Математика.-2

Ряд Тейлора, метод его получения с помощью прогрессий.

Существует формула суммы бесконечной убывающей геометрической

Но мы ведь можем вынести первый член прогрессии за скобку, а также и из числителя дроби, то есть привести к виду, чтобы прогрессия начиналась с единицы. Поэтому проще запомнить

x0 0 .Представим x (x) , и тогда знаменатель прогрессии будет q x . Эта функция представляет собой сумму бесконечной

геометрической прогрессии, записанную в свѐрнутом виде, т.е. мы по формуле должны развернуть еѐ обратно в сумму.

141

Решение. Здесь константа не равна 1, тогда можно вынести

x ( 5,5) .

1.Приближѐнное вычисление значений функции. Во всех калькуляторах и компьютерах для вычисления функций используются разложения по формуле Тейлора, то есть там всегда запрограммирована последовательность коэффициентов Тейлора для известных функций, и происходит вычисление с помощью возведения в степени.

2.Нахождение производных высокого порядка. Допустим, нужно вычислить производную 10 порядка в точке 0 для функции,

142

количества слагаемых. Таким образом, их будет до 1024. Некоторые из них обнуляются в процессе, так как понижается степень, так что в реальности меньше, но всѐ равно, это очень трудоѐмкая работа, вычислить 10 производную для такого типа функции. Вместо этого, мы можем выбрать коэффициент при 10 степени из разложения в ряд Тейлора.

Пример.

возрастает, а если f (x1 ) f (x2 ) то монотонно убывает. Рассмотрим, как монотонность взаимосвязана со знаком 1-й производной.

Теорема 1.

1)f (x0 ) 0 f (x) монотонно возрастает в окрестности U (x0 ) .

2)f (x0 ) 0 f (x) монотонно убывает в окрестности U (x0 ) .

есть та самая функция, которая была в определении предела).

143

и f (x) f (x0 ) , ведь если знаменатель положителен, то и числитель должен быть положителен (дробь положительна). А если x x0 то f (x) f (x0 ) . Получается, что для более правой точки на оси абсцисс значение функции больше, а это означает монотонное возрастание.

Определение 1 (точки наибольшего, наименьшего значения в D). Пусть функция f - функция одной переменной, т.е. отображает

144

Примечание. Здесь D это область определения, может совпадать со всей числовой прямой, но не обязательно.

Определение 2. (максимум и минимум)

Пусть функция f : D R . Точка x0 называется точкой максимума (минимума), если существует окрестностьU (x0 ) точки x0 , такая, что

f (x0 ) f (x) x U (x0 ) . (для минимума f (x0 ) f (x) x U (x0 ) ). Для максимума и минимума есть общее название - «экстремум».

Локальных максимумов в смысле определения 2 может быть несколько или даже бесконечное количество. Например, график

y 2x sin x , здесь через каждые 2 есть новый максимум, который выше того, что слева от него:

Понятие «максимум» отличается от понятия «наибольшее значение» тем, что для максимума требуется, чтобы функция была наибольшей в некоторой окрестности, а для наибольшего значения - во всей области.

Взаимосвязь между равенством нулю первой производной и экстремумом не однозначна. Так, функция y x имеет минимум в точке 0, но там не существует производная, то есть нельзя сказать, что f 0 . А для функции y x3 , f (0) 0 , но при этом нет экстремума.

145

наибольшее значение во множестве U (x0 ) .

При убывании, чем правее точка, тем меньше в ней значение. Но ведь x0 это левая граница множества U (x0 ) [x0 , x0 ) . Таким

образом, f (x0 ) наибольшее значение также и во множестве U (x0 ) . Получается, что f (x0 ) - наибольшее значение во всѐм множестве U (x0 ) , а это и есть максимум.

Доказали подробно 1-й пункт, 2-й аналогичными рассуждениями с заменой неравенств на противоположные.

Итак, на стыке интервалов монотонного роста и убывания - точки экстремума. Таким способом и можно находить экстремумы. Кстати, для теоремы 3 всѐ равно, гладкая функция или точка излома (производная разрывна) в точке экстремума. Она применима и для

функции y x .

Теперь становится ясно, почему у кубической параболы нет экстремума в точке (0,0): интервал роста сменяется снова на интервал роста, поэтому, хоть даже и производная равна 0, но экстремума там нет.

производной на каждом из интервалов ( ,1) , (1,3) и (3, ) . Для

147

этого надо вычислить знак f в какой-нибудь точке на каждом из

этих интервалов. Желательно для удобства вычислений взять целое

число как представителя интервала.

Например, 0 ( ,1) , 2 (1,3) и 4 (3, ) .

f (0) 3 0 . f (2) 4 8 3 1 0 . f (4) 16 16 3 3 0 .

Таким образом, в точке x 1 рост сменяется убыванием, x 1 точка максимума. В точке x 3 убыванием сменяется ростом, x 3 точка минимума.

Теорема 5.

(достаточный признак экстремума на основе 2-й производной)

Но ведь здесь 1-е слагаемое равно 0 по условию. Если f (x0 ) 0 , то

148

где - бесконечно малая более высокого порядка, чем 2, то есть в

еѐ знак уже не влияет на знак всего выражения. Тогда фактически,

вторая производная равна +2, а там минимум, так как ветви этой параболы направлены вверх. Для y x 2 будет f (0) 2 , для неѐ -

максимум.

Решим тот же самый пример теперь с помощью 2 производной.

149

для x 4 есть минимум в нуле. Как действовать в случае f (x0 ) 0 даѐт ответ следующая теорема.

Теорема 6.

(достаточный признак экстремума на основе n-й производной).

Если функция n раз дифференцируема, при этом f (x0 ) 0 ,

Но ведь здесь первые слагаемые обнуляются по условию теоремы.

f (x0 ) 0 , f (x0 ) 0 , ..., f (n 1) (x0 ) 0 , тогда начинается именно с n-

бесконечно малая более высокого порядка, чем n, то есть в некоторой

уже не влияет на знак всего выражения. Тогда фактически, тогда знак

n! по построению положительное число n! 1 2 ... n .

150