Математика.-2

левую полуокрестность. Тогда f (x0 ) f (x) и f (x0 ) f (x) в той или иной полуокрестности, и экстремума нет.

Набольшее и наименьшее значение на отрезке.

Если требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции на каком-то множестве, нужно учесть не только экстремумы внутри множества, но и значения в правой и левой граничных точках.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение f (x) x 2 на

там минимум.

Осталось найти все значения функции в точках экстремума и в двух граничных точках и сравнить их:

f (0) 0

f 1 1

f (2) 4

151

Наибольшее значение в точке 2, наименьшее в точке 0. Не учитывать граничные точки нельзя, потому что наибольшее значение может оказаться именно там, а не в точках экстремума внутри интервала.

Экстремум функции нескольких переменных.

Определение (запишем для R2 , но аналогично и для n-мерного). Пусть f : R 2 R1 , то есть f (x, y) . Точка M 0 (x0 , y0 ) называется точкой максимума (минимума), если f (x0 , y0 ) f (x, y)

(x, y) U (x0 , y0 ) (для минимума соответственно, f (x0 , y0 ) f (x, y)

(x, y) U (x0 , y0 ) ).

Идея здесь та же самая, что и для функций одной переменной: максимум, если значение функции больше, чем в любой точки из окрестности, а минимум, если меньше. просто окрестность в плоскости это не интервал, а круг. А в пространстве - шар.

Физический смысл экстремума функции n переменных. Если задано распределение температур в пространстве, то есть точка максмальной и минимальной температуры. Так, существует точка минимальной температуры в земной атмосфере.

Пример. f (x, y) x 2 y 2 .

f (x, y) (2x,2y) . Вертикальные сечения параболоида - это

параболы, ветвями направленные вверх, для них как для кривых просто обычный минимум. В точке (0,0) частные производные нулевые, т.е. f 0 в точке (0,0).

Аналог необходимого признака, т.е. теоремы Ферма, здесь имеет место: Если M 0 (x0 , y0 ) точка экстремума, то f (М 0 ) 0 .

152

ЛЕКЦИЯ № 15. 12. 12. 2017

Аналог достаточного признака на основе 2-й производной для функции двух переменных тоже имеет место. Если вычислить все возможные вторые производные, то они образуют матрицу:

двух перпендикулярных сечений поверхности такая кривая, что 2-я производная больше нуля, то есть по каждому сечению минимум. При этом все угловые миноры больше нуля. Для данной матрицы это очевидно, однако если бы она была не диагональная, то именно проверка знаков угловых миноров позволяла бы точно сказать, есть ли в точке экстремум.

Для сравнения, рассмотрим функцию f (x, y) x 2 y 2 . Для неѐ точка (0,0) является точкой максимума. f (x, y) ( 2x, 2 y) . Посмотрим, как при этом устроена матрица вторых производных.

Для каждого отдельно взятого сечения вдоль оси 0x или оси 0y, как для обычной кривой, есть максимум, вторая производная равна 0. Если же исследовать знаки угловых миноров, то они чередуются, начиная с отрицательного. Это достаточное условие максимума для функции n переменных. Если матрица диагональная, то это означает, что на диагонали все элементы отрицательны.

Если градиент равен 0-вектору, это вовсе не является достаточным условием экстремума. Так, есть функции, для которых градиент 0, а экстремума нет, так как в одном сечении минимум, а в другом сечении максимум. Гиперболический параболоид:

153

не было на самой поверхности. такие экстремумы называются «условными», потому что для сужения области определения применяется какое-то условие. Неявно задать кривую можно с помощью какого-то условия типа F(x, y) 0 . Например, показанное

на чертеже сечение получается, если фиксировать x, т.е. здесь условие вида x a , то есть x a 0 . Итак, определение.

Определение. Пусть задана функция f (x, y) и некоторое неявное уравнение кривой L в плоскости F(x, y) 0 . Точка называется точкой условного максимума, если f (x0 , y0 ) f (x, y) для любой точки (x, y) принадлежащей U (M 0 ) L .

Отличие от обычного максимума: для максимума в центре окрестности должно быть значение больше, чем в любой точке окрестности, а для условного максимума больше, чем во всех точках пересечения этой окрестности и кривой L . (В других точках из окрестности, которые не принадлежат кривой, может быть не больше, а меньше).

Определение условного минимума вводится аналогично, лишь в неравенстве изменѐн знак: f (x0 , y0 ) f (x, y) .

Эти понятия нужны для того, чтобы искать наибольшие и наименьшие значения в плоских областях. Ведь граница плоской области это линия, а не две точки a,b как было при поиске наибольшего значения на отрезке.

На наклонной плоскости, то есть для поверхностей типа z kx my , вообще нет точек экстремума, т.к. рядом с любой точкой есть другие точки, как выше, так и ниже. Градиент этой функции равен (k, m) и он, очевидно, не равен (0,0). Но если сузить область

определения, провести параболу под этой наклонной плоскостью, то на плоскости будет кривая, у которой уже есть точка минимальной высоты!

155

абсциссой, а точка C точка на хорде, с той же абсциссой. Проведѐм две касательных: в точках A, B . Угловой коэффициент касательной,

проходящей через A(x1 , f (x1 )) , меньше k . Касательная проходит ниже точки M , а даже если бы линия проходила через точку M , еѐ угловой коэффициент был бы меньше k . То есть, производная в точке x1 заведомо меньше, чем k . Аналоично, угловой коэффициент касательной, проходящей через B(x2 , f (x2 )) , больше k . Даже если бы она проходила через точку M , еѐ угловой коэффициент был бы

Итак, f (x) 0.

Аналогично доказывается, что если график является выпуклым вверх,

то f 0 .

Достаточность. Если f (x) 0, но при этом допустить, что график выпуклый вверх, то тут же получаем противоречие: доказали, что если он выпуклый вверх, то f 0 .

Определение. Если f (x0 ) 0 , при этом в правой и левой полуокрестности f разного знака, то точка x0 называется точкой

перегиба.

159

Точки перегиба хорошо видны и в реальной жизни: если дорога поворачивает сначала в одну сторону, например влево (при этом линия дороги выпукла вправо) а потом дорога закругляется вправо (линия при этом выпукла влево), то между ними точка перегиба.

Если проезжаем кольцо, то траектория движения сначала выпукла влево (заезжаем на кольцо), потом вправо (движемся по кольцу), потом снова влево (когда съезжаем с кольца на следующую часть дороги). Действующая центробежная сила несколько раз изменяет своѐ направление - то влево, то вправо.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба для f (x) arctgx.

Касательная сначала поворачивается вверх, 1-я производная растѐт (в начале координат угол наклона доходит до 45 градусов), а потом снова опускается при удалении точки в .

160