Математика.-2

положительное число и в сечениях эллипсы. Поэтому фигура распадается на 2 части, вблизи начала координат вообще нет точек. Вертикальные сечения - гиперболы.

Кстати, если вращать гиперболу, расположенную в одних четвертях, то получится 1-полостный гиперболоид, а если вращать гиперболу, которая была в других двух четвертях - 2-полостный гиперболоид:

Рассмотрим теперь две поверхности, в уравнениях которых содержится не 3, а 2 квадрата, и первая степень третьей переменной.

83

Горизонтальные сечения - эллипсы: если фиксировать z, то получим

x 2 y 2 С .Вертикальные сечения - параболы, ветви которых a 2 b2

направлены вверх: если фиксировать например y, то получим

построены именно с помощью такой поверхности, но a b (параболоид вращения).

Вертикальные сечения - параболы. Причѐм если фиксировать x, то сечение в плоскости 0yz - парабола, ветви которой направлены вниз

в зависимости от знака z, они то в одних, то в других четвертях. Можно представить построение этой поверхности так: парабола, ветвями направленная вниз, повернута перпендикулярно и скользит своей вершиной по параболе, направленной ветвями вверх.

Общий случай.

В уравнении поверхности присутствует квадратичная форма a11 x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a23 yz 2a13 xz .

84

Построить еѐ матрицу (см. прошлую тему), найти собственные числа:1 , 2 , 3 . Возможны такие ситуации:

Если они все одного знака ( ), то поверхность - эллипсоид.

Если два из них одного знака, а третье другого знака ( ) гиперболоиды.

Если одно из них 0, а другие одного знака ( 0 ) эллиптический параболоид.

Если одно из них 0, а другие разного знака ( 0 ) гиперболический параболоид.

85

ЛЕКЦИЯ 9. 31.10.2017.

Глава 5. Основы математического анализа. §1. Множества и функции.

Множеством называют совокупность объектов некоторого типа. Например, множество точек на плоскости, множество чисел, множество матриц.

Объединение A B {x A или x B} Пересечение A B {x A и x B}

Объединение и пересечение 2 множеств показаны графически:

Разность множеств: A \ B {x A, x B}. Показано на чертеже:

Аналогично, В \ А {x В, x А}.

Объединение этих двух разностей называется симметрической разностью, и обозначается так: A B = ( A \ B) (В \ А) , на чертеже:

В то же время, это множество можно получить и другим путѐм: из объединения удалить пересечение. То есть,

( A \ B) (В \ А) = ( A B) \ (В А) .

86

Ещѐ обозначения: A B - множество А является подмножеством множества В.

Числовые множества.

N {1,2,3,...}натуральные числа

Z {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} целые числа

R ( , ) вся действительная ось, действительные числа. Множество R \ Q - иррациональные числа.

Верно следующее: N Z Q R .

Существует обобщение: комплексные числа вида a bi . Комплексная плоскость.

Множества на действительной оси.

Интервал (a, b) {x R a x b} - граничные точки не включены. Отрезок [a, b] {x R a x b} - здесь границы включены во

множество.

Пример. Объединение и пересечение множеств: A (0,2) , B (1,3) :

A B (0,3) A B (1,2) .

Множество вида [a, ) {x R a x}. Числа «бесконечность» не

существует, поэтому в таком множестве справа всегда должна быть круглая скобка.

Интервал вида (a , a ) в будущем будем называть окрестностью радиуса точки a и обозначать U (a) .

Внутренние и граничные точки.

Если для точки a A существует окрестность, которая полностью лежит во множестве А, то есть является его подмножеством, U (a) A , то такая точка называется внутренней

точкой множества А. Если же для любой окрестности есть лишь частичное пересечение со множеством А, то такая точка называется граничной точкой множества. Показано на чертеже:

87

w f (x(t), y(t), z(t)). Физический смысл: каждой точке пространства

задана температура, и заданы параметрические уравнения движения точки в пространстве. По какому закону для этой точки будет изменяться окружающая температура.

Монотонность.

Монотонно возрастающая функция: если x1 x2 то f (x1 ) f (x2 ) . Монотонно убывающая функция: если x1 x2 то f (x1 ) f (x2 ) .

Периодичность.

Если существует такое число T , что x R верно f (x T ) f (x) то функция называется периодической, T - период.

Примеры. sin(x) , cos(x) период 2 , tg(x) , ctg(x) период .

О влиянии коэффициента на период. Если sin(ax) период равен

2a . Если a 1 , колебания становятся чаще, а период меньше.

Почему так происходит? Точка x прошла расстояние 2 , в это время ax - прошло в a раз больше, то есть в a раз больше колебаний произошло на этом отрезке, длина которого 2 . Если a 1 наоборот, период больше, а колебания реже, чем у исходного графика.

Чѐтность и нечѐтность.

Чѐтная функция: f (x) f (x) . График чѐтной функции

симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а

также cos(x).

Нечѐтная функция: f (x) f (x) . График нечѐтной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 1800

89

график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечѐтной степени, или например синус, тангенс.

Существует такое неочевидное свойство разложения на чѐтные и нечѐтные компоненты:

Лемма. Любая функция f (x) представима в виде суммы чѐтной и нечѐтной, то есть f (x) g(x) h(x) .

Доказательство. Введѐм две функции: g(x) f (x) f (x) , 2

h(x) f (x) f (x) . Первая из них чѐтна, вторая нечѐтна. Видно, что

2

если заменить x на x , то для g(x) получится выражение, равное исходному, а вот для h(x) разность в числителе будет

Если чѐтную и нечѐтную компоненты записать для функции f (x) e x , то получатся так называемые гиперболический косинус и

Вообще, существует 3 способа задания функций - явный, неявный, параметрический.

90