Математика.-2

Приложение. Теоретические вопросы на доказательства, которые будут служить для формирования билетов.

Структура билета: 2 теор. вопроса и 2 задачи из практики.

1.(Л1) Докажите лемму о том, что количество перестановок равно n!.

2.(Л2) Докажите свойство: Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей:

система векторов, базис и ранг системы векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведение, метод вычисления векторного и смешанного произведений с помощью определителя. Основная и расширенная матрица системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы, совместная и несовместная, определѐнная и неопределѐнная.

Формулировка теоремы Кронекера-Капелли (система совместна ранг основной матрицы равен рангу расширенной).

7.(Л3) Докажите теорему: Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

8.(Л4) Доказательство формул Крамера .

9.(Л4) Доказательство теоремы о наложении решений.

10.(Л4) Доказать теорему: Линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.

171

11.(Л4) Доказать теорему: Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.

12.(Л5) Доказать теорему: Линейная комбинация собственных

векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим .

13.(Л5) Доказать теорему: Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют ЛНС (линейно-независимую систему).

14.(Л5) Доказать теорему: Если x является собственным вектором линейного оператора L , соответствующим , то он также является

собственным и для обратного оператора L 1 , и соответствует числу

1 .

15. (Л5) Доказать теорему: Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей A , тогда и только тогда,

когда A E 0 .

16.(Л5) Доказать теорему: Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна.

17.(Л5) Доказать теорему: Матрица А симметрична (то есть aij a ji )

выполняется свойство (Ax,y) = (x,Ay).

18.(Л5) Доказать теорему: Собственные векторы симметрического

оператора, соответствующие разным , ортогональны.

Что такое билинейная форма, квадратичная форма, привести какой-либо пример квадратичной формы и еѐ матрицы.

19.(Л6) Вывести уравнение прямой (либо уравнение плоскости - на ваш выбор) по точке и нормали. Доказать при этом, что координаты нормали будут коэффициентами в этом уравнении.

20.(Л6) Вывести уравнение прямой по точке и направляющему вектору (либо уравнение плоскости по точке и 2 направляющим).

21.(Л6) Вывести формулу проекции вектора на ось.

22.(Л6) Вывести формулу расстояния от точки до прямой в плоскости (либо от точки до плоскости в пространстве - на ваш выбор).

23.(Л7) Вывести формулу угла между плоскостями.

172

24.(Л7) Вывести канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве по точке и направляющему; объяснить, как выводятся уравнения по точке и двум нормалям.

25.(Л7) Вывести формулу расстояния от точки до прямой в пространстве.

26.(Л7) Вывести формулу расстояния между скрещивающимися прямыми.

27.(Л7) Вывести формулу угла между прямой и плоскостью в пространстве.

28.(Л7) Вывести каноническое уравнение эллипса.

29.(Л8). Вывести каноническое уравнение параболы.

30. (Л8). Доказать, что уравнение F (x, y, z) 0 , где F(x, y, z) однородная функция, задаѐт коническую поверхность.

31.(Л8). Доказать, что однополостный гиперболоид содержит прямолинейные образующие.

32.(Л9). Доказать, что любая функция f (x) представима в виде

суммы чѐтной и нечѐтной компонент: f (x) g(x) h(x) .

36.(Л10). Доказать свойства эквивалентности бесконечно-малых (хотя бы какие-нибудь 3 из 5).

37.(Л11).Доказать теорему:

1.Сумма конечного числа бесконечно-малых есть бесконечно-малая.

2.Произведение бесконечно-малой и ограниченной является бесконечно-малой функцией.

173

38.(Л11) Доказать теорему: Если f : R R , то: существует конечная

47. (Л13).Вывести уравнение касательной плоскости:

Fx (M 0 )( x x0 ) Fy (M 0 )( y y0 ) Fz (M 0 )( z z0 ) 0 .

48. (Л13). Вывести формулу Тейлора:

49.(Л14). Вывести формулы Тейлора для функций e x , sin x, cos x .

50.(Л14). Докажите, что f (x0 ) 0 f (x) монотонно возрастает в

окрестности U (x0 ) .

51. (Л14). Докажите теорему Ферма (необходимый признак экстремума). Если функция дифференцируема в точке x0 , и x0 -

точка экстремума, то f (x0 ) 0 .

174

52.(Л14). Докажите достаточный признак экстремума на основе 1-й производной.

53.(Л14). Докажите достаточный признак экстремума на основе 2-й производной.

54.(Л14). Докажите достаточный признак экстремума на основе n-й производной.

55.(Л15). Докажите теорему о том, что график является выпуклым

выпуклым вниз f 0 и является выпуклым вверх f 0 . 56. (Л15). Выведите формулы для вычисления k, b наклонной асимптоты.

57.(Л16). Докажите теорему Ролля.

58.(Л16). Докажите теорему Лагранжа.

59.(Л16). Докажите теорему Коши.

60.(Л16). Докажите теорему Лопиталя.

175

Литература.

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова.

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2244

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2246

3. Магазинников Л.И. Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие Томск: ТУСУР,

2007. - 162 с.

Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http://math.tusur.ru/book.html

176