Математика.-3

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, тоже расходится.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

простейшие дроби.								2					A				B	=	A(n 4) B(n 2)				,
					(n 2)(n					4)			n 2				n 4		(n 2)(n 4)
откуда A(n 4) B(n 2) 0n 2,													An Bn (4A 2B) 0n 2 ,
						A B 0					,	отсюда A 1, B 1.
получаем систему											,	отсюда A 1, B 1.
				4A 2B 2
																2			1		1
Тогда ряд можно представить так:																		=				=
Тогда ряд можно представить так:														2	6n 8			=				=
												n 5 n			6n 8				n 5 n 4	n	2
	1	1	1	1			1		1		1
1												...			Здесь для любого
1												...			Здесь для любого
	3	2	4	3			5		4 6

знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная.

Таким образом, сокращается всѐ, кроме 1 12 32 .

Ответ. 32 .

Функциональные ряды.

Задача 143. Найти область сходимости ряда 2 .

n 1 n

Решение. По признаку Даламбера, надо найти отношение модуля следующего слагаемого к модулю предыдущего, причѐм здесь мы это делаем для произвольного параметра x .

n 1

lim

n (n 1)

n n2

2n 1

Теперь надо решить неравенство q(x)

1. Если

1, то

x ( 1,1) есть область гарантированной абсолютной сходимости. За

пределами этого интервала расходимость. А вот поведение ряда в граничных точках 1 и 1 надо исследовать вручную, подставляя каждую точку и получая числовой ряд.

101

		1
При x 1:			, такой ряд сходится, так как степень 2, больше 1,
		2
	n 1 n

(про это был факт в лекциях).

		( 1)	n
При x 1:		( 1)		, такой ряд тем более сходится, причѐм
При x 1:		n2		, такой ряд тем более сходится, причѐм
	n 1	n2
					1
абсолютно, так как по модулю было бы					1	, а этот ряд сходится
абсолютно, так как по модулю было бы					2	, а этот ряд сходится

n 1 n

(только что заметили, на 1 строку выше).

Таким образом, точки 1 и 1 здесь тоже войдут в область сходимости, и ответ: ряд абсолютно сходится в [-1,1]. Ответ. Сходится абсолютно в [-1,1].

Задача Д-35. Найти область сходимости ряда

n 1

Ответ. область сходимости x [ 1,1) .

Задача 144. Найти область сходимости ряда

(x 10)

n 1

Решение. lim n

x 10

7 x 10 7

3 x 17 x 3,17 .

В граничных точках получим 1 и

( 1)n , эти ряды расходятся.

n 1

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале 3,17 .

Задача 145. Найти область сходимости ряда

n 1 (x

Решение. По признаку Коши, lim

1 ,

102

Замечание: есть и 2-й способ: по признаку Даламбера.

lim

3n 1

x 2

1 , то есть в итоге всѐ равно пришли к

n 1

x 2

тому же неравенству.

x 5 или x 1, т.е. x , 1 5, .

x 2

3 , что равносильно:

Для граничных точек получаются числовые ряды 1 , либо

( 1)n ,

n 1

для которых нет сходимости (по необходимому признаку, т.к. слагаемые не стремятся к 0).

Ответ. Ряд абсолютно сходится в , 1 5, .

Задача 146. Найти область сходимости ряда (ln x)n .

n 1

Решение. По признаку Коши, lim n

ln x

n =

ln x

1 , тогда

1 ln x 1. Из правого неравенства следует eln x e1 , т.е.

x e .

Из левого неравенства, ln x 1, eln x e 1 , x

Проверяем граничные точки. (ln e)n 1 расходится,

n 1

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале

Задача 147. Найти область сходимости ряда

1
	, e .
	, e .
e
	(x	2	3x 2)	n
	(x		3x 2)		.
			2n		.
n 1			2n

103

3x 2

Решение. По радикальному признаку Коши, lim

x2 3x 2

1 , тогда

x2 3x 2

2 , аналогичное неравенство

можно получить и по признаку Даламбера:

lim

x2 3x 2

n 1

x2 3x 2

2 .

2n 1

x2 3x 2

Это равносильно выполнению одновременно двух неравенств:

2 x2 3x 2 2 .

Для правого неравенства, получаем x2 3x 0 , корни 0, 3 , оно верно для x 3,0 .

Для левого неравенства, x2 3x 4 0 , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для x , . Пересечением этих двух множеств

является интервал 3,0 .

Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид

	n
	2	1, расходится.
	n	1, расходится.
n 1	2	n 1
Ответ. абсолютно сходится в 3,0 .

Задача 148. Найти область сходимости ряда														(x 1)2n 9n .
														n 1
												2 = 9(x 1)2							1
Решение.			lim n		x 1	2n	9n	= 9	x 1						1	(x 1)2
						2n
																			9
			n																9
(x 1)		2	1	x 1			1			1	x 1		1		2	x	4	.
			1				1			1			1		2		4

			9				3	3					3		3	3
			9				3	3					3		3	3

104

В обеих граничных точках получим 9

= 1 , расходится.

n 1

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале

Степенные ряды

Поиск радиуса сходимости.

Вспомним формулы из лекций: R lim

| an |

R lim

| an 1

n n | an |

Задача 149. Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение. Запишем коэффициенты с номерами n и n+1.

, an 1

. Тогда R lim

1 (n 1)2n 1

n2n

(n 1)2n 1

n n2n

2 lim

n 1

= 2.

Ответ. R 2 .

Задача 150. Найти радиус сходимости ряда

n(n 1)

n 2

Решение.

, an 1

. Тогда R lim

(n 1)n

n(n

(n 1)n

n n(n 1)

lim

n n2

Ответ.

R 1.

Задача 151. Найти радиус сходимости ряда

(2n 1)3

n 1

Решение.

, an 1

(2n 1)3n

(2n 1)3n 1

105

R lim

(2n 1)3n 1

= 3 lim

2n 1

= 3.

1)3n

n (2n

Ответ. R 3 .

(x 1)n

Задача 152. Найти радиус сходимости ряда

n 1

4n 1

Решение. a

, a

n 1

, R lim

4 .

4n 1

Ответ. R 4 .

10 n xn

Задача 153.

Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение. an

10 n

, an 1

10n 1

, тогда R lim

10 n

(n 1)!

10 n 1

(n 1)!

lim

n 1

= .

Ответ. R , то есть сходимость на всей числовой оси.

32n xn

Задача 154. Найти радиус сходимости ряда

n 1

32n

32n 1

32n n 1

Решение. a

, a

n 1

. Тогда R lim

n n 32n 1

lim

n 1

lim

32n

= 1 lim

32n

= lim

32n

= lim

n 32n2

n 32n 2

n 32n 32n

n 32n

Ответ.

R 0, т.е. сходимость только в точке x 0.

Поиск суммы степенного ряда.

(n 1)x n

Задача 155. Найти сумму ряда

n 0

(n 1)x

Решение. Если S(x)

то первообразная от

n 0

0 .

S(x) равна

106

n 1

= x

...

а это уже геометрическая прогрессия со

n 0

знаменателем

, еѐ сумма равна

. После

3 x

3(3 x) ( 1)3x

дифференцирования получим

S(x)

3 x

. Ответ. S(x) =

(3 x) 2

Задача 156. Найти сумму ряда

(n 1)(n 2)xn .

n 0

Решение. Эта задача решается в 2 шага. Видно, что только 2-я

первообразная здесь не будет иметь коэффициентов, так, чтобы

можно было использовать прогрессию.

(n 2) (n 1)x n

(n 2)x n 1 x n 2 .

Найдѐм xn 2

= x2 x3

...

n 0

1 x

x 2

Тогда S(x) =

. Найдѐм поочерѐдно 2 производных.

2x(1 x) ( 1)x2

2x 2x2

2x x2

(1 x)

1 x

2x x

(2 2x)(1 x)2 2(1 x)( 1)(2x x2 )

сократим на (1-x)

(1 x)

107

(2 2x)(1 x) 2( 1)(2x x2 )

2(1 x)2

2(2x x2 )

(1 x)3

x)3

2(1 2x x2 ) 4x 2x2

2 4x 2x2

4x 2x2

(1 x)3

x)3

Ответ. S(x) =

(1 x)3

Задача 157. Найти сумму ряда ( 1)n (n 1)xn .

n 1

Решение.

S(x)dx ( 1)n xn 1

= x2

x3 x4

...

( x)

n 1

x 2

. Знакочередование приводит к тому, что в знаменателе

появилась сумма, а не разность.

2x(1 x) x

2x(1 x) x2

S(x) =

(1 x)

1 x

2x 2x2

2x x

. Ответ.

S(x) =

x 2

(1 x)2

Задача 158. Найти сумму ряда

nxn .

n 1

Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от

наличия коэффициента. Производная равна n2 xn 1 а первообразная

n	xn 1	. Но вот если бы степень была (n-1) то всѐ бы получилось.

n 1

Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести x за скобку, то есть за знак ряда.


nxn	= x 2x2 3x3 ... = x 1 2x 3x 2 ... = x nxn 1 .
n 1	n 1

108

Теперь обозначим новое выражение через S1 и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.

S(x) xS1 (x) , где S1 (x) nxn 1 . Первообразная от S1 это

n 1

nxn 1dx = xn

= x x2

... =

n 1

1(1 x) ( 1)x

S1 (x) =

. Вспомним про то, что

(1 x)

x)2

мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы

нашли S1 (x) . При этом S(x) xS1 (x) . Тогда ответ						x
					S(x) =		.
					S(x) =	(1 x)2	.
	x
Ответ. S(x) =		.
Ответ. S(x) =	(1 x)2	.
Ряды Тейлора.
Задача 159. Разложить в ряд Тейлора:			f (z)	z	по степеням z .

				z 2

Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням z , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа (z 0) то есть центр 0. Ближайшая точка разрыва это z 2 . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. z 2 .

Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа 1 q , есть 2

пути: вынести за скобку либо z

либо 2.

либо

z 2

z 1

z 2

2 z

2 1

109

Но ведь

2, поэтому

1 а

1, так что первый вариант

использовать нельзя, ведь там получилось бы q 1 и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно q 1. Поэтому выносим за скобку именно

константу, а не z .
Итак,	z	=	z		1		=
Итак,	z 2	=	2			z	=
	z 2		2			z
				1
				1
						2

z n

z 2

z 3

z 4

... это и

2 n 0

2 4

8 16

есть требуемое разложение в степенной ряд Тейлора. Его можно

				n	z n 1
также записать в виде 1						.
также записать в виде 1					2n 1	.
			n 0		2n 1
	n	z n 1
Ответ. 1			.
Ответ. 1		2n 1	.
n 0		2n 1
Задача 160. Разложить в ряд Тейлора:							f (z)	1	по степеням

								z 2

(z 1) .

Решение. В данном случае расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 3. Условие круга z 1 3 .

f (z)	1	=		1		=	1	=	1		1	=	1		1
	z 2		(z	1) 3			3 (z 1)		3		z 1		3				z 1
										1				1
											3

																	3
		q		z 1										z 1		3 .
Выражение				z 1	по модулю меньше 1, так как
Выражение				3	по модулю меньше 1, так как
				3

Поэтому можно рассматривать это как сумму некоторой сходящейся геометрической прогрессии. Тогда

1		1			1	z 1 n		n (z 1)n
				=			= 1			.
			z 1	=			= 1		3n 1	.
3			z 1		3 n 0	3	n 0		3n 1
	1
	1
			3

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.95 Mб10Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб6Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб18Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб7Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб7Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб5Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб5Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб4Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб4Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб6Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб5Математика..pdf