ответ. Ряд						1								n	,	f	( 4)		(0)	=				.
Ответ. Ряд						1			3	n		z			,	f			(0)	=		27		.
				4 n 0					3													27
Задача 162. Разложить в ряд Тейлора:																			f (z)					z			по

																					(z 1)( z 3)

степеням z 1.

Решение. Разложение на простейшие сначала производится точно так

же, как в задаче 8:	1 1	3 1	. Но здесь центр круга не в 0, а в

	4 z 1	4 z 3
	4 z 1	4 z 3

точке 1 потому что z 1 z ( 1) . Точки разрыва z 1 и z 3. Поэтому расстояние до ближайшей точки разрыва равно 2, и круг здесь имеет вид z 1 2 . Он показан на чертеже:

112

В выражении													1		1					3			1		сначала надо прибавить и отнять
В выражении													4 z					1		4 z 3					сначала надо прибавить и отнять
													4 z					1		4 z 3
константы, чтобы в знаменателе явно был выделен блок z 1.
	1				1				3		1			=		1						1				3		1			теперь скобку вида (z 1)
	4 z 1								4 z 3					=			4 (z 1) 2									4 (z 1)				2	теперь скобку вида (z 1)
	4 z 1								4 z 3								4 (z 1) 2									4 (z 1)				2
мы не будем раскрывать вплоть до ответа, можно даже
переобозначить еѐ через w (но не обязательно).
Выносим за скобку константу 2 в каждой из дробей.
				1			1					3			1												z 1		2 получается, что верно
				1			1					3			1						. В круге
				8 1			z			1		8 1					z 1				. В круге
							z			1							z 1

								2										2
		z 1				1 то есть там как раз получается такое q 1, как и надо для
		z 1

			2
			2
сходящейся геометрической прогрессии. Тогда далее
			1				1					3						1								1		z 1 n				3	z 1	n
																								=										.
							z 1												z 1					=										.
			8				z 1					8							z 1							8 n 0 2						8 n 0	2
					1			2						1												8 n 0 2						8 n 0
					1									1
																				2

Здесь в 2 частях индексы меняются синхронно, их можно объединить.

z 1 n .

Ответ. 1

3( 1)

n 0

2n 3

Задача 163. Разложить в ряд Тейлора: f (z)

z 2

по степеням z.

z2 1

Решение. Сначала надо разложить на простейшие дроби.

f (z)

z 2

A(z 1) B(z 1)

z2 1

z 1

(z 1)( z 1)

Az A Bz B 1z 2

A B 1

2A 3

система

Итак, функция имеет вид:

2 (z

2 (z 1)

Теперь оценим, в каком круге будет разложение. Центр в 0, так как по степеням z. Точки разрыва z 1, z 1. Расстояние от центра до

113

ближайшей точки разрыва равно 1. Поэтому разложение в ряд будет в

круге

3 1

1 1

3 1

1 1

теперь то, что следует в

2 z 1

2 1 z

2 1 (z)

знаменателе после единицы, уже и так удовлетворяет условию z 1,

то есть выносить за скобки никакие константы уже не надо. Можно уже использовать формулу суммы прогрессии.

								( 1)	n
3 1	1 1	=	3	z n	1	( z)n	= 3	( 1)	z n , что

2 1 z	2 1 (z)		2		2			2
2 1 z	2 1 (z)		2	n 0	2	n 0	n 0	2
				n 0		n 0	n 0

при более подробной записи первых слагаемых выглядит так:

2 z 2z 2 z3 ...

			n
Ответ. 3	( 1)		z n
n 0	2
n 0
Задача 164. Найти		f (10) (0) для f (x) xsin x .

Решение. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора. Прогрессия здесь не нужна, можно воспользоваться известной формулой для синуса.

xsin x = x x

...

= x 2

...

Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.

f (10) (0)

(10) (0)

10!

10 .

Ответ. 10.

10!

Задача 165. Найти

f (8) (0)

для

f (x) 2x3 sin

114

f (z) 2x

Решение.

sin

= 2x

...

x 4

... Извлекаем слагаемое при степени 8 и

2 3!

4 5!

сравниваем его с теоретическим значением.

f (8) (0)

6 7 8

6 7 23

21 .

24 5!

4 5!

Ответ.

f (8) (0) = 21.

Задача 166. Найти производную

f (6) (0) для

f (x) e x sin x .

Решение. Запишем разложения в ряд Тейлора для каждой функции.

f (x)

... x

...

Найдѐм все те комбинации, которые дают 6 степень.

(6) (0)

, что надо приравнять к

5! 3!3!

f (6) (0)

6 10

3!3!

120

360

f (6) (0)

720

Ответ. 8 .

Ряды Лорана

Задача 167. Найти кольцо сходимости ряда Лорана:

Решение. Сначала исследуем правильную часть.

115

n 1

1 3

, по признаку Даламбера lim

lim

n 0 1

n 1 3n 1

сократим на 3n числитель и знаменатель.

0 1

1, тогда

3 .

lim

0 3

Теперь рассмотрим главную часть

. Можно задать

n 1

индексацию натуральными числами, если сделать замену m n и после этого уже применять обычный признак Даламбера.

	1			z	n									z	m															1
				z		=								z						=										1							.
			1		3n	=								1	3 m					=							m							1			.
n			1		3n						m 1			1	3 m							m 1 z					m							1
																												1
																												1
																																	3m
																									m					1																1
																									m					1																1
																							z			1																	1
																															m
																																															m
Тогда				lim										1															3						=			1		lim						3	m	=
														1															3									1								3
																		1									1											z								1
				m							m 1																												m
				m							m 1																												m
								z					1																													1
								z					1																													1			3m 1
	1 1 0																3m 1
						1											3m 1
						1			1 , тогда											z	1.

	z	1 0				z


Ответ.					1		z			3 - кольцо сходимости.
Ответ.					1		z			3 - кольцо сходимости.
Задача 168. Разложить в ряд Лорана																																		f (z)						1						1

																																								z 3					z 4
по степеням z.
Решение. Точки разрыва z 3 и z 4 , центр кольца в 0, значит,
кольцо определяется условием 3																																z		4 .							1			3		n		1	z n
кольцо определяется условием 3																																z		4 .
					1								1					1 1									1				1
	f (z)															=																						=												=
	f (z)				z 3								4			=								3												z		=												=
					z 3							z	4						z	1				3			4									z					z n 0			z				4 n 0	4
																								z					1												z n 0			z				4 n 0	4
																													1
																																			4

116

( 1)n

. Можно ещѐ произвести сдвиг индекса в

n 1

n 0 z

n 0

главной части, чтобы не был индекс 0 в двух частях сразу:

n 1

( 1)n

но фактически и так было видно, что главная

n 1

n 0

часть начинается с -1 степени.

n 1

Ответ.

( 1)n

n 1

n 0

n 1

Задача 169.

Разложить в ряд Лорана

f (z)

по степеням

z 3

z 4

(z 1) в кольце.

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь центр смещѐн в 1. Это влияет и на радиусы кольца. Ближайшая точка разрыва на расстоянии 2, а более далѐкая на расстоянии 5. Поэтому условие кольца

2 z 1 5. Но сначала надо прибавить и отнять 1, чтобы создать

отдельное слагаемое z 1 его мы не будет раскрывать вплоть до ответа.

	1	1			1	1
f (z)				=			теперь выносим за скобку
	z 3		z 4		(z 1) 2	(z 1) 5

либо константу, либо z 1 с учѐтом того, что должно получаться 1 и второй объект, который меньше 1.

1		1			1		1		согласно условию 2	z 1	5 , каждый
1		1			1		1
z 1				2	5			z 1
z 1				2	5			z 1
	1					1
			z	1

								5

объект в знаменателе здесь по модулю меньше 1 и может служить знаменателем сходящейся геометрической прогрессии.

Далее,

Ответ.

( 1)n

z 1 n 0

(z 1)n

5 n 0

(z 1)

( 1)n

n 0

(z 1)n 1

n 0

5n 1

117

Задача 170. Разложить в ряд Лорана

f (z)

во внешней

z 3

z 4

области

z 1

5 .

Решение. Здесь

z 1

5 , а значит автоматически и

z 1

2 .

Поэтому выносить за скобку в знаменателе надо так, чтобы всегда

получались константы, делѐнные на																		z 1.
		1					1				1		1				1				1
									=														=
	(z 1) 2					(z 1) 5			=		z 1				2				z 1			5	=
												1								1
															1
														z								z 1
														z								z 1
1				2	n			1					5			n
1				2				1		( 1)n			5
										( 1)n
	z 1 n 0		(z 1)n					z 1 n 0					(z 1)n

Первая часть преобразуется, как и в прошлом примере, а вот вторая по-новому. Кстати, здесь можно объединить, так как обе суммы относятся к главной части, там везде отрицательные степени.


	1	( 1)		n	5	n	2			n				( 1)	n	5	n	2	n
	1	( 1)			5		2				=			( 1)		5		2		.
	z 1 n 0	(z 1)n										n 0		(z 1)n 1
							n		n	2		n
Ответ.			( 1)					5		2			.
Ответ.													.
		n 0			(z 1)n 1

118

Ряды Фурье.

Задача 171. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x на (-1,1).

Решение. Так как функция нечѐтная, то все коэффициенты a0 и an равны 0. Поэтому считаем только bn . Учитываем, что l 1.

1 1

bn 1 1x sin n xdx . Вычисляем интеграл по частям.

u x ,

u 1,

v sin n x , v

cosn x . Тогда

cosn x

1 cosn xdx =

cosn

cos(n )

sin n x

так как косинус чѐтная

n2 2

функция, то

cosn

(0 0) =

cosn

n2 2

2( 1)

n 1

Ответ.

2( 1)

sin n x .

= 2( 1)

n 1

Задача 172.

Разложить в триг. ряд Фурье f (x) 2x 3 на (-1,1)

Решение. Заметим, что функция

f (x) 3 2x нечѐтная. То есть, f это

сумма нечѐтной и константы. Таким образом, коэффициенты an

здесь

тоже окажутся равны 0. Надо вычислить a0

и bn .

(2x 3)dx = (x2

3x)

(1 3) (1 3) 4 ( 2) 6 ,

3 .

(2x 3) sin n xdx . Вычисляем интеграл по частям.

u 2x 3 , u 2 ,

v sin n x , v

cosn x . Тогда

119

2x 3

cosn x

cosn xdx =

cosn

cos(n )

sin n x

n2 2

4( 1)n

4( 1)n 1

cosn

n2 2

4( 1)

n 1

Ответ. Ряд Фурье: 3

sin n x .

n 1

Замечание. Для поиска коэффициентов bn

можно было

воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.

(2x 3) sin n xdx = 2 x sin n xdx 3 sin n xdx

первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге

2( 1)n 1

4( 1)n 1

второе равно 0. Тогда

Задача 173. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x на интервале (-1,1).

a		1	1		x	dx	= 21 xdx =	2	x 2	1	1, при этом			a0	1	, кстати, это и


														2	2
0	1							2						2	2
			1				0			0
			1				0			0
есть средняя высота графика.
	1							1
an				x	cos(n x)dx = 2 x cos(n x)dx , интегрируем по частям.


		1						0
u x, u 1,							v cos(n x) , v					1	sin(n x) .
u x, u 1,							v cos(n x) , v						sin(n x) .
												n

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб10Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб6Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб18Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб7Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб7Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб5Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf